Суперэллипс

Примеры суперэллипсов для $a=1,\ b=0.75$

Суперэллипс , также известный как кривая Ламе в честь Габриэля Ламе , представляет собой замкнутую кривую, напоминающую эллипс , сохраняющую геометрические особенности большой полуоси и малой полуоси , а также симметрию относительно них, но определяемую уравнением, которое допускает различные фигуры между прямоугольником и эллипсом.

В двумерной декартовой системе координат суперэллипс определяется как набор всех точек. $(x,y)$ на кривой, удовлетворяющей уравнению $$\left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1,$$где $a$ и $b$ - положительные числа, называемые полудиаметрами или полуосями суперэллипса, и $n$ — положительный параметр, определяющий форму. Когда $n=2$, суперэллипс — это обычный эллипс. Для $n>2$, форма более прямоугольная с закругленными углами, а для $0<n<2$, оно более острое.

В полярной системе координат уравнение суперэллипса имеет вид (множество всех точек $(r,\theta )$ на кривой удовлетворяют уравнению): $$r=\left(\left|{\frac {\cos(\theta )}{a}}\right|^{n}\!\!+\left|{\frac {\sin(\theta )}{b}}\right|^{n}\!\right)^{-1/n}\!.$$

Конкретные случаи

Эта формула определяет замкнутую кривую, содержащуюся в прямоугольнике – a ≤ x ≤ + a и – b ≤ y ≤ + b . Параметры $a$ и $b$ являются полудиаметрами или полуосями кривой. Общая форма кривой определяется значением показателя степени $n$, как показано в следующей таблице:

$0<n<1$	Суперэллипс выглядит как четырехконечная звезда с вогнутыми (загнутыми внутрь) сторонами. Для $n=1/2$, в частности, каждая из четырех дуг является сегментом параболы . Астроид — особый случай $a=b$ , $n=2/3$	Суперэллипс с n = 1 ⁄ 2 , а = б = 1
$n=1$	Кривая представляет собой ромб с углами ( $\pm a,0$) и ( $0,\pm b$).
$1<n<2$	Кривая имеет вид ромба с такими же углами, но с выпуклыми (выгнутыми наружу) сторонами. Кривизна увеличивается без ограничений по мере приближения к крайним точкам.	Суперэллипс с n = 3 ⁄ 2 , а = б = 1
$n=2$	Кривая представляет собой обычный эллипс (в частности, круг , если $a=b$).
$n>2$	Кривая внешне выглядит как прямоугольник с закругленными углами. Кривизна равна нулю в точках ( $\pm a,0$) и ( $0,\pm b$).	Сквиркл , суперэллипс с n = 4, a = b = 1

Если $n<2$фигуру еще называют гипоэллипсом ; если $n>2$, гиперэллипс . Когда $n\geq 1$ и $a=b$ граница шара , суперэллипс — это $\mathbb {R} ^{2}$ в $n$-норма . Крайние точки суперэллипса: ( $\pm a,0$) и ( $0,\pm b$), а его четыре «угла» равны ( $\pm s_{a}$, $\pm s_{b}$), где $s=2^{-1/n}$ (иногда называемый «сверхспособностью» ).

Математические свойства

Когда n — положительное рациональное число $p/q$ (в самых простых терминах), то каждый квадрант суперэллипса представляет собой плоскую алгебраическую кривую порядка $p/q$. В частности, когда $a=b=1$ и n — четное целое число, то это кривая Ферма степени n . В этом случае оно неособое, но вообще оно будет сингулярным . Если числитель нечетный, то кривая состоит из частей одной и той же алгебраической кривой в разных ориентациях.

Кривая задается параметрическими уравнениями (с параметром $t$ не имея элементарной геометрической интерпретации) $$\left.{\begin{aligned}x\left(t\right)&=\pm a\cos ^{\frac {2}{n}}t\\y\left(t\right)&=\pm b\sin ^{\frac {2}{n}}t\end{aligned}}\right\}\qquad 0\leq t\leq {\frac {\pi }{2}}$$где каждый $\pm$ можно выбирать отдельно так, чтобы каждое значение $t$ дает четыре точки на кривой. Эквивалентно, позволяя $t$ диапазон более $0\leq t<2\pi ,$$${\begin{aligned}x\left(t\right)&={\left|\cos t\right|}^{\frac {2}{n}}\cdot a\operatorname {sgn}(\cos t)\\y\left(t\right)&={\left|\sin t\right|}^{\frac {2}{n}}\cdot b\operatorname {sgn}(\sin t)\end{aligned}}$$где функция знаковая $$\operatorname {sgn}(w)={\begin{cases}-1,&w<0\\0,&w=0\\+1,&w>0.\end{cases}}$$Здесь $t$ не является углом между положительной горизонтальной осью и лучом из начала координат в точку, так как тангенс этого угла равен $y/x$ а в параметрических выражениях ${\textstyle {\frac {y}{x}}={\frac {b}{a}}(\tan t)^{2/n}\neq \tan t.}$

Область

Площадь внутри суперэллипса можно выразить через гамма-функцию как $$\mathrm {Area} =4ab{\frac {\left(\Gamma \left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)\right)^{2}}{\Gamma \left(1+{\tfrac {2}{n}}\right)}},$$или с точки зрения бета-функции как

$\mathrm {Area} ={\frac {4ab}{n}}\mathrm {B} \!\left({\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}+1\right).$

Периметр

Периметр суперэллипса , как и периметр эллипса , не допускает решения в замкнутой форме, используя только элементарные функции . Точные решения для периметра суперэллипса существуют с использованием бесконечного суммирования ; их можно было бы усечь для получения приближенных решений. Численное интегрирование — еще один вариант получения оценок периметра с произвольной точностью.

Аппроксимация в закрытой форме, полученная с помощью символьной регрессии, также является вариантом, сочетающим в себе экономию и точность. Рассмотрим суперэллипс с центром в начале двумерной плоскости. Теперь представьте, что суперэллипс (с параметром формы $n$) растянута так, что первый квадрант (например, $x>0$, $y>0$) представляет собой дугу из $(1,0)$ к $(0,h)$, с $h\geq 1$. Затем длина дуги суперэллипса внутри этого квадранта аппроксимируется следующей функцией $h$ и $n$:

h + (((((n-0.88487077) * h + 0.2588574 / h) ^ exp(n / -0.90069205)) + h) + 0.09919785) ^ (-1.4812293 / n)

Это приближение длины дуги в одном квадранте имеет точность в пределах ±0,2% для всех значений $n$и может использоваться для эффективной оценки общего периметра суперэллипса.

Кривая педали

Кривую педали относительно легко вычислить. В частности, педаль $$\left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1,$$дается в полярных координатах выражением $$(a\cos \theta )^{\tfrac {n}{n-1}}+(b\sin \theta )^{\tfrac {n}{n-1}}=r^{\tfrac {n}{n-1}}.$$

Обобщения

Обобщение этих форм может включать несколько подходов. Обобщения суперэллипса в более высоких измерениях сохраняют фундаментальную математическую структуру суперэллипса, адаптируя его к различным контекстам и приложениям.

Высшие измерения

Обобщения суперэллипса в более высоких измерениях сохраняют фундаментальную математическую структуру суперэллипса, адаптируя ее к различным контекстам и приложениям.

• Суперэллипсоид . расширяет суперэллипс в трех измерениях, создавая формы, которые варьируются от эллипсоидов до прямоугольных тел с закругленными краями Суперэллипсоид определяется как совокупность всех точек $(x,y,z)$ которые удовлетворяют уравнению: $$\left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {z}{c}}\right|^{n}\!=1,$$где $a,b$ и $c$ являются положительными числами, называемыми полуосями суперэллипсоида, а $n$ — положительный параметр, определяющий форму.
• Гиперэллипсоид – это $d$-мерный аналог эллипсоида ( и, соответственно, суперэллипсоида). Он определяется как совокупность всех точек $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{d})$ которые удовлетворяют уравнению: $$\left|{\frac {x_{1}}{a_{1}}}\right|^{n}\!\!+\left|{\frac {x_{2}}{a_{2}}}\right|^{n}\!+\ldots +\left|{\frac {x_{d}}{a_{d}}}\right|^{n}\!=1,$$где $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{d}$ - положительные числа, называемые полуосями гиперэллипсоида, а $n$ — положительный параметр, определяющий форму.

Различные показатели

Вариации суперэллипса с разными показателями

Использование разных показателей степени для каждого члена уравнения, что обеспечивает большую гибкость в формировании формы.

Для двумерного случая уравнение имеет вид $\left|{\frac {x}{a}}\right|^{m}\!\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1;m,n>0,$ где $m$ либо равно, либо отличается от $n$. Если $m=n$, это суперэллипсы Ламе. Если $m\neq n$, кривая обладает большей гибкостью поведения и лучше подходит для описания некоторой экспериментальной информации.

Национальный центр исполнительских искусств

Для трехмерного случая три разные положительные степени $m$, $n$ и $p$ можно использовать в уравнении $\left|{\frac {x}{a}}\right|^{m}\!\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {z}{c}}\right|^{p}\!=1$. Если $m=n=p$, получается суперэллипсоид. Если любые две или все три степени отличаются друг от друга, получается твердое тело, которое может обладать большей гибкостью в представлении реальных структурных данных, чем суперэллипсоид. Трехмерный суперэллипсоид с $m=n=2.2$, $p=2.4$ и полудиаметры $a=b=1$, $c=0.5$ представляет структуру Национального центра исполнительских искусств Китая.

В общем $N$–мерный случай, уравнение имеет вид $\left|{\frac {x_{1}}{a_{1}}}\right|^{N_{1}}\!\!+\left|{\frac {x_{2}}{a_{2}}}\right|^{N_{2}}\!+\ldots +\left|{\frac {x_{N}}{a_{N}}}\right|^{N_{N}}\!=1$, где В общем, $n_{1},n_{2},\ldots ,n_{N}$ могут отличаться друг от друга. Это суперэллипсоид, только если $n_{1}=n_{2}=\ldots =n_{N}=n$.

Связанные фигуры

Суперквадрики — это семейство фигур, в которое в качестве особого случая входят суперэллипсоиды. Их используют в компьютерной графике и геометрическом моделировании для создания сложных плавных форм с легко настраиваемыми параметрами. не являются прямым обобщением суперэллипсов, Хотя гиперсферы они также разделяют концепцию расширения геометрических фигур в более высокие измерения. Эти родственные формы демонстрируют универсальность и широкую применимость фундаментальных принципов, лежащих в основе суперэллипсов.

Анизотропное масштабирование

Анизотропное масштабирование предполагает различное масштабирование формы по разным осям, обеспечивая дополнительный контроль над геометрией. Этот подход можно применить к суперэллипсам, суперэллипсоидам и их многомерным аналогам для создания более широкого разнообразия форм и лучшего соответствия конкретным требованиям в таких приложениях, как компьютерная графика, структурное проектирование и визуализация данных. Например, анизотропное масштабирование позволяет создавать формы, которые могут более точно моделировать объекты реального мира, регулируя пропорции по каждой оси независимо.

История

Общее декартово обозначение формы принадлежит французскому математику Габриэлю Ламе (1795–1870), который обобщил уравнение эллипса.

Внешние очертания букв «о» и «О» в шрифте Melior Цапфа описываются суперэллипсами с n = log(1/2) / log (7/9) ≈ 2,758.

Германа Цапфа , В шрифте Melior опубликованном в 1952 году, для таких букв, как o , используются суперэллипсы . Тридцать лет спустя Дональд Кнут встроил возможность выбора между истинными эллипсами и суперэллипсами (оба аппроксимированными кубическими сплайнами ) в свое семейство шрифтов Computer Modern .

Центральный фонтан Сергельсторга очерчен суперэллипсом с n = 2,5 и a / b = 6/5.

Суперэллипс был назван датским поэтом и ученым Питом Хейном (1905–1996), хотя он и не открыл его, как иногда утверждают. В 1959 году градостроители Стокгольма ( Швеция ) объявили о вызове на проектирование кольцевой развязки на городской площади Сергельс Торг . Победившее предложение Пита Хейна основывалось на суперэллипсе с n = 2,5 и a / b = 6/5. Как он это объяснил:

Человек — это животное, которое рисует линии, о которые потом сам спотыкается. Во всей модели цивилизации существовало две тенденции: одна — к прямым линиям и прямоугольным узорам, другая — к круговым линиям. Обе тенденции имеют свои причины, механические и психологические. Вещи, выполненные с прямыми линиями, хорошо сочетаются друг с другом и экономят пространство. И мы можем легко перемещаться — физически или мысленно — вокруг предметов, сделанных из круглых линий. Но мы находимся в смирительной рубашке и вынуждены принимать то или другое, хотя зачастую лучше использовать промежуточную форму. Нарисовать что-то от руки — например, лоскутную развязку, которую они попробовали в Стокгольме, — не получится. Он не фиксирован, не определен, как круг или квадрат. Вы не знаете, что это такое. Это не эстетично. Суперэллипс решил проблему. Он не круглый и не прямоугольный, а нечто среднее. Однако оно фиксировано, оно определённо, оно обладает единством.

Сергельсторг был завершен в 1967 году. Тем временем Пит Хейн продолжал использовать суперэллипс в других артефактах, таких как кровати, блюда, столы и т. д. Вращая суперэллипс вокруг самой длинной оси, он создал суперяйцо , твёрдую яйцеобразную форму, которая могла стоять вертикально на плоской поверхности и продавалась как новинка .

В 1968 году, когда участники переговоров в Париже по поводу войны во Вьетнаме не смогли договориться о форме стола для переговоров, Балински, Кирон Андервуд и Холт в письме в газету « Нью-Йорк Таймс» предложили использовать суперэллиптический стол . Суперэллипс был использован для создания формы Олимпийского стадиона Ацтека 1968 года в Мехико .

Второй этаж первоначального Всемирного торгового центра в Нью-Йорке представлял собой большой нависающий балкон в форме суперэллипса.

Уолдо Р. Тоблер разработал картографическую проекцию , гиперэллиптическую проекцию Тоблера , опубликованную в 1973 году. в которой меридианы представляют собой дуги суперэллипсов.

Логотип новостной компании The Local представляет собой наклоненный суперэллипс, соответствующий пропорциям Сергельс Торга. В логотипе « Питтсбург Стилерс» используются три соединенных суперэллипса .

В вычислениях мобильная операционная система iOS использует кривую суперэллипса для значков приложений, заменяя стиль закругленных углов, использовавшийся до версии 6.

См. также

• Астроид , суперэллипс с n = 2 ⁄ 3 и a = b — гипоциклоида с четырьмя точками возврата.
  • Дельтовидная кривая , гипоциклоида трех створок.
• Сквиркл , суперэллипс с n = 4 и a = b , выглядит как «Четырёхугольное колесо».
  • Треугольник Рело , «Треугольное колесо».
• Суперформула , обобщение суперэллипса.
• Суперквадрики : суперэллипсоиды и супертороиды , трёхмерные «родственники» суперэллипсов.
• Суперэллиптическая кривая , уравнение вида Y ^н знак равно ж ( Икс ).
• л ^п пространства

Внешние ссылки

• Соколов, Д.Д. (2001) [1994], «Кривая Ламе» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• «Кривая Ламе» в MathCurve.
• Вайсштейн, Эрик В. «Суперэллипс» . Математический мир .
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Хромые кривые» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• «Супер Эллипс» на 2dcurves.com
• Калькулятор суперэллипсов и генератор шаблонов
• Набор инструментов для подгонки суперэллипсов в MATLAB
• Код C для подгонки суперэллипсов