Равномерный 10-многогранник

Графы трех правильных и связанных однородных многогранников .
10-симплекс	Усеченный 10-симплекс		Выпрямленный 10-симплекс
Сочлененный 10-симплекс		Ранцинированный 10-симплекс
Стерический 10-симплекс	Пятеричный 10-симплекс		Шестигранный 10-симплекс
Гептеллированный 10-симплекс	Восьмеричный 10-симплекс		Объединенный 10-симплекс
10-ортоплекс	Усеченный 10-ортоплекс		Выпрямленный 10-ортоплекс
10-кубовый	Усеченный 10-куб		Ректифицированный 10-кубовый
10-демикуб		Усеченный 10-демикуб

В десятимерной геометрии 10-мерный многогранник — это 10-мерный многогранник , граница которого состоит из 9-мерных граней , причем ровно две такие грани встречаются на каждом 8-мерного многогранника гребне .

Однородный 10-многогранник многогранник — это вершинно-транзитивный , построенный из однородных граней .

Правильные 10-многогранники

Правильные 10-многогранники могут быть представлены символом Шлефли {p,q,r,s,t,u,v,w,x} с x {p,q,r,s,t,u,v,w} 9- многогранников Вокруг каждой вершины .

ровно три Таких выпуклых правильных 10-многогранников :

{3,3,3,3,3,3,3,3,3} - 10-симплекс
{4,3,3,3,3,3,3,3,3} - 10-куб
{3,3,3,3,3,3,3,3,4} - 10-ортоплекс

Невыпуклых правильных 10-многогранников не существует.

Эйлерова характеристика

Топология любого данного 10-многогранника определяется его числами Бетти и коэффициентами кручения . ^[1]

Значение характеристики Эйлера , используемой для характеристики многогранников, не дает полезного обобщения на более высокие измерения и равно нулю для всех 10-многогранников, независимо от их базовой топологии. Эта неадекватность характеристики Эйлера для надежного различения различных топологий в более высоких измерениях привела к открытию более сложных чисел Бетти. ^[1]

Точно так же понятия ориентируемости многогранника недостаточно для характеристики скручивания поверхности тороидальных многогранников, и это привело к использованию коэффициентов кручения. ^[1]

Равномерные 10-многогранники по фундаментальным группам Кокстера

Однородные 10-многогранники с отражательной симметрией могут быть порождены этими тремя группами Кокстера, представленными перестановками колец диаграмм Кокстера-Динкина :

#	Группа Коксетера
1	A ₁₀	[3 ⁹]
2	Б ₁₀	[4,3 ⁸]
3	Д ₁₀	[3 ^7,1,1]

Избранные правильные и однородные 10-многогранники из каждого семейства включают:

Семейство симплекс : А ₁₀ [3 ⁹] -
- 527 однородных 10-многогранников как перестановок колец групповой диаграммы, включая один регулярный:
  1. {3 ⁹} - 10-симплекс -
гиперкуба / ортоплекса Семейство _{: B 10} [4,3 ⁸] -
- 1023 однородных 10-многогранников как перестановок колец групповой диаграммы, включая два правильных:
  1. {4,3 ⁸} - 10-куб или декеракт -
  2. {3 ⁸,4} - 10-ортоплекс или декаросс -
  3. ч{4,3 ⁸} - 10-демикуб .
Семейство Демигиперкуб Д ₁₀ : [3 ^7,1,1] -
- 767 однородных 10-многогранников как перестановок колец на групповой диаграмме, в том числе:
  1. 1 _7,1-10 - или демидекеракт- демикуб
  2. 7 _1,1 - 10-ортоплекс -

А ₁₀Семья

Семейство A ₁₀ имеет симметрию порядка 39 916 800 (11 факториал ).

Существует 512+16-1=527 форм, основанных на всех перестановках диаграмм Кокстера-Динкина с одним или несколькими кольцами. 31 показаны ниже: все формы с одной и двумя кольцами, а также последняя всеусеченная форма. Названия аббревиатур в стиле Бауэрса приведены в скобках для перекрестных ссылок.

#	График	Диаграмма Кокстера-Динкина Символ Шлефли Имя	Количество элементов
#	График	Диаграмма Кокстера-Динкина Символ Шлефли Имя	9-ликий	8-гранный	7-гранный	6-гранный	5-гранный	4-ликий	Клетки	Лица	Края	Вершины
1		т ₀ {3,3,3,3,3,3,3,3,3} 10-симплекс (укс)	11	55	165	330	462	462	330	165	55	11
2		т ₁ {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Ректифицированный 10-симплекс (ru)									495	55
3		т ₂ {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Биректифицированный 10-симплекс (брю)									1980	165
4		т ₃ {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Триисправленный 10-симплекс (истина)									4620	330
5		т ₄ {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Квадриректифицированный 10-симплекс (теру)									6930	462
6		т _0,1 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Усеченный 10-симплекс (ту)									550	110
7		т _0,2 {3.3.3.3.3.3.3.3.3} Сочлененный 10-симплекс									4455	495
8		т _1,2 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Битусеченный 10-симплекс									2475	495
9		т _0,3 {3.3.3.3.3.3.3.3.3} Ранцинированный 10-симплекс									15840	1320
10		т _1,3 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Двукантелированный 10-симплекс									17820	1980
11		т _2,3 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Трехусеченный 10-симплекс									6600	1320
12		т _0,4 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Стерический 10-симплекс									32340	2310
13		т _1,4 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Бирунцированный 10-симплекс									55440	4620
14		т _2,4 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Треугольный 10-симплекс									41580	4620
15		т _3,4 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Квадриусеченный 10-симплекс									11550	2310
16		т _0,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Пятеричный 10-симплекс									41580	2772
17		т _1,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Бистерифицированный 10-симплекс									97020	6930
18		т _2,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Трехгранный 10-симплекс									110880	9240
19		т _3,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Четырехкантеллярный 10-симплекс									62370	6930
20		т _4,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Пятиусеченный 10-симплекс									13860	2772
21		т _0,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Шестигранный 10-симплекс									34650	2310
22		т _1,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Двупентелляционный 10-симплекс									103950	6930
23		т _2,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Тристерифицированный 10-симплекс									161700	11550
24		т _3,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Четырехконтурный 10-симплекс									138600	11550
25		т _0,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Гептеллированный 10-симплекс									18480	1320
26		т _1,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Двушестигранный 10-симплекс									69300	4620
27		т _2,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Трехпятнистый 10-симплекс									138600	9240
28		т _0,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Восьмеричный 10-симплекс									5940	495
29		т _1,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Двусептеллированный 10-симплекс									27720	1980
30		т _0,9 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Объединенный 10-симплекс									990	110
31		т _{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} {3,3,3,3,3,3,3,3,3} Всеусеченный 10-симплекс									199584000	39916800

Б ₁₀Семья

Существует 1023 формы, основанные на всех перестановках диаграмм Кокстера-Динкина с одним или несколькими кольцами.

Ниже показаны двенадцать случаев: десять однокольцевых ( выпрямленных ) форм и два усечения. Названия аббревиатур в стиле Бауэрса приведены в скобках для перекрестных ссылок.

#	График	Диаграмма Кокстера-Динкина Символ Шлефли Имя	Количество элементов
#	График	Диаграмма Кокстера-Динкина Символ Шлефли Имя	9-ликий	8-гранный	7-гранный	6-гранный	5-гранный	4-ликий	Клетки	Лица	Края	Вершины
1		т ₀ {4,3,3,3,3,3,3,3,3} 10-кубовый (палубный)	20	180	960	3360	8064	13440	15360	11520	5120	1024
2		т _0,1 {4,3,3,3,3,3,3,3,3} Усеченный 10-куб (таде)									51200	10240
3		т ₁ {4,3,3,3,3,3,3,3,3} Ректифицированный 10-куб (раде)									46080	5120
4		т ₂ {4,3,3,3,3,3,3,3,3} Биректифицированный 10-кубовый (бренд)									184320	11520
5		т ₃ {4,3,3,3,3,3,3,3,3} Триректифицированный 10-куб (торговля)									322560	15360
6		т ₄ {4,3,3,3,3,3,3,3,3} Квадриректифицированный 10-куб (терада)									322560	13440
7		т ₄ {3,3,3,3,3,3,3,3,4} Квадриректифицированный 10-ортоплекс (тераке)									201600	8064
8		т ₃ {3,3,3,3,3,3,3,4} Триректифицированный 10-ортоплекс (траке)									80640	3360
9		т ₂ {3,3,3,3,3,3,3,3,4} Биректифицированный 10-ортоплекс (тормозной)									20160	960
10		т ₁ {3,3,3,3,3,3,3,3,4} Выпрямленный 10-ортоплекс (грабли)									2880	180
11		т _0,1 {3,3,3,3,3,3,3,3,4} Усеченный 10-ортоплекс (взять)									3060	360
12		т ₀ {3,3,3,3,3,3,3,3,4} 10-ортоплекс (ка)	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	20

Д ₁₀Семья

Семейство D ₁₀ имеет симметрию порядка 1 857 945 600 (10 факториал × 2 ⁹).

Это семейство имеет 3×256−1=767 однородных многогранников Витоффа, сгенерированных путем разметки одного или нескольких узлов диаграммы _{D 10} Кокстера-Динкина . Из них 511 (2×256-1) повторяются из семейства B ₁₀ и 256 уникальны для этого семейства, 2 из которых перечислены ниже. Названия аббревиатур в стиле Бауэрса приведены в скобках для перекрестных ссылок.

#	График	Диаграмма Кокстера-Динкина Символ Шлефли Имя	Количество элементов
#	График	Диаграмма Кокстера-Динкина Символ Шлефли Имя	9-ликий	8-гранный	7-гранный	6-гранный	5-гранный	4-ликий	Клетки	Лица	Края	Вершины
1		10-демикуб (горячий)	532	5300	24000	64800	115584	142464	122880	61440	11520	512
2		Усеченный 10-демикуб (тэдэ)									195840	23040

Регулярные и однородные соты

Существует четыре фундаментальные аффинные группы Кокстера , которые генерируют регулярные и равномерные мозаики в 9-мерном пространстве:

#	Группа Коксетера
1	${\tilde {A}}_{9}$	[3 ^[10]]
2	${\tilde {B}}_{9}$	[4,3 ⁷,4]
3	${\tilde {C}}_{9}$	ч[4,3 ⁷,4] [4,3 ⁶,3 ^1,1]
4	${\tilde {D}}_{9}$	q[4,3 ⁷,4] [3 ^1,1,3 ⁵,3 ^1,1]

Регулярные и однородные тесселяции включают в себя:

Правильные 9-гиперкубические соты с символами {4,3 ⁷,4},
Равномерные чередующиеся 9-гиперкубические соты с символами h{4,3 ⁷,4},

Правильные и однородные гиперболические соты

Не существует компактных гиперболических групп Кокстера ранга 10, групп, которые могут порождать соты со всеми конечными гранями, и конечной вершинной фигуры . Однако существует 3 паракомпактные гиперболические группы Кокстера ранга 9, каждая из которых порождает однородные соты в 9-пространстве как перестановки колец диаграмм Кокстера.

${\bar {Q}}_{9}$ = [3 ^1,1,3 ⁴,3 ^2,1]:	${\bar {S}}_{9}$ = [4,3 ⁵,3 ^2,1]:	$E_{10}$ или ${\bar {T}}_{9}$ = [3 ^6,2,1]:

Три соты из $E_{10}$ семейство, порожденное диаграммами Кокстера с концевыми кольцами:

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с Ричесон, Д.; Жемчужина Эйлера: формула многогранника и рождение топоплогии , Принстон, 2008.

Т. Госсет : О правильных и полуправильных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики , Макмиллан, 1900 г.
А. Буль Стотт : Геометрический вывод полуправильных многогранников из правильных многогранников и пространственного заполнения , Трактаты о единице ширины Королевской академии наук Амстердам, Первый раздел 11,1, Амстердам, 1910 г.
ХСМ Коксетер :
- HSM Коксетер, М. С. Лонге-Хиггинс и Дж. К. П. Миллер: однородные многогранники , Философские труды Лондонского королевского общества, Лондон, 1954 г.
- HSM Coxeter, Правильные многогранники , 3-е издание, Дувр, Нью-Йорк, 1973 г.
Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380-407, МР 2,10]
- (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559-591]
- (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
Клитцинг, Ричард. «10D однородные многогранники (поликсенна)» .

Внешние ссылки

Имена многогранников
Многогранники различных размерностей , Джонатан Бауэрс
Многомерный глоссарий
Глоссарий по гиперпространству , Георгий Ольшевский.

v т и Фундаментальные выпуклые правильные и однородные многогранники размерностей 2–10.
Семья	н	Б _н	И ₂ (п) / Д _н	Е ₆ / Е ₇ / Е ₈ / Ж ₄ / Г ₂	Ч _н
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадрат	п-гон	Шестиугольник	Пентагон
Однородный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный полихорон	Пентахорон	16 ячеек • Тессеракт	Демитессеракт	24-ячеечный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-демикуб
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-демикуб	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-демикуб	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-демикуб	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-демикуб
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-демикуб
Равномерный n - многогранник	n - симплекс	n - ортоплекс • n - куб	n - демикуб	1 _{лиц 2} • 2 _{лиц 1} • лиц ₂₁	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений.

[richeson-1] Jump up to: ^а ^б ^с Ричесон, Д.; Жемчужина Эйлера: формула многогранника и рождение топоплогии , Принстон, 2008.

[1]