Демигиперкуб

Не путать с Hemicube (геометрия) .
Чередование n - куба дает один из двух n -демикубов , как на этой трехмерной иллюстрации двух тетраэдров , которые возникают как 3-демикубы 3 -куба .

В геометрии полугиперкубы гиперкуба также называемые n-демикубами , n-полукубами и многогранниками половинной меры ) представляют собой класс n - многогранников, построенных из чередования n ( - , обозначенного как hγ n , поскольку он является половиной семейства гиперкубов, γ n . Половина вершин удаляется и образуются новые грани. 2 n граней становятся 2 n ( n −1)-полукубами , а 2 н ( n −1)-симплексные фасеты. На месте удаленных вершин формируются [1]

Они были названы с использованием префикса деми- префикса к каждому имени гиперкуба : демикуб, демитессеракт и т. д. Демикуб идентичен правильному тетраэдру , а демитессеракт идентичен обычному 16-ячеечному . Демипентеракт , считается полуправильным поскольку имеет только правильные грани. Высшие формы не имеют всех правильных граней, но все являются однородными многогранниками .

Вершины и ребра полугиперкуба образуют две копии графа половинчатого куба .

n , -демикуб обладает симметрией если n четно . инверсионной

Открытие [ править ]

Торольд Госсет описал демипентеракт в своей публикации 1900 года, перечислив все правильные и полуправильные фигуры в n -мерностях выше трех. Он назвал это 5-ic полурегулярным . Он также существует в семействе полуправильных k 21 многогранников .

Полугиперкубы можно представить расширенными символами Шлефли вида h{4,3,...,3} как половину вершин {4,3,...,3}. Вершинные фигуры полугиперкубов представляют собой выпрямленные n - симплексы .

Конструкции [ править ]

Они представлены диаграммами Кокстера-Дынкина трех конструктивных форм:

  1. ... (Как альтернативный ортотоп ) s{2 1,1,...,1 }
  2. ... (Как чередующийся гиперкуб ) h{4,3 п -1 }
  3. ... . (Как демигиперкуб) {3 1, п −3,1 }

HSM Coxeter также обозначил третьи разветвленные диаграммы как 1 k 1, представляющие длины трех ветвей и возглавляемые кольцевой ветвью.

n -полукуб , n больше 2, имеет n ( n −1)/2 ребер, сходящихся в каждой вершине. На графиках ниже показано меньшее количество ребер в каждой вершине из-за перекрытия ребер в проекции симметрии.

н 1 к 1  Петри
многоугольник 		Символ Шлефли Диаграммы Кокстера
А 1 н
Б н
Д н 		Элементы Фасеты :
Демигиперкубы и
Симплексы 		Вершинная фигура
Вершины Края  Лица Клетки 4-ликий 5-гранный 6-гранный 7-гранный 8-гранный 9-ликий
2 1 −1,1 полуквадрат
( достаточно )
с{2}
ч{4}
{3 1,−1,1 }

2 2          
2 края 		--
3 1 01 полукуб
( тетраэдр )
с{2 1,1 }
ч{4,3}
{3 1,0,1 }

4 6 4        (6 дигонов )
4 треугольника 		Треугольник
(прямоугольный треугольник)
4 1 11 полудессеракт
( 16-ячеечный )
с{2 1,1,1 }
ч{4,3,3}
{3 1,1,1 }

8 24 32 16       8 полукубиков
(тетраэдры)
8 тетраэдров 		Октаэдр
(Выпрямленный тетраэдр)
5 1 21 демиэнтеракт
с{2 1,1,1,1 }
ч{4,3 3 }{3 1,2,1 }

16 80 160 120 26      10 16-ячеечных
16 5-клеточных 		Ректифицированный 5-клеточный
6 1 31 полугексеракт
с{2 1,1,1,1,1 }
ч{4,3 4 }{3 1,3,1 }

32 240 640 640 252 44     12 демиэнтерактов
32 5- простой 		Выпрямленный гексатерон
7 1 41 полугептеракт
с{2 1,1,1,1,1,1 }
ч{4,3 5 }{3 1,4,1 }

64 672 2240 2800 1624 532 78    14 полугексерактов
64 6- простой 		Выпрямленный 6-симплекс
8 1 51 полуоктеракт
с{2 1,1,1,1,1,1,1 }
ч{4,3 6 }{3 1,5,1 }

128 1792 7168 10752 8288 4032 1136 144   16 полугептерактов
128 7- простой 		Выпрямленный 7-симплекс
9 1 61 деминнеракт
с{2 1,1,1,1,1,1,1,1 }
ч{4,3 7 }{3 1,6,1 }

256 4608 21504 37632 36288 23520 9888 2448 274  18 демиоктерактов
256 8- простой 		Выпрямленный 8-симплекс
10 1 71 демидекеракт
с{2 1,1,1,1,1,1,1,1,1 }
ч{4,3 8 }{3 1,7,1 }

512 11520 61440 122880 142464 115584 64800 24000 5300 532 20 полуактов
512 9- простой 		Выпрямленный 9-симплекс
...
н 1 н −3,1 n-демикуб с{2 1,1,...,1 }
ч{4,3 п -2 }{3 1, п −3,1 } 		...
...
... 		2 п -1  2n −1 ( n )-полукубов
2 п -1 ( n −1)- простой 		Выпрямленный ( n −1)-симплекс

В общем, элементы демикуба можно определить из исходного n -куба: (с C n , m = m й -количество граней в n -кубе = 2 п - м п !/( м !( п - м )!))

  • Вершины: D n ,0 = 1/2 C n ,0 = 2 п -1 (Остается половина вершин n -куба)
  • Ребра: D n ,1 = C n ,2 = 1/2 n ( n −1) 2 п -2 (Все исходные края потеряны, каждая квадратная грань создает новую грань)
  • Лица: D n ,2 = 4 * C n ,3 = 2/3 n ( n −1)( n −2) 2 п -3 (Все исходные грани потеряны, каждый куб создает 4 новые треугольные грани)
  • Ячейки: D n ,3 = C n ,3 + 2 3 C n ,4 (тетраэдры из исходных ячеек плюс новые)
  • Гиперячейки: D n ,4 = C n ,4 + 2 4 C n ,5 (16-клеточный и 5-клеточный соответственно)
  • ...
  • [Для m = 3,..., n −1]: D n , m = C n , m + 2 м C n , m +1 ( m -демикубы и m -симплексы соответственно)
  • ...
  • Фасеты: D n , n −1 = 2 n + 2 п -1 (( n −1)-полукубы и ( n −1)-симплексы соответственно)

Группа симметрии [ править ]

Стабилизатор демигиперкуба в гипероктаэдрической группе ( группа Коксетера) [4,3 п -1 ]) имеет индекс 2. Это группа Кокстера. [3 п -3,1,1 ] порядка , и порождается перестановками координатных осей и отражениями вдоль пар координатных осей. [2]

Ортотопические конструкции [ править ]

Ромбический дисфеноид внутри кубоида .

Конструкции как чередующиеся ортотопы имеют одинаковую топологию, но могут растягиваться на разную длину по n -осям симметрии.

Ромбический дисфеноид является трехмерным примером чередующегося кубоида. Он имеет три набора длин ребер и грани разностороннего треугольника .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Правильные и полуправильные многогранники III, с. 315-316
  2. ^ "неделя187" . math.ucr.edu . Проверено 20 апреля 2018 г.
  • Т. Госсет : О правильных и полуправильных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики , Макмиллан, 1900 г.
  • Джон Х. Конвей , Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, Симметрии вещей 2008, ISBN   978-1-56881-220-5 (Глава 26. стр. 409: Гемикубы: 1 n1 )
  • Калейдоскопы: избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN   978-0-471-01003-6 [1]
    • (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]

Внешние ссылки [ править ]

Фундаментальные выпуклые правильные и однородные многогранники размерностей 2–10.
Семья н ​ Б н И 2 (п) / Д н Е 6 / Е 7 / Е 8 / Ж 4 / Г 2 Ч н
Правильный многоугольник Треугольник Квадрат п-гон Шестиугольник Пентагон
Однородный многогранник Тетраэдр Октаэдр • Куб Демикуб Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный полихорон Пентахорон 16 ячеек • Тессеракт Демитессеракт 24-ячеечный 120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник 5-симплекс 5-ортоплекс • 5-куб 5-демикуб
Равномерный 6-многогранник 6-симплекс 6-ортоплекс • 6-куб 6-демикуб 1 22 • 2 21
Равномерный 7-многогранник 7-симплекс 7-ортоплекс • 7-куб 7-демикуб 1 32 • 2 31 • 3 21
Равномерный 8-многогранник 8-симплекс 8-ортоплекс • 8-куб 8-демикуб 1 42 • 2 41 • 4 21
Равномерный 9-многогранник 9-симплекс 9-ортоплекс • 9-куб 9-демикуб
Равномерный 10-многогранник 10-симплекс 10-ортоплекс • 10-куб 10-демикуб
Равномерный n - многогранник n - симплекс n - ортоплекс • n - куб n - демикуб 1 лиц 2 • 2 лиц 1 • лиц 21 n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Demihypercube&oldid=1189601526"