Гиперсимплекс

Стандартные гиперсимплексы в $\mathbb {R} ^{3}$
$\Delta _{3,1}$ Гиперплоскость: $x+y+z=1$	$\Delta _{3,2}$ Гиперплоскость: $x+y+z=2$

В полиэдральной гиперсимплекс комбинаторике $\Delta _{d,k}$ — выпуклый многогранник , обобщающий симплекс . Оно определяется двумя целыми числами $d$ и $k$ , и определяется как выпуклая оболочка $d$ -мерные векторы , коэффициенты которых состоят из $k$ те и $d-k$ нули. Эквивалентно, $\Delta _{d,k}$ можно получить, разрезав $d$ -мерный единичный гиперкуб $[0,1]^{d}$ с гиперплоскостью уравнения $x_{1}+\cdots +x_{d}=k$ и по этой причине это $(d-1)$ -мерный многогранник, когда $0<k<d$ . ^[1]

Характеристики

Количество вершин $\Delta _{d,k}$ является ${\tbinom {d}{k}}$ . ^[1] Граф, образованный вершинами и ребрами гиперсимплекса $\Delta _{d,k}$ это график Джонсона $J(d,k)$ . ^[2]

Альтернативные конструкции

Альтернативная конструкция (для $k\leq {d/2}$ ) — взять выпуклую оболочку всех $(d-1)$ -мерный $(0,1)$ -векторы, которые имеют либо $k-1$ или $k$ ненулевые координаты. Преимущество этого метода заключается в том, что он работает в пространстве той же размерности, что и полученный многогранник, но недостатком является то, что создаваемый им многогранник менее симметричен (хотя комбинаторно эквивалентен результату другой конструкции).

Гиперсимплекс $\Delta _{d,k}$ также является многогранником матроида для однородного матроида с $d$ элементы и ранг $k$ . ^[3]

Примеры

Гиперсимплекс $\Delta _{d,1}$ это $(d-1)$ -симплекс (и, следовательно, он имеет $d$ вершины).Гиперсимплекс $\Delta _{4,2}$ представляет собой октаэдр , а гиперсимплекс $\Delta _{5,2}$ представляет собой выпрямленный 5-клеточный .

Как правило, гиперсимплекс, $\Delta _{d,k}$ , соответствует однородному многограннику , являющемуся $(k-1)$ - исправлено $(d-1)$ -мерный симплекс с вершинами, расположенными в центре всех $(k-1)$ -мерные грани $(d-1)$ -мерный симплекс.

Примеры $(d = 3...6)$
Имя	Равносторонний треугольник	Тетраэдр (3-симплекс)	Октаэдр	5-клеточный (4-симплекс)	Исправленный 5-клеточный	5-симплекс	Исправленный 5-симплекс	биректифицированный 5-симплекс
$Δd k, k знак равно d,) (знак равно (d, d - k)$	(3,1) (3,2)	(4,1) (4,3)	(4,2)	(5,1) (5,4)	(5,2) (5,3)	(6,1) (6,5)	(6,2) (6,4)	(6,3)
Вершины ${\tbinom {d}{k}}$	3	4	6	5	10	6	15	20
г - координаты	(0,0,1) (0,1,1)	(0,0,0,1) (0,1,1,1)	(0,0,1,1)	(0,0,0,0,1) (0,1,1,1,1)	(0,0,0,1,1) (0,0,1,1,1)	(0,0,0,0,0,1) (0,1,1,1,1,1)	(0,0,0,0,1,1) (0,0,1,1,1,1)	(0,0,0,1,1,1)
Изображение
Графики	Дж (3.1) = К ₂	Дж (4,1) = К ₃	Дж (4,2) = Т(6,3)	Дж (5,1) = К ₄	Дж (5,2)	Дж (6.1) = К ₅	Дж (6,2)	Дж (6,3)
Коксетер диаграммы
Шлефли символы	{3} = р {3}	{3,3} = 2 р {3,3}	г{3,3} = {3,4}	{3,3,3} = 3р { 3,3,3}	р {3,3,3} = 2 р {3,3,3}	{3,3,3,3} = 4р { 3,3,3,3}	р {3,3,3,3} = 3р { 3,3,3,3}	2р { 3,3,3,3 }
Фасеты	{ }	{3}		{3,3}	{3,3}, {3,4}	{3,3,3}	{3,3,3}, г {3,3,3}	р {3,3,3}

История

Гиперсимплексы были впервые изучены и названы при вычислении характеристических классов (важная тема в алгебраической топологии ) Габриеловым, Гельфандом и Лосиком (1975) . ^[4]^[5]

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Миллер, Эзра; Райнер, Виктор; Штурмфельс, Бернд , Геометрическая комбинаторика , Математическая серия IAS / Парк-Сити, том. 13, Американское математическое общество, с. 655, ISBN 9780821886953 .
^ Рисполи, Фред Дж. (2008), Граф гиперсимплекса , arXiv : 0811.2981 , Bibcode : 2008arXiv0811.2981R .
^ Гретшель, Мартин (2004), «Системы однородных множеств по мощности, циклы в матроидах и связанные с ними многогранники», The Sharpest Cut: The Impact of Manfred Padberg and His Work , MPS/SIAM Ser. Optim., SIAM, Филадельфия, Пенсильвания, стр. 99–120, MR 2077557 . См., в частности, замечания после предложения 8.20 на с. 114 .
^ Габриэлов А.М.; Гельфанд, И.М .; Лосик М. В. (1975), "Комбинаторное вычисление характеристических классов. I, II", Академия наук СССР , 9 (2): 12–28, там же. 9 (1975), вып. 3, 5–26, МР 0410758 .
^ Циглер, Гюнтер М. (1995), Лекции по многогранникам , Тексты для аспирантов по математике, том. 152, Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк, с. 20, номер домена : 10.1007/978-1-4613-8431-1 , ISBN. 0-387-94365-Х , МР 1311028 .

Дальнейшее чтение

Хиби, Такаюки; Солус, Лиам (2016), «Аспекты r -стабильного (n , k) -гиперсимплекса», Annals of Combinatorics , 20 : 815–829, arXiv : 1408.5932 , Bibcode : 2014arXiv1408.5932H , doi : 10.1007/s00026-016 -0325-х .

[gc-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Миллер, Эзра; Райнер, Виктор; Штурмфельс, Бернд , Геометрическая комбинаторика , Математическая серия IAS / Парк-Сити, том. 13, Американское математическое общество, с. 655, ISBN 9780821886953 .

[2] Рисполи, Фред Дж. (2008), Граф гиперсимплекса , arXiv : 0811.2981 , Bibcode : 2008arXiv0811.2981R .

[3] Гретшель, Мартин (2004), «Системы однородных множеств по мощности, циклы в матроидах и связанные с ними многогранники», The Sharpest Cut: The Impact of Manfred Padberg and His Work , MPS/SIAM Ser. Optim., SIAM, Филадельфия, Пенсильвания, стр. 99–120, MR 2077557 . См., в частности, замечания после предложения 8.20 на с. 114 .

[4] Габриэлов А.М.; Гельфанд, И.М .; Лосик М. В. (1975), "Комбинаторное вычисление характеристических классов. I, II", Академия наук СССР , 9 (2): 12–28, там же. 9 (1975), вып. 3, 5–26, МР 0410758 .

[5] Циглер, Гюнтер М. (1995), Лекции по многогранникам , Тексты для аспирантов по математике, том. 152, Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк, с. 20, номер домена : 10.1007/978-1-4613-8431-1 , ISBN. 0-387-94365-Х , МР 1311028 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]