Октаэдр

Правильный октаэдр
(Нажмите здесь, чтобы увидеть вращающуюся модель)
Тип	Платоново твердое тело
Элементы	Ф = 8, Е = 12 V = 6 (χ = 2)
Лица по сторонам	8{3}
Обозначение Конвея	О в
Символы Шлефли	{3,4}
Символы Шлефли	г{3,3} или ${\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}$ {}+{}+{}=3{}
Конфигурация лица	Версия 4.4.4
Символ Витхоффа	4 \| 2 3
Диаграмма Кокстера
Симметрия	О _h , BC ₃ , [4,3], (*432)
Группа вращения	О , [4,3] ⁺, (432)
Рекомендации	У ₀₅ , С ₁₇ , Вт ₂
Характеристики	правильный , выпуклый дельтаэдр , многогранник Ханнера
Двугранный угол	109,47122° = arccos(− 1 ⁄ 3 )
3.3.3.3 ( фигура вершины )	Куб ( двойной многогранник )
Сеть

В геометрии октаэдр многогранник ( мн.: октаэдры или октаэдры ) — с восемью гранями. Этот термин чаще всего используется для обозначения правильного октаэдра , платоновского тела , состоящего из восьми равносторонних треугольников , четыре из которых сходятся в каждой вершине .

Правильный октаэдр — это многогранник кубу двойственный . Это также выпрямленный тетраэдр , квадратная бипирамида в любой из трех ортогональных ориентаций и треугольная антипризма в любой из четырех ориентаций.

Октаэдр — это трехмерный случай более общего понятия перекрестного многогранника .

Правильный октаэдр — это 3-шар в манхэттенской ( $ℓ$ ₁ ) метрике .

Правильный октаэдр [ править ]

Размеры [ править ]

Если длина ребра правильного октаэдра равна a , радиус описанной сферы (той, которая касается октаэдра во всех вершинах) равен

r_{u}={\frac {\sqrt {2}}{2}}a\approx 0.707\cdot a

а радиус вписанной сферы ( касательной к каждой из граней октаэдра) равен

r_{i}={\frac {\sqrt {6}}{6}}a\approx 0.408\cdot a

в то время как средний радиус, который касается середины каждого края, равен

r_{m}={\tfrac {1}{2}}a=0.5\cdot a

Ортогональные проекции [ править ]

Октаэдр , расположенные по имеет четыре специальные ортогональные проекции центру на ребре, вершине, грани и нормали к грани. Вторая и третья соответствуют _{В 2} и А ₂ плоскостям Кокстера .

Ортогональные проекции
В центре	Край	Лицо Нормальный	Вертекс	Лицо
Изображение
Проективный симметрия	[2]	[2]	[4]	[6]

Сферическая черепица [ править ]

Октаэдр также можно представить в виде сферической мозаики и спроецировать на плоскость посредством стереографической проекции . Эта проекция является равноугольной , сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые линии на сфере проецируются на плоскость в виде дуг окружностей.

Ортографическая проекция	Стереографическая проекция

Декартовы координаты [ править ]

Октаэдр с длиной ребра √ 2 можно разместить так, чтобы его центр находился в начале координат, а вершины - на осях координат; тогда декартовы координаты вершин равны

( ±1, 0, 0 );

( 0, ±1, 0 );

( 0, 0, ±1 ).

В x – y – z декартовой системе координат октаэдр с центральными координатами ( a , b , c ) и радиусом r представляет собой набор всех точек ( x , y , z ) таких, что

\left|x-a\right|+\left|y-b\right|+\left|z-c\right|=r.

Площадь и объём [ править ]

Площадь поверхности A и объем V правильного октаэдра с длиной ребра a равны:

A=2{\sqrt {3}}a^{2}\approx 3.464a^{2}

V={\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}a^{3}\approx 0.471a^{3}

Таким образом, объём в четыре раза больше, чем у правильного тетраэдра с той же длиной ребра, а площадь поверхности — в два раза (потому что треугольников у нас 8, а не 4).

Если октаэдр растянули так, что он подчиняется уравнению

\left|{\frac {x}{x_{m}}}\right|+\left|{\frac {y}{y_{m}}}\right|+\left|{\frac {z}{z_{m}}}\right|=1,

формулы площади поверхности и объема расширяются и становятся

A=4\,x_{m}\,y_{m}\,z_{m}\times {\sqrt {{\frac {1}{x_{m}^{2}}}+{\frac {1}{y_{m}^{2}}}+{\frac {1}{z_{m}^{2}}}}},

V={\frac {4}{3}}\,x_{m}\,y_{m}\,z_{m}.

Кроме того, тензор инерции растянутого октаэдра равен

I={\begin{bmatrix}{\frac {1}{10}}m(y_{m}^{2}+z_{m}^{2})&0&0\\0&{\frac {1}{10}}m(x_{m}^{2}+z_{m}^{2})&0\\0&0&{\frac {1}{10}}m(x_{m}^{2}-y_{m}^{2})\end{bmatrix}}.

Они сводятся к уравнениям для правильного октаэдра, когда

x_{m}=y_{m}=z_{m}=a\,{\frac {\sqrt {2}}{2}}.

Геометрические отношения [ править ]

Используя стандартную номенклатуру тел Джонсона , октаэдр можно было бы назвать квадратной бипирамидой .

Двойной [ править ]

Октаэдр – это многогранник кубу двойственный .

Если октаэдр с длиной ребра $=a$ вписан в куб, то длина ребра куба $={\sqrt {2}}a$ .

Звездчатость [ править ]

Внутренняя часть соединения двух двойственных тетраэдров представляет собой октаэдр, и это соединение, называемое стелой-октангулой , является его первой и единственной звездчатостью . Соответственно, правильный октаэдр — это результат отсечения от правильного тетраэдра четырех правильных тетраэдров вдвое меньшего линейного размера (т.е. спрямления тетраэдра). Вершины октаэдра лежат в середине ребер тетраэдра, и в этом смысле он относится к тетраэдру так же, как кубооктаэдр и икосододекаэдр относятся к другим платоновым телам.

Курносый октаэдр [ править ]

Можно также разделить ребра октаэдра в соотношении золотой середины , чтобы определить вершины икосаэдра . Это делается путем сначала размещения векторов вдоль ребер октаэдра так, чтобы каждая грань была ограничена циклом, а затем аналогичным образом разделяем каждое ребро на золотую середину вдоль направления его вектора. Есть пять октаэдров, которые таким образом определяют любой икосаэдр, и вместе они определяют правильное соединение . Икосаэдр, полученный таким образом, называется курносым октаэдром .

Тесселяции [ править ]

Октаэдры и тетраэдры могут чередоваться, образуя вершину, ребро и однородную по граням мозаику пространства . Это и регулярная мозаика кубов — единственные такие однородные соты в трехмерном пространстве.

ортосхема Характеристическая

Как и все правильные выпуклые многогранники, октаэдр можно разбить на целое число непересекающихся ортосхем , имеющих одну и ту же форму, характерную для многогранника. многогранника Характеристическая ортосхема является фундаментальным свойством, поскольку многогранник порождается отражениями в гранях его ортосхемы. Ортосхема встречается в двух хиральных формах, которые являются зеркальными отражениями друг друга. Характеристической ортосхемой правильного многогранника является четырехпрямоугольный неправильный тетраэдр .

Грани характеристического тетраэдра октаэдра лежат в зеркальных плоскостях симметрии октаэдра . Октаэдр уникален среди платоновых тел тем, что в каждой вершине сходится четное количество граней. Следовательно, это единственный член этой группы, среди зеркальных плоскостей которого есть те, которые не проходят ни через одну из его граней. октаэдра Группа симметрии обозначается B ₃ . Октаэдр и его двойственный многогранник куб . имеют одну и ту же группу симметрии, но разные характеристики тетраэдров

Характеристический тетраэдр правильного октаэдра можно найти каноническим разрезом. ^[1] правильного октаэдра который подразделяет его на 48 характерных ортосхем. вокруг центра октаэдра. Три левосторонние ортосхемы и три правосторонние ортосхемы встречаются на каждой из восьми граней октаэдра, шесть ортосхем вместе образуют трехпрямоугольный тетраэдр : треугольную пирамиду с гранью октаэдра в качестве равностороннего основания и вершиной с кубическими углами в центре. октаэдра. ^[2]

Характеристики правильного октаэдра ^[3]
	край	дуга		двугранный
𝒍	$2$	90°	${\tfrac {\pi }{2}}$	109°28′	$\pi -2{\text{𝟁}}$

𝟀	${\sqrt {\tfrac {4}{3}}}\approx 1.155$	54°44′8″	${\tfrac {\pi }{2}}-{\text{𝜿}}$	90°	${\tfrac {\pi }{2}}$
𝝉 ^[а]	$1$	45°	${\tfrac {\pi }{4}}$	60°	${\tfrac {\pi }{3}}$
𝟁	${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}\approx 0.577$	35°15′52″	${\text{𝜿}}$	45°	${\tfrac {\pi }{4}}$

$_{0}R/l$	${\sqrt {2}}\approx 1.414$
$_{1}R/l$	$1$
$_{2}R/l$	${\sqrt {\tfrac {2}{3}}}\approx 0.816$

${\text{𝜿}}$		35°15′52″	${\tfrac {{\text{arc sec }}3}{2}}$

Если длина ребра октаэдра 𝒍 = 2, шесть ребер его характерного тетраэдра имеют длину ${\sqrt {\tfrac {4}{3}}}$ , $1$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}$ вокруг его внешней грани прямоугольного треугольника (ребра, противоположные характерным углам 𝟀, 𝝉, 𝟁), ^[а] плюс ${\sqrt {2}}$ , $1$ , ${\sqrt {\tfrac {2}{3}}}$ (ребра, являющиеся характерными радиусами октаэдра). Путь с тремя ребрами вдоль ортогональных ребер ортосхемы равен $1$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {2}{3}}}$ , сначала от вершины октаэдра к центру ребра октаэдра, затем поворот на 90 ° к центру грани октаэдра, затем поворот на 90 ° к центру октаэдра. Ортосхема имеет четыре разные грани прямоугольного треугольника. Внешняя грань представляет собой треугольник 90-60-30, который составляет одну шестую грани октаэдра. Три грани внутри октаэдра: треугольник 45-90-45 с краями. $1$ , ${\sqrt {2}}$ , $1$ , прямоугольный треугольник с ребрами ${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}$ , $1$ , ${\sqrt {\tfrac {2}{3}}}$ , и прямоугольный треугольник с ребрами ${\sqrt {\tfrac {4}{3}}}$ , ${\sqrt {2}}$ , ${\sqrt {\tfrac {2}{3}}}$ .

Топология [ править ]

Октаэдр 4-связен , а это означает, что для отключения оставшихся вершин требуется удаление четырех вершин. Это один из четырех 4-связных симплициальных хорошо покрытых многогранников, а это означает, что все максимальные независимые множества его вершин имеют одинаковый размер. Остальные три многогранника с этим свойством — это пятиугольная дипирамида , курносый дисфеноид и неправильный многогранник с 12 вершинами и 20 треугольными гранями. ^[4]

Сети [ править ]

Правильный октаэдр имеет одиннадцать расположений сеток .

Огранка [ править ]

Однородный тетрагемигексаэдр представляет собой тетраэдрическую симметричную огранку правильного октаэдра, имеющую общее расположение ребер и вершин . У него четыре треугольные грани и три центральных квадрата.

Октаэдр	Тетрагемишестиэдр

Равномерные симметрия цвета и

Есть три однородные раскраски октаэдра, названные по цветам треугольных граней, окружающих каждую вершину: 1212, 1112, 1111.

октаэдра Группа симметрии — Oh _, порядка 48, трёхмерная гипероктаэдрическая группа . этой группы Подгруппы включают D _3d (порядок 12), группу симметрии треугольной антипризмы ; D _4h (порядок 16) — группа симметрии квадратной бипирамиды ; и T _d (порядок 24) — группа симметрии выпрямленного тетраэдра . Эту симметрию можно подчеркнуть разной раскраской лиц.

Имя	Октаэдр	Выпрямленный тетраэдр (Тетратетраэдр)	Треугольная антипризма	Квадратная бипирамида	Ромбическая винтовка
Изображение (Раскраска лица)	(1111)	(1212)	(1112)	(1111)	(1111)
Диаграмма Кокстера		=
Символ Шлефли	{3,4}	г{3,3}	с{2,6} ср{2,3}	фут{2,4} { } + {4}	фут{2,2} { } + { } + { }
Символ Витхоффа	4 \| 3 2	2 \| 4 3	2 \| 6 2 \| 2 3 2
Симметрия	О _ч , [4,3], (*432)	Т _д , [3,3], (*332)	Д _3д , [2 ⁺,6], (2*3) Д ₃ , [2,3] ⁺, (322)	Д _4ч , [2,4], (*422)	Д _2h , [2,2], (*222)
Заказ	48	24	12 6	16	8

Неправильные октаэдры [ править ]

Следующие многогранники комбинаторно эквивалентны правильному многограннику. Все они имеют шесть вершин, восемь треугольных граней и двенадцать ребер, которые один к одному соответствуют чертам правильного октаэдра.

Треугольные антипризмы : две грани равносторонние, лежат в параллельных плоскостях и имеют общую ось симметрии. Остальные шесть треугольников равнобедренные. Правильный октаэдр — это особый случай, в котором шесть боковых треугольников также равносторонние.
Четырехугольные бипирамиды , в которых хотя бы один из экваториальных четырёхугольников лежит на плоскости. Правильный октаэдр — это частный случай, в котором все три четырехугольника являются плоскими квадратами.
Многогранник Шенхардта — невыпуклый многогранник, который нельзя разбить на тетраэдры без введения новых вершин.
Октаэдр Брикара — невыпуклый самопересекающийся гибкий многогранник.

В более общем смысле октаэдром может быть любой многогранник с восемью гранями. Правильный октаэдр имеет 6 вершин и 12 ребер, минимум для октаэдра; неправильные октаэдры могут иметь до 12 вершин и 18 ребер. ^[5]Существует 257 топологически различных выпуклых октаэдров, не считая зеркальных изображений. Точнее, для октаэдров с 6–12 вершинами имеется 2, 11, 42, 74, 76, 38, 14 соответственно. ^[6]^[7] (Два многогранника «топологически различны», если они имеют существенно различное расположение граней и вершин, так что невозможно исказить один в другой, просто изменяя длины ребер или углы между ребрами или гранями.)

Некоторые более известные неправильные октаэдры включают следующее:

Шестиугольная призма : две грани представляют собой параллельные правильные шестиугольники; шесть квадратов соединяют соответствующие пары ребер шестиугольника.
Семиугольная пирамида : одна грань представляет собой семиугольник (обычно правильный), а остальные семь граней представляют собой треугольники (обычно равнобедренные). Невозможно, чтобы все треугольные грани были равносторонними.
Усеченный тетраэдр : четыре грани тетраэдра усекаются, образуя правильные шестиугольники, и есть еще четыре равносторонних треугольных грани, где каждая вершина тетраэдра была усечена.
Тетрагональный трапецоэдр : восемь граней представляют собой конгруэнтные воздушные змеи .
Гиробифастигиум : две однородные треугольные призмы , склеенные по одной из своих квадратных сторон так, что ни один треугольник не имеет общего края с другим треугольником (твердое тело Джонсона 26).
Восьмиугольный осоэдр : вырожден в евклидовом пространстве, но может быть реализован сферически.

Октаэдры в физическом мире [ править ]

Октаэдры в природе [ править ]

Природные кристаллы алмаза , квасцов или флюорита обычно имеют октаэдрическую форму, представляющую собой заполняющие пространство тетраэдрически-октаэдрические соты .
Пластины камаситового сплава в октаэдритовых метеоритах расположены параллельно восьми граням октаэдра.
Многие ионы металлов координируют шесть лигандов в октаэдрической или искаженной октаэдрической конфигурации.
Видманштеттеновые узоры в никеля и железа кристаллах

Октаэдры в искусстве и культуре [ править ]

Особенно в ролевых играх это тело известно как «d8», один из наиболее распространенных многогранных кубиков .
Если каждое ребро октаэдра заменить резистором 1 Ом сопротивлением , сопротивление между противоположными вершинами составит 1/2 вершинами Ом , причем между соседними 5/12 Ом . ^[8]
Шесть музыкальных нот можно расположить по вершинам октаэдра таким образом, что каждое ребро представляет собой двойку согласных, а каждая грань представляет собой триаду согласных; . гексани см .

Ферма тетраэдрального октета [ править ]

Пространственная рамка из чередующихся тетраэдров и полуоктаэдров, полученная из тетраэдрально-октаэдрических сот, была изобретена Бакминстером Фуллером в 1950-х годах. Его обычно считают самой прочной строительной конструкцией, способной противостоять консольным нагрузкам.

Связанные многогранники [ править ]

Правильный октаэдр можно превратить в тетраэдр , добавив четыре тетраэдра на чередующихся гранях. Добавление тетраэдров ко всем 8 граням создает звездчатый октаэдр .

тетраэдр	звездчатый октаэдр

Октаэдр — один из семейства однородных многогранников, родственных кубу.

Однородные октаэдрические многогранники
Symmetry: [4,3], (*432)							[4,3]⁺ (432)	[1⁺,4,3] = [3,3] (*332)		[3⁺,4] (3*2)
{4,3}	t{4,3}	r{4,3} r{3^1,1}	t{3,4} t{3^1,1}	{3,4} {3^1,1}	rr{4,3} s₂{3,4}	tr{4,3}	sr{4,3}	h{4,3} {3,3}	h₂{4,3} t{3,3}	s{3,4} s{3^1,1}

		=	=	=				= or	= or	=

Duals to uniform polyhedra
V4³	V3.8²	V(3.4)²	V4.6²	V3⁴	V3.4³	V4.6.8	V3⁴.4	V3³	V3.6²	V3⁵

Это также один из простейших примеров гиперсимплекса , многогранника, образованного определенными пересечениями гиперкуба с гиперплоскостью .

Октаэдр топологически связан как часть последовательности правильных многогранников с символами Шлефли {3, n }, продолжающейся в гиперболическую плоскость .

* n 32 мутация симметрии правильных мозаик: {3, n } v т Это
Spherical				Euclid.	Compact hyper.		Paraco.	Noncompact hyperbolic

3.3	3³	3⁴	3⁵	3⁶	3⁷	3⁸	3^∞	3¹²ⁱ	3⁹ⁱ	3⁶ⁱ	3³ⁱ

Тетратетраэдр [ править ]

Правильный октаэдр также можно считать выпрямленным тетраэдром – и его можно назвать тетратетраэдром . Это можно показать с помощью двухцветной модели лица. При такой раскраске октаэдр имеет тетраэдрическую симметрию .

Сравните эту последовательность усечения тетраэдра и его двойника:

Семейство однородных тетраэдрических многогранников
Symmetry: [3,3], (*332)							[3,3]⁺, (332)


{3,3}	t{3,3}	r{3,3}	t{3,3}	{3,3}	rr{3,3}	tr{3,3}	sr{3,3}
Duals to uniform polyhedra

V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3

Вышеупомянутые формы также могут быть реализованы как срезы, ортогональные длинной диагонали тессеракта . Если эта диагональ ориентирована вертикально с высотой 1, то первые пять срезов выше расположены на высотах r , 3 / 8 , 1 / 2 , 5/8 0 ≤ и s , где r число в диапазоне < r — любое 1/4 , — любое а s число в диапазоне 3 / 4 ≤ s < 1 .

Октаэдр как тетратетраэдр существует в последовательности симметрий квазиправильных многогранников и мозаик с конфигурациями вершин ( 3.n ) ², переходя от мозаик сферы к евклидовой плоскости и к гиперболической плоскости. При симметрии орбифолдной записи * n 32 все эти мозаики представляют собой конструкции Витхоффа в фундаментальной области симметрии с образующими точками в прямоугольном углу области. ^[9]^[10]

* n 32 орбифолдных симметрии квазирегулярных мозаик : (3. n ) ²
Construction	Spherical			Euclidean	Hyperbolic
Construction	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	*∞32
Quasiregular figures
Vertex	(3.3)²	(3.4)²	(3.5)²	(3.6)²	(3.7)²	(3.8)²	(3.∞)²

Тригональная антипризма [ править ]

Как тригональная антипризма , октаэдр относится к семейству гексагонально-диэдральной симметрии.

Однородные шестиугольные двугранные сферические многогранники
Symmetry: [6,2], (*622)							[6,2]⁺, (622)	[6,2⁺], (2*3)


{6,2}	t{6,2}	r{6,2}	t{2,6}	{2,6}	rr{6,2}	tr{6,2}	sr{6,2}	s{2,6}
Duals to uniforms

V6²	V12²	V6²	V4.4.6	V2⁶	V4.4.6	V4.4.12	V3.3.3.6	V3.3.3.3

Семейство однородных n -угольных антипризм
v
т
Это
Название антипризмы	Дигональная антипризма	(Треугольный) Треугольная антипризма	(Тетрагональный) Квадратная антипризма	Пятиугольная антипризма	Шестиугольная антипризма	Семиугольная антипризма	...	Апейрогональная антипризма
Изображение многогранника							...
Сферическое мозаичное изображение							Плоское мозаичное изображение
Конфигурация вершины.	2.3.3.3	3.3.3.3	4.3.3.3	5.3.3.3	6.3.3.3	7.3.3.3	...	∞.3.3.3

Квадратная бипирамида [ править ]

Правильные правосимметричные n -угольные бипирамиды:
Бипирамида имя	Дигональный бипирамида	Треугольный бипирамида	Квадрат бипирамида	пятиугольный бипирамида	Шестиугольный бипирамида	...	Апейрогональный бипирамида
Многогранник изображение						...
сферический плитка изображение						Самолет плитка изображение
Конфигурация лица.	В2.4.4	Версия 3.4.4	Версия 4.4.4	Версия 5.4.4	Версия 6.4.4	...	V∞.4.4
Коксетер диаграмма						...

Другие родственные многогранники [ править ]

Усечение двух противоположных вершин приводит к образованию квадрата-бифрустума .

Октаэдр может быть сгенерирован как трехмерный суперэллипсоид со всеми значениями экспоненты, установленными на 1.

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б ( Коксетер 1973 ) использует греческую букву 𝝓 (фи) для обозначения одного из трёх характеристических углов 𝟀, 𝝓, 𝟁 правильного многогранника. Поскольку 𝝓 обычно используется для обозначения константы золотого сечения ≈ 1,618, для которой Коксетер использует 𝝉 (тау), мы переворачиваем соглашения Кокстера и используем 𝝉 для обозначения характеристического угла.

Ссылки [ править ]

^ Коксетер 1973 , с. 130, §7.6 Группа симметрии общего правильного многогранника; «симплициальное подразделение».
^ Коксетер 1973 , стр. 70–71, Характеристические тетраэдры; Рис. 4.7А.
^ Коксетер 1973 , стр. 292–293, Таблица I (i); «Октаэдр, 𝛽 ₃ ».
^ Финбоу, Артур С.; Хартнелл, Берт Л.; Новаковски, Ричард Дж.; Пламмер, Майкл Д. (2010). «О хорошо покрытых триангуляциях. III» . Дискретная прикладная математика . 158 (8): 894–912. дои : 10.1016/j.dam.2009.08.002 . МР 2602814 .
^ «Перечисление многогранников» . Архивировано из оригинала 10 октября 2011 года . Проверено 2 мая 2006 г.
^ «Счет многогранников» .
^ «Многогранники с 8 гранями и 6-8 вершинами» . Архивировано из оригинала 17 ноября 2014 года . Проверено 14 августа 2016 г.
^ Кляйн, Дуглас Дж. (2002). «Правила суммы сопротивления и расстояния» (PDF) . Хорватия Химика Акта . 75 (2): 633–649. Архивировано из оригинала (PDF) 10 июня 2007 года . Проверено 30 сентября 2006 г.
^ Коксетер, HSM (1973). Правильные многогранники (Третье изд.). Дувр. Глава V: Калейдоскоп, Раздел: 5.7 Конструкция Витхоффа. ISBN 0-486-61480-8 .
^ Хьюсон, Дэниел Х. (сентябрь 1998 г.), Мутация двумерной симметрии

Внешние ссылки [ править ]

«Октаэдр» . Британская энциклопедия . Том. 19 (11-е изд.). 1911.
Вайсштейн, Эрик В. «Октаэдр» . Математический мир .
Клитцинг, Ричард. «3D выпуклые однородные многогранники x3o4o – окт» .
Редактируемая для печати сетка октаэдра с интерактивным 3D-просмотром
Бумажная модель октаэдра
К.Дж.М. Маклин, Геометрический анализ пяти платоновых тел и других полуправильных многогранников
Однородные многогранники
Многогранники виртуальной реальности – Энциклопедия многогранников
- Обозначение Конвея для многогранников . Попробуйте: dP4.

v т Это Фундаментальные выпуклые правильные и однородные многогранники размерностей 2–10.
Семья	н	Б _н	И ₂ (п) / Д _н	Е ₆ / Е ₇ / Е ₈ / Ж ₄ / Г ₂	Ч _н
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадрат	п-гон	Шестиугольник	Пентагон
Однородный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный полихорон	Пентахорон	16 ячеек • Тессеракт	Демитессеракт	24-ячеечный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-демикуб
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-демикуб	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-демикуб	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-демикуб	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-демикуб
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-демикуб
Равномерный n - многогранник	n - симплекс	n - ортоплекс • n - куб	n - демикуб	1 _{лиц 2} • 2 _{лиц 1} • лиц ₂₁	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений.

[reversed_greek_symbols-4] Перейти обратно: ^а ^б ( Коксетер 1973 ) использует греческую букву 𝝓 (фи) для обозначения одного из трёх характеристических углов 𝟀, 𝝓, 𝟁 правильного многогранника. Поскольку 𝝓 обычно используется для обозначения константы золотого сечения ≈ 1,618, для которой Коксетер использует 𝝉 (тау), мы переворачиваем соглашения Кокстера и используем 𝝉 для обозначения характеристического угла.

[FOOTNOTECoxeter1973130§7.6_The_symmetry_group_of_the_general_regular_polytope-1] Коксетер 1973 , с. 130, §7.6 Группа симметрии общего правильного многогранника; «симплициальное подразделение».

[FOOTNOTECoxeter197370–71Characteristic_tetrahedra;_Fig._4.7A-2] Коксетер 1973 , стр. 70–71, Характеристические тетраэдры; Рис. 4.7А.

[FOOTNOTECoxeter1973292–293Table_I(i);_"Octahedron,_𝛽<sub>3</sub>"-3] Коксетер 1973 , стр. 292–293, Таблица I (i); «Октаэдр, 𝛽 ₃ ».

[5] Финбоу, Артур С.; Хартнелл, Берт Л.; Новаковски, Ричард Дж.; Пламмер, Майкл Д. (2010). «О хорошо покрытых триангуляциях. III» . Дискретная прикладная математика . 158 (8): 894–912. дои : 10.1016/j.dam.2009.08.002 . МР 2602814 .

[6] «Перечисление многогранников» . Архивировано из оригинала 10 октября 2011 года . Проверено 2 мая 2006 г.

[7] «Счет многогранников» .

[8] «Многогранники с 8 гранями и 6-8 вершинами» . Архивировано из оригинала 17 ноября 2014 года . Проверено 14 августа 2016 г.

[9] Кляйн, Дуглас Дж. (2002). «Правила суммы сопротивления и расстояния» (PDF) . Хорватия Химика Акта . 75 (2): 633–649. Архивировано из оригинала (PDF) 10 июня 2007 года . Проверено 30 сентября 2006 г.

[10] Коксетер, HSM (1973). Правильные многогранники (Третье изд.). Дувр. Глава V: Калейдоскоп, Раздел: 5.7 Конструкция Витхоффа. ISBN 0-486-61480-8 .

[11] Хьюсон, Дэниел Х. (сентябрь 1998 г.), Мутация двумерной симметрии

[1]

[2]

[3]

[а]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

v т Это Многогранники
Listed by number of faces and type
1–10 faces	Monohedron Dihedron Trihedron Tetrahedron Pentahedron Hexahedron Heptahedron Octahedron Enneahedron Decahedron
11–20 faces	Hendecahedron Dodecahedron Tridecahedron Tetradecahedron Pentadecahedron Hexadecahedron Heptadecahedron Octadecahedron Enneadecahedron Icosahedron
>20 faces	Icositetrahedron (24) Triacontahedron (30) Icosidodecahedron (32) Hexoctahedron (48) Hexecontahedron (60) Enneacontahedron (90) Hectotriadiohedron (132) Apeirohedron (∞)
elemental things	face edge vertex uniform polyhedron (two infinite groups and 75) regular polyhedron (9) quasiregular polyhedron (16) semiregular polyhedron (two infinite groups and 50)
convex polyhedron	Platonic solid (5) Archimedean solid (13) Catalan solid (13) Johnson solid (92)
non-convex polyhedron	Kepler–Poinsot polyhedron (4) Star polyhedron (infinite) Uniform star polyhedron (57)
prismatoid‌s	prism antiprism frustum cupola wedge pyramid parallelepiped

v т Это Твердые вещества Джонсона
Pyramids, cupolae and rotundae	square pyramid pentagonal pyramid triangular cupola square cupola pentagonal cupola pentagonal rotunda
Modified pyramids	elongated triangular pyramid elongated square pyramid elongated pentagonal pyramid gyroelongated square pyramid gyroelongated pentagonal pyramid triangular bipyramid pentagonal bipyramid elongated triangular bipyramid elongated square bipyramid elongated pentagonal bipyramid gyroelongated square bipyramid
Modified cupolae and rotundae	elongated triangular cupola elongated square cupola elongated pentagonal cupola elongated pentagonal rotunda gyroelongated triangular cupola gyroelongated square cupola gyroelongated pentagonal cupola gyroelongated pentagonal rotunda gyrobifastigium triangular orthobicupola square orthobicupola square gyrobicupola pentagonal orthobicupola pentagonal gyrobicupola pentagonal orthocupolarotunda pentagonal gyrocupolarotunda pentagonal orthobirotunda elongated triangular orthobicupola elongated triangular gyrobicupola elongated square gyrobicupola elongated pentagonal orthobicupola elongated pentagonal gyrobicupola elongated pentagonal orthocupolarotunda elongated pentagonal gyrocupolarotunda elongated pentagonal orthobirotunda elongated pentagonal gyrobirotunda gyroelongated triangular bicupola gyroelongated square bicupola gyroelongated pentagonal bicupola gyroelongated pentagonal cupolarotunda gyroelongated pentagonal birotunda
Augmented prisms	augmented triangular prism biaugmented triangular prism triaugmented triangular prism augmented pentagonal prism biaugmented pentagonal prism augmented hexagonal prism parabiaugmented hexagonal prism metabiaugmented hexagonal prism triaugmented hexagonal prism
Modified Platonic solids	augmented dodecahedron parabiaugmented dodecahedron metabiaugmented dodecahedron triaugmented dodecahedron metabidiminished icosahedron tridiminished icosahedron augmented tridiminished icosahedron
Modified Archimedean solids	augmented truncated tetrahedron augmented truncated cube biaugmented truncated cube augmented truncated dodecahedron parabiaugmented truncated dodecahedron metabiaugmented truncated dodecahedron triaugmented truncated dodecahedron gyrate rhombicosidodecahedron parabigyrate rhombicosidodecahedron metabigyrate rhombicosidodecahedron trigyrate rhombicosidodecahedron diminished rhombicosidodecahedron paragyrate diminished rhombicosidodecahedron metagyrate diminished rhombicosidodecahedron bigyrate diminished rhombicosidodecahedron parabidiminished rhombicosidodecahedron metabidiminished rhombicosidodecahedron gyrate bidiminished rhombicosidodecahedron tridiminished rhombicosidodecahedron
Elementary solids	snub disphenoid snub square antiprism sphenocorona augmented sphenocorona sphenomegacorona hebesphenomegacorona disphenocingulum bilunabirotunda triangular hebesphenorotunda
(See also List of Johnson solids, a sortable table)