Супертороид

В геометрии и компьютерной графике или под супертороидом супертором обычно понимают семейство бубликообразных определяют поверхностей (технически топологический тор ), форма которых определяется математическими формулами, подобными тем, которые суперэллипсоиды . Множественное число слова «супертор» — это либо суперторы , либо суперторы .

Семья была описана и названа Аланом Барром в 1994 году. ^[1]

Супертороиды Барра были довольно популярны в компьютерной графике как удобная модель для многих объектов, таких как гладкие рамки для прямоугольных объектов. Одна четверть супертороида может обеспечить плавное и бесшовное соединение под углом 90 градусов между двумя суперквадричными цилиндрами . Однако они не являются алгебраическими поверхностями (за исключением особых случаев).

Формулы

Супертороиды Алана Барра определяются параметрическими уравнениями, аналогичными тригонометрическим уравнениям тора, за исключением того, что члены синуса и косинуса возводятся в произвольные степени . А именно, общая точка $P (u, v)$ поверхности задается формулой $P(u,v)=\left({\begin{array}{c}X(u,v)\\Y(u,v)\\Z(u,v)\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}(a+C_{u}^{s})C_{v}^{t}\\(b+C_{u}^{s})S_{v}^{t}\\S_{u}^{s}\end{array}}\right)$ где ${\begin{aligned}C_{\theta }^{\varepsilon }&=\operatorname {sgn} (\cos \theta )\,\left|\,\cos \theta \,\right|^{\varepsilon },\\S_{\theta }^{\varepsilon }&=\operatorname {sgn} (\sin \theta )\ \left|\,\sin \theta \ \right|^{\varepsilon },\end{aligned}}$ $sgn$ — знаковая функция , а параметры $u, v$ находятся в диапазоне от 0 до 360 градусов (от 0 до 2 π радиан ).

В этих формулах параметр $s > 0$ контролирует «квадратность» вертикальных сечений, $t > 0$ контролирует прямоугольность горизонтальных сечений, а $a, b \geq 1$ — большие радиусы в $направлениях x$ и $y$ . При $s = t = 1$ и $a = b = R$ получается обыкновенный тор с большим радиусом $R$ и малым радиусом 1, с центром в начале координат и вращательной симметрией относительно $оси z$ .

В общем, супертор, определенный выше, охватывает интервалы : ${\begin{array}{rcccl}-(a+1)&\leq &x&\leq &+(a+1)\\[4pt]-(b+1)&\leq &y&\leq &+(b+1)\\[4pt]-1&\leq &z&\leq &+1\end{array}}$ Вся форма симметрична относительно плоскостей $x = 0$ , $y = 0$ и $z = 0$ . Отверстие проходит в $направлении z$ и охватывает интервалы ${\begin{array}{rcccl}-(a-1)&\leq &x&\leq &+(a-1)\\[4pt]-(b-1)&\leq &y&\leq &+(b-1)\\[4pt]-\infty &\leq &z&\leq &+\infty \end{array}}$

Кривая постоянной $u$ на этой поверхности представляет собой горизонтальную кривую Ламе с показателем ⁠ ${\tfrac {2}{t}},$ ⁠ масштабирован по $x$ и $y$ и смещен по $z$ . Кривая постоянной $v$ , проецируемая на плоскость $x = 0$ или $y = 0$ , является кривой Ламе с показателем ⁠ ${\tfrac {2}{s}},$ ⁠ масштабирован и сдвинут по горизонтали. Если $v = 0$ , кривая плоская и охватывает интервалы: ${\begin{array}{rcccl}a-1&\leq &x&\leq &a+1\\[4pt]-1&\leq &z&\leq &+1\end{array}}$ и аналогично, если $v = 90°, 180°, 270°$ . Кривая также плоская, если $a = b$ .

В общем, если $a \neq b$ и $v$ не кратно 90 градусам, кривая константы $v$ не будет плоской; и, наоборот, вертикальное плоское сечение супертора не будет кривой Ламе.

Базовая форма супертороида, определенная выше, часто изменяется путем неравномерного масштабирования для получения супертороидов определенной ширины, длины и толщины по вертикали.

Построение кода

Следующий код GNU Octave генерирует графики супертора:

 function supertoroid(epsilon,a)
  n=50;
  d=.1;
  etamax=pi;
  etamin=-pi;
  wmax=pi;
  wmin=-pi;
  deta=(etamax-etamin)/n;
  dw=(wmax-wmin)/n;
  k=0;
  l=0;
  for i=1:n+1
    eta(i)=etamin+(i-1)*deta;
    for j=1:n+1
      w(j)=wmin+(j-1)*dw;
      x(i,j)=a(1)*(a(4)+sign(cos(eta(i)))*abs(cos(eta(i)))^epsilon(1))*sign(cos(w(j)))*abs(cos(w(j)))^epsilon(2);
      y(i,j)=a(2)*(a(4)+sign(cos(eta(i)))*abs(cos(eta(i)))^epsilon(1))*sign(sin(w(j)))*abs(sin(w(j)))^epsilon(2);
      z(i,j)=a(3)*sign(sin(eta(i)))*abs(sin(eta(i)))^epsilon(1);
    endfor;
  endfor;
   mesh(x,y,z);
 endfunction;

См. также

Ссылки

^ Алан Х. Барр (1981) Суперквадрики и преобразования, сохраняющие угол . Компьютерная графика и приложения IEEE, том 1, выпуск 1. стр. 11–23.

[barr-1] Алан Х. Барр (1981) Суперквадрики и преобразования, сохраняющие угол . Компьютерная графика и приложения IEEE, том 1, выпуск 1. стр. 11–23.

[1]