Гиперкуб

Эта статья о математической концепции. О фильме см. «Куб 2: Гиперкуб» . Информацию об архитектуре компьютера см. в разделе Connection Machine . Информацию о топологии объединенной сети см. в разделе Топология объединенной сети Hypercube . Чтобы узнать о четырехмерном объекте, известном как «гиперкуб», см. Тессеракт .

В следующих перспективных проекциях куб — ​​3-куб, а тессеракт — 4-куб.

В геометрии гиперкуб — ​​это n -мерный аналог квадрата ( ( n = 2 и куба n ) = 3 ). Это замкнутая , компактная , выпуклая которой фигура, 1- скелет состоит из групп противоположных параллельных отрезков пространства , выровненных в каждом из измерений , перпендикулярных друг другу и одинаковой длины. Самая длинная диагональ единичного гиперкуба в n измерениях равна ${\sqrt {n}}$.

n - мерный гиперкуб чаще называют n -кубом или иногда n -мерным кубом . Термин «многогранник меры» (родом из Эльте, 1912 г.). также используется, особенно в работе HSM Coxeter , который также называет гиперкубы многогранниками γ n .

Гиперкуб — ​​это частный случай гиперпрямоугольника ( также называемого n-ортотопом ).

Единичный гиперкуб — ​​это гиперкуб, длина стороны которого равна одной единице . Часто гиперкуб, углы (или вершины ) которого равны 2 ^н точки в R ^н каждая координата которого равна 0 или 1, называется единичным гиперкубом.

Строительство

По количеству измерений

Анимация, показывающая, как создать тессеракт из точки.

Гиперкуб можно определить, увеличивая количество измерений фигуры:

0 – Точка – это гиперкуб нулевой размерности.

1 – Если переместить эту точку на одну единицу длины, она выметет отрезок линии, который представляет собой единичный гиперкуб размерности один.

2 – Если переместить этот отрезок, его длину перпендикулярно самому себе; он выметает двумерный квадрат.

3. Если переместить квадрат на одну единицу длины в направлении, перпендикулярном плоскости, на которой он лежит, получится трехмерный куб.

4. Если переместить куб на одну единицу длины в четвертое измерение, образуется четырехмерный единичный гиперкуб (единичный тессеракт ).

Это можно обобщить на любое количество измерений. Этот процесс выметания объемов можно формализовать математически как сумму Минковского : d -мерный гиперкуб представляет собой сумму Минковского d взаимно перпендикулярных отрезков единичной длины и, следовательно, является примером зонотопа .

1- скелет гиперкуба представляет собой граф гиперкуба .

Координаты вершины

Проекция вращающегося тессеракта .

Единичный гиперкуб размерности $n$ является выпуклой оболочкой всего $2^{n}$ точки, чьи $n$ Каждая декартова координата равна либо $0$ или $1$. Эти точки являются его вершинами . Гиперкуб с этими координатами также является декартовым произведением $[0,1]^{n}$ из $n$ копии единичного интервала $[0,1]$. можно получить еще один единичный гиперкуб с центром в начале окружающего пространства Из этого путем перевода . Это выпуклая оболочка $2^{n}$ точки, векторы декартовых координат которых равны

$\left(\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\cdots ,\pm {\frac {1}{2}}\right)\!\!.$

Здесь символ $\pm$ означает, что каждая координата либо равна $1/2$ или чтобы $-1/2$. Этот единичный гиперкуб также является декартовым произведением. $[-1/2,1/2]^{n}$. Любой единичный гиперкуб имеет длину ребра $1$ и $n$-мерный объем $1$.

The $n$-мерный гиперкуб, полученный как выпуклая оболочка точек с координатами $(\pm 1,\pm 1,\cdots ,\pm 1)$ или, что то же самое, как декартово произведение $[-1,1]^{n}$также часто рассматривается из-за более простой формы координат его вершин. Длина его ребра равна $2$, И его $n$-мерный объем $2^{n}$.

Лица

Каждый гиперкуб допускает в качестве своих граней гиперкубы более низкой размерности, содержащиеся в его границе. Гиперкуб измерения $n$ признает $2n$ грани или грани измерения $n-1$: а ( $1$-мерный) отрезок имеет $2$конечные точки; а ( $2$-мерный) квадрат имеет $4$стороны или края; а $3$-мерный куб имеет $6$квадратные лица; а ( $4$-мерный) тессеракт имеет $8$трехмерные кубы в качестве его граней. Число вершин гиперкуба размерностью $n$ является $2^{n}$ (обычный, $3$-мерный куб имеет $2^{3}=8$ вершины, например).

Количество $m$-мерные гиперкубы (называемые просто $m$-кубы (здесь и далее), содержащиеся на границе $n$-куб это

$E_{m,n}=2^{n-m}{n \choose m}$, где ${n \choose m}={\frac {n!}{m!\,(n-m)!}}$ и $n!$ обозначает факториал ​ $n$.

Например, граница г. $4$-куб ( $n=4$) содержит $8$ кубики ( $3$-кубики), $24$ квадраты ( $2$-кубики), $32$ отрезки линии ( $1$-кубики) и $16$ вершины ( $0$-кубики). Это тождество можно доказать простым комбинаторным рассуждением: для каждого из $2^{n}$ вершины гиперкуба существуют ${\tbinom {n}{m}}$ способы выбора коллекции $m$ребра, инцидентные этой вершине. Каждая из этих коллекций определяет один из $m$-мерные грани, инцидентные рассматриваемой вершине. Проделав это для всех вершин гиперкуба, каждая из $m$-мерные грани гиперкуба подсчитываются $2^{m}$ раз, так как в нем столько вершин, и нам нужно разделить $2^{n}{\tbinom {n}{m}}$ по этому номеру.

По количеству граней гиперкуба можно вычислить $(n-1)$-мерный объем его границы: этот объем $2n$ раз больше объёма $(n-1)$-мерный гиперкуб; то есть, $2ns^{n-1}$ где $s$ — длина ребер гиперкуба.

Эти числа также могут быть сгенерированы с помощью линейного рекуррентного соотношения .

$E_{m,n}=2E_{m,n-1}+E_{m-1,n-1}\!$, с $E_{0,0}=1$, и $E_{m,n}=0$ когда $n<m$, $n<0$, или $m<0$.

Например, расширение квадрата через его 4 вершины добавляет один дополнительный сегмент линии (ребро) на каждую вершину. Добавление противоположного квадрата в куб дает $E_{1,3}=12$ отрезки линии.

Расширенный f-вектор для n -куба также можно вычислить, разложив $(2x+1)^{n}$ (кратко, (2,1) ^н ) и считывания коэффициентов полученного полинома . Например, элементы тессеракта — это (2,1) ⁴ = (4,4,1) ² = (16,32,24,8,1).

Число $E_{m,n}$ из $m$-мерные грани $n$-мерный гиперкуб (последовательность A038207 в OEIS )

			м	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
н	n -куб	Имена	Шлефли Коксетер	Вертекс 0-грань	Край 1-сторонний	Лицо 2-сторонний	Клетка 3-сторонний	4-сторонний	5-гранный	6-гранный	7-гранный	8-гранный	9-гранный	10-гранный
0	0-куб	Точка деньги	( )	1
1	1-куб	Отрезок Дион	{}	2	1
2	2-куб.	Квадрат Четырехугольник	{4}	4	4	1
3	3-куб	Куб Шестигранник	{4,3}	8	12	6	1
4	4-кубовый	Тессеракт Октахорон	{4,3,3}	16	32	24	8	1
5	5-куб	Пентеракт Дека-5-топ	{4,3,3,3}	32	80	80	40	10	1
6	6-куб.	Гексеракт Додека-6-топ	{4,3,3,3,3}	64	192	240	160	60	12	1
7	7-куб	Гептеракт Tetradeca-7-tope	{4,3,3,3,3,3}	128	448	672	560	280	84	14	1
8	8-кубовый	Октеракт Гексадека-8-топ	{4,3,3,3,3,3,3}	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9	9-куб	Эннеракт Октадека-9-топ	{4,3,3,3,3,3,3,3}	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18	1
10	10-кубовый	Декеракт Икоса-10 топов	{4,3,3,3,3,3,3,3,3}	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	20	1

Графики

n - куб можно спроектировать внутри правильного 2- угольного многоугольника с помощью косой ортогональной проекции , показанной здесь, от отрезка прямой к 16-кубу.

Многоугольник Петри Ортографические проекции

Отрезок	Квадрат	Куб	Тессеракт
5-куб	6-куб.	7-куб	8-кубовый
9-куб	10-кубовый	11-куб	12-кубовый
13-кубовый	14-кубовый	15-куб.	16-кубовый

Родственные семейства многогранников

Гиперкубы — одно из немногих семейств правильных многогранников , которые представлены в любом количестве измерений.

Семейство гиперкубов (смещений) — одно из трех семейств правильных многогранников , обозначенных Коксетером как γ _n . Два других — это двойственное семейство гиперкуба, кросс-многогранники , помеченные как β _n, и симплексы , помеченные как α _n . Четвертое семейство, бесконечные мозаики гиперкубов , обозначается как δ _n .

Другое родственное семейство полуправильных и однородных многогранников — это полугиперкубы , которые состоят из гиперкубов с удаленными альтернативными вершинами и симплексными добавленными в промежутках гранями, обозначенными как hγ _n .

n -кубы можно комбинировать с их двойниками ( перекрестными многогранниками ) для образования составных многогранников:

• В двух измерениях мы получаем октаграммную фигуру звезды {8/2},
• В трёх измерениях получаем соединение куба и октаэдра ,
• В четырех измерениях мы получаем соединение тессеракта и 16-клеточного .

Связь с ( n −1)-симплексом

Граф ребер n -гиперкуба изоморфен диаграмме Хассе n − 1) -симплекса ( решетки граней . В этом можно убедиться, ориентируя n -гиперкуб так, чтобы две противоположные вершины лежали вертикально, что соответствует самому ( n -1)-симплексу и нулевому многограннику соответственно. Каждая вершина, соединенная с верхней вершиной, затем однозначно отображается в одну из граней ( n -1)-симплекса ( n -3 граней симплекса -2 граней), а каждая вершина, соединенная с этими вершинами, отображается в одну из n и т. д. , а вершины, соединенные с нижней вершиной, сопоставляются с вершинами симплекса.

Это соотношение можно использовать для эффективного создания решетки граней ( n -1)-симплекса, поскольку алгоритмы перечисления решетки граней, применимые к общим многогранникам, являются более дорогостоящими в вычислительном отношении.

Обобщенные гиперкубы

Регулярные комплексные многогранники могут быть определены в комплексном гильбертовом пространстве , называемом обобщенными гиперкубами , γ ^п
_n = _p {4} ₂ {3}... ₂ {3} ₂ , или .. . Действительные решения существуют при p = 2, т.е. γ ²
_n = γ _n = ₂ {4} ₂ {3}... ₂ {3} ₂ = {4,3,..,3}. При p > 2 они существуют в $\mathbb {C} ^{n}$. Фасеты представляют собой обобщенный ( n −1)-куб, а вершинная фигура — регулярные симплексы .

Периметр правильного многоугольника , видимый в этих ортогональных проекциях, называется многоугольником Петри . Обобщенные квадраты ( n = 2) показаны с краями, обведенными p -ребрами чередующегося красного и синего цвета, в то время как более высокие n -кубы нарисованы с черными обведенными p -ребрами.

Количество элементов m -грани в p -обобщенном n -кубе равно: $p^{n-m}{n \choose m}$. это п ^н вершины и pn грани.

Обобщенные гиперкубы

	р =2		р =3	р = 4	р =5	р =6	р =7	р =8
$\mathbb {R} ^{2}$	с 2 2 = {4} = 4 вершины	$\mathbb {C} ^{2}$	с 3 2 = 9 вершин	с 4 2 = 16 вершин	с 5 2 = 25 вершин	с 6 2 = 36 вершин	с 7 2 = 49 вершин	с 8 2 = 64 вершины
$\mathbb {R} ^{3}$	с 2 3 = {4,3} = 8 вершин	$\mathbb {C} ^{3}$	с 3 3 = 27 вершин	с 4 3 = 64 вершины	с 5 3 = 125 вершин	с 6 3 = 216 вершин	с 7 3 = 343 вершины	с 8 3 = 512 вершин
$\mathbb {R} ^{4}$	с 2 4 = {4,3,3} = 16 вершин	$\mathbb {C} ^{4}$	с 3 4 = 81 вершина	с 4 4 = 256 вершин	с 5 4 = 625 вершин	с 6 4 = 1296 вершин	с 7 4 = 2401 вершина	с 8 4 = 4096 вершин
$\mathbb {R} ^{5}$	с 2 5 = {4,3,3,3} = 32 вершины	$\mathbb {C} ^{5}$	с 3 5 = 243 вершины	с 4 5 = 1024 вершины	с 5 5 = 3125 вершин	с 6 5 = 7776 вершин	с 7 5 = 16 807 вершин	с 8 5 = 32 768 вершин
$\mathbb {R} ^{6}$	с 2 6 = {4,3,3,3,3} = 64 вершины	$\mathbb {C} ^{6}$	с 3 6 = 729 вершин	с 4 6 = 4096 вершин	с 5 6 = 15 625 вершин	с 6 6 = 46 656 вершин	с 7 6 = 117 649 вершин	с 8 6 = 262 144 вершины
$\mathbb {R} ^{7}$	с 2 7 = {4,3,3,3,3,3} = 128 вершин	$\mathbb {C} ^{7}$	с 3 7 = 2187 вершин	с 4 7 = 16 384 вершины	с 5 7 = 78 125 вершин	с 6 7 = 279 936 вершин	с 7 7 = 823 543 вершины	с 8 7 = 2 097 152 вершины
$\mathbb {R} ^{8}$	с 2 8 = {4,3,3,3,3,3,3} = 256 вершин	$\mathbb {C} ^{8}$	с 3 8 = 6561 вершина	с 4 8 = 65 536 вершин	с 5 8 = 390 625 вершин	с 6 8 = 1 679 616 вершин	с 7 8 = 5 764 801 вершина	с 8 8 = 16 777 216 вершин

Связь с возведением в степень

Любое положительное целое число, возведенное в другую положительную целую степень, даст третье целое число, причем это третье целое число представляет собой определенный тип фигурного числа , соответствующий n -кубу с числом измерений, соответствующим экспоненте. Например, показатель степени 2 даст квадратное число или «идеальный квадрат», который можно расположить в форме квадрата с длиной стороны, соответствующей длине стороны. Точно так же показатель степени 3 даст идеальный куб — ​​целое число, которое можно расположить в форме куба с длиной стороны, равной основанию. В результате действие возведения числа до 2 или 3 чаще называют « возведением в квадрат » и «возведением в куб» соответственно. Однако названия гиперкубов более высокого порядка, похоже, не широко используются высшими силами.

См. также

• Сеть взаимосвязей гиперкуба компьютерной архитектуры
• Гипероктаэдрическая группа , группа симметрии гиперкуба.
• Гиперсфера
• Симплекс
• Параллелотоп
• Распятие (Corpus Hypercubus) (известное произведение искусства)

Ссылки

• Боуэн, JP (апрель 1982 г.). «Гиперкуб» . Практические вычисления . 5 (4): 97–99. Архивировано из оригинала 30 июня 2008 г. Проверено 30 июня 2008 г.
• Коксетер, HSM (1973). «§7.2. см. рисунок Рис. 7-2c». Правильные многогранники (3-е изд.). Дувр . стр. 122-123 . ISBN  0-486-61480-8 . п. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n измерениях ( n ≥ 5).
• Хилл, Фредерик Дж.; Джеральд Р. Петерсон (1974). Введение в теорию коммутации и логическое проектирование: второе издание . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья . ISBN  0-471-39882-9 . См. главу 7.1 «Кубическое представление булевых функций», в которой понятие «гиперкуб» вводится как средство демонстрации кода расстояния 1 ( кода Грея ) в качестве вершин гиперкуба, а затем гиперкуб с его вершинами, помеченными таким образом, является сжимается в два измерения, образуя либо диаграмму Вейча , либо карту Карно .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Гиперкуб» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Графы гиперкуба» . Математический мир .
• Вращение гиперкуба Энрике Зелени, Демонстрационный проект Wolfram .
• Загрузки Hypercube Руди Ракера и Фариде Дормишян
• A001787 Число ребер в n-мерном гиперкубе. в OEIS