Суперэллипсоид

В математике суперэллипсоид суперэллипсоид (или . ) — это твердое тело , горизонтальные сечения которого представляют собой суперэллипсы (кривые Ламе) с одинаковым параметром прямоугольности $\epsilon _{2}$ , а вертикальные сечения которого через центр представляют собой суперэллипсы с параметром прямоугольности $\epsilon _{1}$ . Это обобщение эллипсоида, являющееся частным случаем, когда $\epsilon _{1}=\epsilon _{2}=1$ . ^[2]

Суперэллипсоиды как примитивы компьютерной графики были популяризированы Аланом Х. Барром (который использовал название « суперквадрики » для обозначения как суперэллипсоидов, так и супертороидов ). ^[2]^[3] В современной по компьютерному зрению и робототехнике литературе суперквадрики и суперэллипсоиды используются как взаимозаменяемые, поскольку суперэллипсоиды являются наиболее репрезентативной и широко используемой формой среди всех суперквадриков. ^[4]^[5]

Суперэллипсоиды имеют богатый словарь форм, включая кубоиды, цилиндры, эллипсоиды, октаэдры и их промежуточные формы. ^[6] Он становится важным геометрическим примитивом, широко используемым в компьютерном зрении. ^[6]^[5]^[7] робототехника, ^[4] и физическое моделирование. ^[8] Главным преимуществом описания предметов и окружающей среды с помощью суперэллипсоидов является лаконичность и выразительность формы. ^[6] Кроме того, доступно выражение суммы Минковского между двумя суперэллипсоидами в замкнутой форме. ^[9] Это делает его желательным геометрическим примитивом для захвата робота, обнаружения столкновений и планирования движения. ^[4]

Особые случаи

Несколько примечательных математических фигур могут возникнуть как частные случаи суперэллипсоидов при правильном наборе значений, которые изображены на рисунке выше:

Цилиндр
Сфера
Штейнмец твердый
Биконус
Правильный октаэдр
Куб , как предельный случай, когда показатели степени стремятся к бесконечности

Пита Хейна также Суперяйца являются частным случаем суперэллипсоидов.

Формулы

Базовый (нормализованный) суперэллипсоид

Базовый суперэллипсоид определяется неявной функцией

f(x,y,z)=\left(x^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}+y^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}\right)^{\epsilon _{2}/\epsilon _{1}}+z^{\frac {2}{\epsilon _{1}}}

Параметры $\epsilon _{1}$ и $\epsilon _{2}$ являются положительными действительными числами, которые контролируют прямоугольность фигуры.

Поверхность суперэллипсоида определяется уравнением:

$f(x,y,z)=1$

Для любой заданной точки $(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}$ , точка лежит внутри суперэллипсоида, если $f(x,y,z)<1$ , и снаружи, если $f(x,y,z)>1$ .

Любая « параллель широты » суперэллипсоида (горизонтальное сечение при любой постоянной z между -1 и +1) представляет собой кривую Ламе с показателем степени $2/\epsilon _{2}$ , масштабированный по $a=(1-z^{\frac {2}{\epsilon _{1}}})^{\frac {\epsilon _{1}}{2}}$ , что

\left({\frac {x}{a}}\right)^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}+\left({\frac {y}{a}}\right)^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}=1.

Любой « меридиан долготы » (сечение любой вертикальной плоскостью, проходящей через начало координат) представляет собой кривую Ламе с показателем $2/\epsilon _{1}$ , растянутый по горизонтали на коэффициент w , зависящий от плоскости сечения. А именно, если $x=u\cos \theta$ и $y=u\sin \theta$ , для данного $\theta$ , то раздел

\left({\frac {u}{w}}\right)^{\frac {2}{\epsilon _{1}}}+z^{\frac {2}{\epsilon _{1}}}=1,

где

w=(\cos ^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}\theta +\sin ^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}\theta )^{-{\frac {\epsilon _{2}}{2}}}.

В частности, если $\epsilon _{2}$ равно 1, горизонтальные сечения представляют собой круги, а горизонтальное растяжение $w$ вертикальных сечений равно 1 для всех плоскостей. В этом случае суперэллипсоид представляет собой тело вращения , полученное вращением кривой Ламе с показателем $2/\epsilon _{1}$ вокруг вертикальной оси.

Суперэллипсоид

Базовая форма выше простирается от -1 до +1 вдоль каждой оси координат. Общий суперэллипсоид получается путем масштабирования базовой формы вдоль каждой оси на коэффициенты $a_{x}$ , $a_{y}$ , $a_{z}$ , полудиаметры полученного твердого тела. Неявная функция ^[2]

F(x,y,z)=\left(\left({\frac {x}{a_{x}}}\right)^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}+\left({\frac {y}{a_{y}}}\right)^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}\right)^{\frac {\epsilon _{2}}{\epsilon _{1}}}+\left({\frac {z}{a_{z}}}\right)^{\frac {2}{\epsilon _{1}}}

.

Аналогично поверхность суперэллипсоида определяется уравнением

$F(x,y,z)=1$

Для любой заданной точки $(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}$ , точка лежит внутри суперэллипсоида, если $f(x,y,z)<1$ , и снаружи, если $f(x,y,z)>1$ .

Поэтому неявную функцию также называют функцией внутри-вне суперэлллипсоида. ^[2]

Суперэллипсоид имеет параметрическое представление через параметры поверхности. $\eta \in [-\pi /2,\pi /2)$ , $\omega \in [-\pi ,\pi )$ . ^[3]

x(\eta ,\omega )=a_{x}\cos ^{\epsilon _{1}}\eta \cos ^{\epsilon _{2}}\omega

y(\eta ,\omega )=a_{y}\cos ^{\epsilon _{1}}\eta \sin ^{\epsilon _{2}}\omega

z(\eta ,\omega )=a_{z}\sin ^{\epsilon _{1}}\eta

Общего положения суперэлллипсоид

В компьютерном зрении и робототехнике больший интерес обычно представляет суперэллипсоид с общей позой в трехмерном евклидовом пространстве. ^[6]^[5]

Для данного евклидова преобразования системы суперэллипсоида $g=[\mathbf {R} \in SO(3),\mathbf {t} \in \mathbb {R} ^{3}]\in SE(3)$ относительно мировой системы координат неявная функция общей поставленной поверхности суперэлллипсоида, определяющая мировую систему координат, равна ^[6]

$F\left(g^{-1}\circ (x,y,z)\right)=1$

где $\circ$ это операция преобразования, которая отображает точку $(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}$ в мировой системе отсчета в каноническую систему суперэллипсоида.

Объем суперэллипсоида

Объем, охватываемый поверхностью суперэлллипсоида, можно выразить через бета-функции. $\beta (\cdot ,\cdot )$ , ^[10]

$V(\epsilon _{1},\epsilon _{2},a_{x},a_{y},a_{z})=2a_{x}a_{y}a_{z}\epsilon _{1}\epsilon _{2}\beta ({\frac {\epsilon _{1}}{2}},\epsilon _{1}+1)\beta ({\frac {\epsilon _{2}}{2}},{\frac {\epsilon _{2}+2}{2}})$

или, что эквивалентно, с помощью гамма-функции $\Gamma (\cdot )$ , с

$\beta (m,n)={\frac {\Gamma (m)\Gamma (n)}{\Gamma (m+n)}}$

Восстановление данных

Восстановление представления суперэллипсоида (или суперквадриков) из необработанных данных (например, облака точек, сетки, изображений и вокселей) является важной задачей в компьютерном зрении. ^[11]^[7]^[6]^[5] робототехника, ^[4] и физическое моделирование. ^[8]

Традиционные вычислительные методы моделируют проблему как задачу наименьших квадратов. ^[11] Цель – найти оптимальный набор параметров суперэллипсоида. $\theta \doteq [\epsilon _{1},\epsilon _{2},a_{x},a_{y},a_{z},g]$ минимизирующие целевую функцию. Помимо параметров формы, $g\in$ SE(3) — это положение системы суперэллипсоида относительно мировой координаты.

Есть две широко используемые целевые функции. ^[12] Первый строится непосредственно на основе неявной функции ^[11]

$G_{1}(\theta )=a_{x}a_{y}a_{z}\sum _{i=1}^{N}\left(F^{\epsilon _{1}}\left(g^{-1}\circ (x_{i},y_{i},z_{i})\right)-1\right)^{2}$

Минимизация целевой функции обеспечивает восстановленный суперэллипсоид как можно ближе ко всем входным точкам. $\{(x_{i},y_{i},z_{i})\in \mathbb {R} ^{3},i=1,2,...,N\}$ . При этом скалярное значение $a_{x},a_{y},a_{z}$ положительно пропорционален объему суперэллипсоида и, следовательно, также минимизирует объем.

Другая целевая функция пытается минимизировать радиальное расстояние между точками и суперэллипсоидом. То есть ^[13]^[12]

$G_{2}(\theta )=\sum _{i=1}^{N}\left(\left|r_{i}\right|\left|1-F^{-{\frac {\epsilon _{1}}{2}}}\left(g^{-1}\circ (x_{i},y_{i},z_{i})\right)\right|\right)^{2}$ , где $r_{i}=\|(x_{i},y_{i},z_{i})\|_{2}$

Вероятностный метод под названием EMS предназначен для борьбы с шумом и выбросами . ^[6] В этом методе восстановление суперэллипсоида переформулируется как задача оценки максимального правдоподобия , и предлагается метод оптимизации, позволяющий избежать локальных минимумов, используя геометрическое сходство суперэллипсоидов.

Этот метод дополнительно расширяется за счет моделирования с помощью непараметрических байесовских методов для одновременного восстановления нескольких суперэллипсоидов. ^[14]

Ссылки

^ «POV-Ray: Документация: 2.4.1.11 Суперквадратичный эллипсоид» .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Барр (1981). «Суперквадрики и преобразования, сохраняющие угол» . IEEE Компьютерная графика и приложения . 1 (1): 11–23. дои : 10.1109/MCG.1981.1673799 . ISSN 1558-1756 . S2CID 9389947 .
^ Jump up to: ^а ^б Барр, А.Х. (1992), Жесткие физически обоснованные суперквадрики . Глава III.8 книги Graphics Gems III под редакцией Д. Кирка, стр. 137–159.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Руан, Сипу; Ван, Сяоли; Чирикджян, Грегори С. (2022). «Обнаружение столкновений объединений выпуклых тел с гладкими границами с использованием параметризации контактного пространства в замкнутой форме» . Письма IEEE по робототехнике и автоматизации . 7 (4): 9485–9492. дои : 10.1109/LRA.2022.3190629 . ISSN 2377-3766 . S2CID 250543506 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Паскалиду, Деспойна; Ван Гул, Люк; Гейгер, Андреас (2020). «Изучение неконтролируемой иерархической декомпозиции частей 3D-объектов из одного изображения RGB» . Конференция IEEE/CVF 2020 года по компьютерному зрению и распознаванию образов (CVPR) . стр. 1057–1067. дои : 10.1109/CVPR42600.2020.00114 . ISBN 978-1-7281-7168-5 . S2CID 214634317 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Лю, Вэйсяо; Ву, Ювэй; Руан, Сипу; Чирикджян, Грегори С. (2022). «Надежное и точное суперквадричное восстановление: вероятностный подход» . Конференция IEEE/CVF 2022 года по компьютерному зрению и распознаванию образов (CVPR) . стр. 2666–2675. arXiv : 2111.14517 . дои : 10.1109/CVPR52688.2022.00270 . ISBN 978-1-6654-6946-3 . S2CID 244715106 .
^ Jump up to: ^а ^б Паскалиду, Деспойна; Улусой, Али Осман; Гейгер, Андреас (2019). «Возвращение к суперквадрикам: изучение анализа трехмерных форм за пределами кубоидов» . Конференция IEEE/CVF 2019 по компьютерному зрению и распознаванию образов (CVPR) . стр. 10336–10345. arXiv : 1904.09970 . дои : 10.1109/CVPR.2019.01059 . ISBN 978-1-7281-3293-8 . S2CID 128265641 .
^ Jump up to: ^а ^б Лу, Г.; В-третьих, младший; Мюллер, ЧР (20 августа 2012 г.). «Критическая оценка двух подходов к оценке контактов между частицами суперквадричной формы в моделировании DEM» . Химико-техническая наука . 78 : 226–235. Бибкод : 2012ЧЭнС..78..226Л . дои : 10.1016/j.ces.2012.05.041 . ISSN 0009-2509 .
^ Руан, Сипу; Чирикджян, Грегори С. (1 февраля 2022 г.). «Суммы Минковского в замкнутой форме выпуклых тел с гладкими положительно изогнутыми границами» . Компьютерное проектирование . 143 : 103133. arXiv : 2012.15461 . дои : 10.1016/j.cad.2021.103133 . ISSN 0010-4485 . S2CID 229923980 .
^ «СУПЕРКВАДРИКИ И ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА» (PDF) .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Байчи, Р.; Солина, Ф. (1987). «Возврат к трехмерному представлению объектов» . Материалы Международной конференции IEEE/CVF по компьютерному зрению (ICCV) : 231–240.
^ Jump up to: ^а ^б Чжан, Ян (1 октября 2003 г.). «Экспериментальное сравнение целевых функций суперквадрики» . Буквы для распознавания образов . 24 (14): 2185–2193. Бибкод : 2003PaReL..24.2185Z . дои : 10.1016/S0167-8655(02)00400-2 . ISSN 0167-8655 .
^ Гросс, AD; Боулт, TE (1988). «Ошибка подгоночных мер для восстановления параметрических тел» . [Материалы 1988 года] Вторая международная конференция по компьютерному зрению . стр. 690–694. дои : 10.1109/CCV.1988.590052 . ISBN 0-8186-0883-8 . S2CID 43541446 .
^ Ву, Ювэй; Лю, Вэйсяо; Руан, Сипу; Чирикджян, Грегори С. (2022). «Абстракция формы на основе примитивов посредством непараметрического байесовского вывода» . В Авидане, Шай; Бростоу, Габриэль; Сиссе, Мустафа; Фаринелла, Джованни Мария; Хасснер, Таль (ред.). Компьютерное зрение – ECCV 2022 . Конспекты лекций по информатике. Том. 13687. Чам: Springer Nature Switzerland. стр. 479–495. arXiv : 2203.14714 . дои : 10.1007/978-3-031-19812-0_28 . ISBN 978-3-031-19812-0 .

Библиография

Барр, «Суперквадрики и преобразования, сохраняющие угол», в журнале IEEE Computer Graphics and Applications , vol. 1, нет. 1, стр. 11–23, январь 1981 г., номер документа: 10.1109/MCG.1981.1673799.
Алеш Яклич, Алеш Леонардис, Франк Солина, Сегментация и восстановление суперквадриков . Kluwer Academic Publishers, Дордрехт, 2000 г.
Алеш Яклич, Франк Солина (2003) Моменты суперэллипсоидов и их применение для регистрации изображений дальности. ТРАНЗАКЦИИ IEEE ПО СИСТЕМАМ, ЧЕЛОВЕКУ И КИБЕРНЕТИКЕ, 33 (4). стр. 648–657
В. Лю, Ю. Ву, С. Руан и Г.С. Чирикджян, «Надежное и точное суперквадрическое восстановление: вероятностный подход», Конференция IEEE / CVF по компьютерному зрению и распознаванию образов (CVPR), 2022 г. , Новый Орлеан, Луизиана, США, 2022 г. , стр. 2666–2675, doi: 10.1109/CVPR52688.2022.00270.

Внешние ссылки

[1] «POV-Ray: Документация: 2.4.1.11 Суперквадратичный эллипсоид» .

[barr81-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Барр (1981). «Суперквадрики и преобразования, сохраняющие угол» . IEEE Компьютерная графика и приложения . 1 (1): 11–23. дои : 10.1109/MCG.1981.1673799 . ISSN 1558-1756 . S2CID 9389947 .

[barr92-3] Jump up to: ^а ^б Барр, А.Х. (1992), Жесткие физически обоснованные суперквадрики . Глава III.8 книги Graphics Gems III под редакцией Д. Кирка, стр. 137–159.

[:0-4] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Руан, Сипу; Ван, Сяоли; Чирикджян, Грегори С. (2022). «Обнаружение столкновений объединений выпуклых тел с гладкими границами с использованием параметризации контактного пространства в замкнутой форме» . Письма IEEE по робототехнике и автоматизации . 7 (4): 9485–9492. дои : 10.1109/LRA.2022.3190629 . ISSN 2377-3766 . S2CID 250543506 .

[:1-5] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Паскалиду, Деспойна; Ван Гул, Люк; Гейгер, Андреас (2020). «Изучение неконтролируемой иерархической декомпозиции частей 3D-объектов из одного изображения RGB» . Конференция IEEE/CVF 2020 года по компьютерному зрению и распознаванию образов (CVPR) . стр. 1057–1067. дои : 10.1109/CVPR42600.2020.00114 . ISBN 978-1-7281-7168-5 . S2CID 214634317 .

[:2-6] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Лю, Вэйсяо; Ву, Ювэй; Руан, Сипу; Чирикджян, Грегори С. (2022). «Надежное и точное суперквадричное восстановление: вероятностный подход» . Конференция IEEE/CVF 2022 года по компьютерному зрению и распознаванию образов (CVPR) . стр. 2666–2675. arXiv : 2111.14517 . дои : 10.1109/CVPR52688.2022.00270 . ISBN 978-1-6654-6946-3 . S2CID 244715106 .

[:3-7] Jump up to: ^а ^б Паскалиду, Деспойна; Улусой, Али Осман; Гейгер, Андреас (2019). «Возвращение к суперквадрикам: изучение анализа трехмерных форм за пределами кубоидов» . Конференция IEEE/CVF 2019 по компьютерному зрению и распознаванию образов (CVPR) . стр. 10336–10345. arXiv : 1904.09970 . дои : 10.1109/CVPR.2019.01059 . ISBN 978-1-7281-3293-8 . S2CID 128265641 .

[:4-8] Jump up to: ^а ^б Лу, Г.; В-третьих, младший; Мюллер, ЧР (20 августа 2012 г.). «Критическая оценка двух подходов к оценке контактов между частицами суперквадричной формы в моделировании DEM» . Химико-техническая наука . 78 : 226–235. Бибкод : 2012ЧЭнС..78..226Л . дои : 10.1016/j.ces.2012.05.041 . ISSN 0009-2509 .

[9] Руан, Сипу; Чирикджян, Грегори С. (1 февраля 2022 г.). «Суммы Минковского в замкнутой форме выпуклых тел с гладкими положительно изогнутыми границами» . Компьютерное проектирование . 143 : 103133. arXiv : 2012.15461 . дои : 10.1016/j.cad.2021.103133 . ISSN 0010-4485 . S2CID 229923980 .

[10] «СУПЕРКВАДРИКИ И ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА» (PDF) .

[:5-11] Jump up to: ^а ^б ^с Байчи, Р.; Солина, Ф. (1987). «Возврат к трехмерному представлению объектов» . Материалы Международной конференции IEEE/CVF по компьютерному зрению (ICCV) : 231–240.

[:6-12] Jump up to: ^а ^б Чжан, Ян (1 октября 2003 г.). «Экспериментальное сравнение целевых функций суперквадрики» . Буквы для распознавания образов . 24 (14): 2185–2193. Бибкод : 2003PaReL..24.2185Z . дои : 10.1016/S0167-8655(02)00400-2 . ISSN 0167-8655 .

[13] Гросс, AD; Боулт, TE (1988). «Ошибка подгоночных мер для восстановления параметрических тел» . [Материалы 1988 года] Вторая международная конференция по компьютерному зрению . стр. 690–694. дои : 10.1109/CCV.1988.590052 . ISBN 0-8186-0883-8 . S2CID 43541446 .

[14] Ву, Ювэй; Лю, Вэйсяо; Руан, Сипу; Чирикджян, Грегори С. (2022). «Абстракция формы на основе примитивов посредством непараметрического байесовского вывода» . В Авидане, Шай; Бростоу, Габриэль; Сиссе, Мустафа; Фаринелла, Джованни Мария; Хасснер, Таль (ред.). Компьютерное зрение – ECCV 2022 . Конспекты лекций по информатике. Том. 13687. Чам: Springer Nature Switzerland. стр. 479–495. arXiv : 2203.14714 . дои : 10.1007/978-3-031-19812-0_28 . ISBN 978-3-031-19812-0 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]