Jump to content

Мяч (математика)

(Перенаправлено с Открытые шары )
В евклидовом пространстве шар — это объем , ограниченный сферой.

В математике шар , — это объемная фигура ограниченная сферой ; его еще называют твердой сферой . [1] Это может быть закрытый шар (включая граничные точки , составляющие сферу) или открытый шар (исключая их).

Эти понятия определены не только в трехмерном евклидовом пространстве , но также для низших и высших измерений, а также для метрических пространств в целом. Шар n в или измерениях называется гипершаром или n -шаром и ограничен гиперсферой ( n 1 ) -сферой . Так, например, шар в евклидовой плоскости — это то же самое, что и диск , площадь, ограниченная кругом . В евклидовом трехмерном пространстве под шаром понимается объем, ограниченный двумерной сферой . В одномерном пространстве шар представляет собой отрезок прямой .

В других контекстах, например, в евклидовой геометрии и в неформальном использовании, сфера иногда используется для обозначения шара . В области топологии закрытые -мерный шар часто обозначается как или в то время как открытый -мерный шар или .

В евклидовом пространстве

[ редактировать ]

В евклидовом n -пространстве (открытый) n -шар радиуса r и центра x представляет собой набор всех точек, находящихся на расстоянии меньше r от x . Замкнутый n -шар радиуса r — это набор всех точек, находящихся на расстоянии меньшем или равном r от x .

В евклидовом n -пространстве каждый шар ограничен гиперсферой . Шар представляет собой ограниченный интервал, когда n = 1 , является диском , ограниченным кругом , когда n = 2 , и ограничен сферой, когда n = 3 .

-мерный объем n евклидова шара радиуса r в n -мерном евклидовом пространстве равен: [2] где Γ Леонарда Эйлера ( гамма-функция которую можно рассматривать как расширение факториала на дробные аргументы). Использование явных формул для конкретных значений гамма-функции в целых и полуцелых числах дает формулы для объема евклидова шара, которые не требуют вычисления гамма-функции. Это:

В формуле нечетных объемов двойной факториал (2k + 1)!! определяется для нечетных целых чисел 2 k + 1 как (2 k + 1)!! знак равно 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ⋯ ⋅ (2 k - 1) ⋅ (2 k + 1) .

В общих метрических пространствах

[ редактировать ]

Пусть ( M , d ) метрическое пространство , а именно множество M с метрикой (функцией расстояния) d . Открытый (метрический) шар радиуса r > 0 с центром в точке p в M , обычно обозначаемый B r ( p ) или B ( p ; r ) , определяется выражением

Замкнутый (метрический) шар, который можно обозначить B r [ p ] или B [ p ; r ] определяется формулой

Обратите внимание, в частности, что шар (открытый или закрытый) всегда включает в себя сам p , поскольку определение требует r > 0 .

Единичный шар (открытый или закрытый) — это шар радиуса 1.

Шар в общем метрическом пространстве не обязательно должен быть круглым. Например, шар в реальном координатном пространстве под расстоянием Чебышева является гиперкубом , а шар под расстоянием такси перекрестным многогранником .

Подмножество метрического пространства ограничено , если оно содержится в некотором шаре. Множество полностью ограничено , если для любого положительного радиуса оно покрыто конечным числом шаров этого радиуса.

Открытые шары метрического пространства могут служить базой , придавая этому пространству топологию , открытые множества которой представляют собой все возможные объединения открытых шаров. Эта топология метрического пространства называется топологией, индуцированной метрикой d .

Обозначим через ( Br p ) замыкание открытого этой шара Br в ( p ) топологии. Хотя это всегда так, что B r ( p ) ⊆ B r ( p ) B r [ p ] , это не всегда так, что B r ( p ) = B r [ p ] . Например, в метрическом пространстве X с дискретной метрикой имеем B 1 ( p ) = {p} и B 1 [ p ] = X для любого p X .

В нормированных векторных пространствах

[ редактировать ]

Любое нормированное векторное пространство V с нормой также является метрическим пространством с метрикой В таких пространствах произвольный шар очков вокруг точки с расстояния менее можно рассматривать как масштабированное (по ) и переведено (автор ) копия единичного шара Такие «центрированные» шары с обозначаются

Евклидовы шары, обсуждавшиеся ранее, являются примером шаров в нормированном векторном пространстве.

В декартовом пространстве R н с p -нормой L p , т.е. открытый шар вокруг начала координат с радиусом задается набором

Для n = 2 в двумерной плоскости , «шары» по L 1 -норме (часто называемой таксистной или манхэттенской метрикой) ограничены квадратами, диагонали которых параллельны осям координат; те, что соответствуют L -норме, также называемой метрикой Чебышева , имеют в качестве границ квадраты со сторонами, параллельными осям координат. L p 2 известная как евклидова метрика, порождает хорошо известные диски внутри окружностей, а при других значениях -норма , соответствующие шары представляют собой области, ограниченные кривыми Ламе (гипоэллипсами или гиперэллипсами).

При n = 3 L , 1 -шары находятся внутри октаэдров с диагоналями тела , ориентированными по осям , L ориентированными по осям -шары находятся внутри кубов с рёбрами , а границы шаров для L p с p > 2 являются суперэллипсоидами . Очевидно, что p = 2 порождает внутреннюю часть обычной сферы.

Общая выпуклая норма

[ редактировать ]

В более общем смысле, если любое центрально симметричное , ограниченное , открытое и выпуклое подмножество X в R н , можно определить норму на R н где все шары представляют собой переведенные и равномерно масштабированные копии X . Обратите внимание, что эта теорема не справедлива, если «открытое» подмножество заменяется «закрытым» подмножеством, поскольку исходная точка квалифицирует, но не определяет норму на R. н .

В топологических пространствах

[ редактировать ]

О шарах можно говорить в любом топологическом пространстве X , не обязательно индуцированном метрикой. (Открытый или закрытый) n -мерный топологический шар X n — это любое подмножество X ( , гомеоморфное открытому или замкнутому) евклидову - шару. Топологические n -шары важны в комбинаторной топологии как строительные блоки клеточных комплексов .

Любой открытый топологический n -шар гомеоморфен декартову пространству R н и открытому элементу n -куба (гиперкуба) (0, 1) н Р н . Любой замкнутый топологический n -шар гомеоморфен замкнутому n -кубу [0, 1] н .

- шар n гомеоморфен m -шару тогда и только тогда, когда n = m . Гомеоморфизмы между открытым n -шаром B и R н класса, которые можно отождествить с двумя возможными топологическими ориентациями B . можно разделить на два

Топологический n -шар не обязательно должен быть гладким ; если он гладкий, то он не обязательно должен быть диффеоморфен евклидову n -шару.

Для шара можно определить ряд особых областей:

  • шапка , ограниченная одной плоскостью
  • сектор , ограниченный конической границей с вершиной в центре сферы
  • отрезок , ограниченный парой параллельных плоскостей
  • оболочка , ограниченная двумя концентрическими сферами разного радиуса
  • клин , ограниченный двумя плоскостями, проходящими через центр сферы и поверхность сферы

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Сугаккай, Нихон (1993). Энциклопедический словарь математики . МТИ Пресс . ISBN  9780262590204 .
  2. ^ Уравнение 5.19.4, Цифровая библиотека математических функций NIST . [1] Версия 1.0.6 от 06 мая 2013 г.
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 02fe65e665786999ebdb63b27455e476__1711857000
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/02/76/02fe65e665786999ebdb63b27455e476.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Ball (mathematics) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)