Мяч (математика)
Эта статья нуждается в дополнительных цитатах для проверки . ( март 2024 г. ) |
В математике шар , — это объемная фигура ограниченная сферой ; его еще называют твердой сферой . [1] Это может быть закрытый шар (включая граничные точки , составляющие сферу) или открытый шар (исключая их).
Эти понятия определены не только в трехмерном евклидовом пространстве , но также для низших и высших измерений, а также для метрических пространств в целом. Шар n в или измерениях называется гипершаром или n -шаром и ограничен гиперсферой ( n − 1 ) -сферой . Так, например, шар в евклидовой плоскости — это то же самое, что и диск , площадь, ограниченная кругом . В евклидовом трехмерном пространстве под шаром понимается объем, ограниченный двумерной сферой . В одномерном пространстве шар представляет собой отрезок прямой .
В других контекстах, например, в евклидовой геометрии и в неформальном использовании, сфера иногда используется для обозначения шара . В области топологии закрытые -мерный шар часто обозначается как или в то время как открытый -мерный шар или .
В евклидовом пространстве
[ редактировать ]В евклидовом n -пространстве (открытый) n -шар радиуса r и центра x представляет собой набор всех точек, находящихся на расстоянии меньше r от x . Замкнутый n -шар радиуса r — это набор всех точек, находящихся на расстоянии меньшем или равном r от x .
В евклидовом n -пространстве каждый шар ограничен гиперсферой . Шар представляет собой ограниченный интервал, когда n = 1 , является диском , ограниченным кругом , когда n = 2 , и ограничен сферой, когда n = 3 .
Объем
[ редактировать ]-мерный объем n евклидова шара радиуса r в n -мерном евклидовом пространстве равен: [2] где Γ — Леонарда Эйлера ( гамма-функция которую можно рассматривать как расширение факториала на дробные аргументы). Использование явных формул для конкретных значений гамма-функции в целых и полуцелых числах дает формулы для объема евклидова шара, которые не требуют вычисления гамма-функции. Это:
В формуле нечетных объемов двойной факториал (2k + 1)!! определяется для нечетных целых чисел 2 k + 1 как (2 k + 1)!! знак равно 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ⋯ ⋅ (2 k - 1) ⋅ (2 k + 1) .
В общих метрических пространствах
[ редактировать ]Пусть ( M , d ) — метрическое пространство , а именно множество M с метрикой (функцией расстояния) d . Открытый (метрический) шар радиуса r > 0 с центром в точке p в M , обычно обозначаемый B r ( p ) или B ( p ; r ) , определяется выражением
Замкнутый (метрический) шар, который можно обозначить B r [ p ] или B [ p ; r ] определяется формулой
Обратите внимание, в частности, что шар (открытый или закрытый) всегда включает в себя сам p , поскольку определение требует r > 0 .
Единичный шар (открытый или закрытый) — это шар радиуса 1.
Шар в общем метрическом пространстве не обязательно должен быть круглым. Например, шар в реальном координатном пространстве под расстоянием Чебышева является гиперкубом , а шар под расстоянием такси — перекрестным многогранником .
Подмножество метрического пространства ограничено , если оно содержится в некотором шаре. Множество полностью ограничено , если для любого положительного радиуса оно покрыто конечным числом шаров этого радиуса.
Открытые шары метрического пространства могут служить базой , придавая этому пространству топологию , открытые множества которой представляют собой все возможные объединения открытых шаров. Эта топология метрического пространства называется топологией, индуцированной метрикой d .
Обозначим через ( Br p ) замыкание открытого этой шара Br в ( p ) топологии. Хотя это всегда так, что B r ( p ) ⊆ B r ( p ) ⊆ B r [ p ] , это не всегда так, что B r ( p ) = B r [ p ] . Например, в метрическом пространстве X с дискретной метрикой имеем B 1 ( p ) = {p} и B 1 [ p ] = X для любого p ∈ X .
В нормированных векторных пространствах
[ редактировать ]Любое нормированное векторное пространство V с нормой также является метрическим пространством с метрикой В таких пространствах произвольный шар очков вокруг точки с расстояния менее можно рассматривать как масштабированное (по ) и переведено (автор ) копия единичного шара Такие «центрированные» шары с обозначаются
Евклидовы шары, обсуждавшиеся ранее, являются примером шаров в нормированном векторном пространстве.
р -норма
[ редактировать ]В декартовом пространстве R н с p -нормой L p , т.е. открытый шар вокруг начала координат с радиусом задается набором
Для n = 2 в двумерной плоскости , «шары» по L 1 -норме (часто называемой таксистной или манхэттенской метрикой) ограничены квадратами, диагонали которых параллельны осям координат; те, что соответствуют L ∞ -норме, также называемой метрикой Чебышева , имеют в качестве границ квадраты со сторонами, параллельными осям координат. L p 2 известная как евклидова метрика, порождает хорошо известные диски внутри окружностей, а при других значениях -норма , соответствующие шары представляют собой области, ограниченные кривыми Ламе (гипоэллипсами или гиперэллипсами).
При n = 3 L , 1 -шары находятся внутри октаэдров с диагоналями тела , ориентированными по осям , L ∞ ориентированными по осям -шары находятся внутри кубов с рёбрами , а границы шаров для L p с p > 2 являются суперэллипсоидами . Очевидно, что p = 2 порождает внутреннюю часть обычной сферы.
Общая выпуклая норма
[ редактировать ]В более общем смысле, если любое центрально симметричное , ограниченное , открытое и выпуклое подмножество X в R н , можно определить норму на R н где все шары представляют собой переведенные и равномерно масштабированные копии X . Обратите внимание, что эта теорема не справедлива, если «открытое» подмножество заменяется «закрытым» подмножеством, поскольку исходная точка квалифицирует, но не определяет норму на R. н .
В топологических пространствах
[ редактировать ]О шарах можно говорить в любом топологическом пространстве X , не обязательно индуцированном метрикой. (Открытый или закрытый) n -мерный топологический шар X n — это любое подмножество X ( , гомеоморфное открытому или замкнутому) евклидову - шару. Топологические n -шары важны в комбинаторной топологии как строительные блоки клеточных комплексов .
Любой открытый топологический n -шар гомеоморфен декартову пространству R н и открытому элементу n -куба (гиперкуба) (0, 1) н ⊆ Р н . Любой замкнутый топологический n -шар гомеоморфен замкнутому n -кубу [0, 1] н .
- шар n гомеоморфен m -шару тогда и только тогда, когда n = m . Гомеоморфизмы между открытым n -шаром B и R н класса, которые можно отождествить с двумя возможными топологическими ориентациями B . можно разделить на два
Топологический n -шар не обязательно должен быть гладким ; если он гладкий, то он не обязательно должен быть диффеоморфен евклидову n -шару.
Регионы
[ редактировать ]Для шара можно определить ряд особых областей:
- шапка , ограниченная одной плоскостью
- сектор , ограниченный конической границей с вершиной в центре сферы
- отрезок , ограниченный парой параллельных плоскостей
- оболочка , ограниченная двумя концентрическими сферами разного радиуса
- клин , ограниченный двумя плоскостями, проходящими через центр сферы и поверхность сферы
См. также
[ редактировать ]- Мяч – обычное значение
- Диск (математика)
- Формальный шар , расширение отрицательных радиусов.
- Соседство (математика)
- Сфера , аналогичная геометрическая форма
- 3-сфера
- n -сфера или гиперсфера
- Александр рогатая сфера
- Коллектор
- Объем н -шара
- Октаэдр – шар-3 в метрике l 1 .
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Сугаккай, Нихон (1993). Энциклопедический словарь математики . МТИ Пресс . ISBN 9780262590204 .
- ^ Уравнение 5.19.4, Цифровая библиотека математических функций NIST . [1] Версия 1.0.6 от 06 мая 2013 г.
- Смит, диджей; Ваманамурти, МК (1989). «Насколько мал единичный шар?». Журнал «Математика» . 62 (2): 101–107. дои : 10.1080/0025570x.1989.11977419 . JSTOR 2690391 .
- Даукер, Дж. С. (1996). «Условия Робина на евклидовом шаре». Классическая и квантовая гравитация . 13 (4): 585–610. arXiv : hep-th/9506042 . Бибкод : 1996CQGra..13..585D . дои : 10.1088/0264-9381/13/4/003 . S2CID 119438515 .
- Грубер, Питер М. (1982). «Изометрии пространства выпуклых тел, содержащихся в евклидовом шаре». Израильский математический журнал . 42 (4): 277–283. дои : 10.1007/BF02761407 . S2CID 119483499 .