Суперквадрики

Какие-то суперквадрики.

В математике суперквадрики суперквадрики или суперквадратики (также определяемых ) представляют собой семейство геометрических фигур, формулами, которые напоминают формулы эллипсоидов и других квадрик , за исключением того, что операции возведения в квадрат заменяются произвольными степенями. Их можно рассматривать как трехмерных родственников суперэллипсов . Этот термин может относиться к твердому объекту или к его поверхности , в зависимости от контекста. Приведенные ниже уравнения определяют поверхность; твердое тело задается путем замены знаков равенства на знаки «меньше или равно».

Суперквадрики включают множество форм, напоминающих кубы , октаэдры , цилиндры , ромбы и веретена , с закругленными или острыми углами. Благодаря своей гибкости и относительной простоте они являются популярными инструментами геометрического моделирования , особенно в компьютерной графике . Он становится важным геометрическим примитивом, широко используемым в компьютерном зрении. робототехника, и физическое моделирование.

Некоторые авторы, такие как Алан Барр , определяют «суперквадрики» как включающие как суперэллипсоиды , так и супертороиды . В современной литературе по компьютерному зрению суперквадрики и суперэллипсоиды используются как взаимозаменяемые, поскольку суперэллипсоиды являются наиболее репрезентативной и широко используемой формой среди всех суперквадриков. Всестороннее освещение геометрических свойств суперквадриков и методов их восстановления из изображений дальности и облаков точек описано в нескольких публикациях по компьютерному зрению.

Формулы

Неявное уравнение

Поверхность базовой суперквадрики имеет вид

$\left|x\right|^{r}+\left|y\right|^{s}+\left|z\right|^{t}=1$

где r , s и t — положительные действительные числа, определяющие основные свойства суперквадрики. А именно:

• меньше 1: заостренный октаэдр, модифицированный так, чтобы иметь вогнутые грани и острые края .
• ровно 1: правильный октаэдр .
• между 1 и 2: октаэдр, измененный так, чтобы иметь выпуклые грани, тупые края и тупые углы.
• ровно 2: сфера
• больше 2: куб с закругленными краями и углами.
• бесконечный (в пределе ): куб

Каждый показатель степени можно изменять независимо для получения комбинированных форм. Например, если r = s =2 и t =4, получается тело вращения, напоминающее эллипсоид с круглым поперечным сечением, но сплюснутыми концами. Эта формула является частным случаем формулы суперэллипсоида, если (и только если) r = s .

Если любой показатель степени может быть отрицательным, форма простирается до бесконечности. Такие формы иногда называют супергиперболоидами .

Базовая фигура выше имеет диапазон от -1 до +1 вдоль каждой оси координат. Общая суперквадрика является результатом масштабирования этой базовой формы на разные величины A , B , C вдоль каждой оси. Его общее уравнение:

$\left|{\frac {x}{A}}\right|^{r}+\left|{\frac {y}{B}}\right|^{s}+\left|{\frac {z}{C}}\right|^{t}=1.$

Параметрическое описание

Параметрические уравнения в терминах параметров поверхности u и v (эквивалентных долготе и широте, если m равно 2) имеют вид

${\begin{aligned}x(u,v)&{}=Ag\left(v,{\frac {2}{r}}\right)g\left(u,{\frac {2}{r}}\right)\\y(u,v)&{}=Bg\left(v,{\frac {2}{s}}\right)f\left(u,{\frac {2}{s}}\right)\\z(u,v)&{}=Cf\left(v,{\frac {2}{t}}\right)\\&-{\frac {\pi }{2}}\leq v\leq {\frac {\pi }{2}},\quad -\pi \leq u<\pi ,\end{aligned}}$

где вспомогательные функции

${\begin{aligned}f(\omega ,m)&{}=\operatorname {sgn}(\sin \omega )\left|\sin \omega \right|^{m}\\g(\omega ,m)&{}=\operatorname {sgn}(\cos \omega )\left|\cos \omega \right|^{m}\end{aligned}}$

а знаковая функция sn( x ) равна

$\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1,&x<0\\0,&x=0\\+1,&x>0.\end{cases}}$

Сферический продукт

Барр представляет сферический продукт , который по двум плоским кривым создает трехмерную поверхность. Если $$f(\mu )={\begin{pmatrix}f_{1}(\mu )\\f_{2}(\mu )\end{pmatrix}},\quad g(\nu )={\begin{pmatrix}g_{1}(\nu )\\g_{2}(\nu )\end{pmatrix}}$$ две плоские кривые, то сферическое произведение равно $$h(\mu ,\nu )=f(\mu )\otimes g(\nu )={\begin{pmatrix}g_{1}(\nu )\ f_{1}(\mu )\\g_{1}(\nu )\ f_{2}(\mu )\\g_{2}(\nu )\end{pmatrix}}$$ Это похоже на типичное параметрическое уравнение сферы : $${\begin{aligned}x&=x_{0}+r\sin \theta \;\cos \varphi \\y&=y_{0}+r\sin \theta \;\sin \varphi \qquad (0\leq \theta \leq \pi ,\;0\leq \varphi <2\pi )\\z&=z_{0}+r\cos \theta \end{aligned}}$$ которые дали начало названию сферического продукта.

Барр использует сферическое произведение для определения квадратичных поверхностей, таких как эллипсоиды и гиперболоиды , а также тор . суперэллипсоид , суперквадрические одно- и двухлистные гиперболоиды и супертороиды.

Построение кода

Следующий код GNU Octave генерирует сеточную аппроксимацию суперквадрики:

function superquadric(epsilon,a)
  n = 50;
  etamax = pi/2;
  etamin = -pi/2;
  wmax = pi;
  wmin = -pi;
  deta = (etamax-etamin)/n;
  dw = (wmax-wmin)/n;
  [i,j] = meshgrid(1:n+1,1:n+1)
  eta = etamin + (i-1) * deta;
  w   = wmin + (j-1) * dw;
  x = a(1) .* sign(cos(eta)) .* abs(cos(eta)).^epsilon(1) .* sign(cos(w)) .* abs(cos(w)).^epsilon(1);
  y = a(2) .* sign(cos(eta)) .* abs(cos(eta)).^epsilon(2) .* sign(sin(w)) .* abs(sin(w)).^epsilon(2);
  z = a(3) .* sign(sin(eta)) .* abs(sin(eta)).^epsilon(3);

  mesh(x,y,z);
end

См. также

• Суперяйцо
• Суперэллипсоид
• Эллипсоид

Внешние ссылки

• Библиография: Представления суперквадриков.
• Суперквадрические тензорные глифы
• Суперквадриковые эллипсоиды и тороиды, освещение OpenGL и синхронизация
• Суперквадрики Роберта Краглера, Демонстрационный проект Wolfram .
• Суперквадрики в Python
• Алгоритм восстановления суперквадриков в Python и MATLAB