Равномерный 7-многогранник
В семимерной геометрии — 7-многогранник это многогранник, содержащий 6-гранные грани. Каждый 5-многогранника гребень разделяется ровно двумя 6-многогранника гранями .
Однородный 7-многогранник — это тот, группа симметрии которого транзитивна на вершинах , а грани которого являются равномерными 6-многогранниками .
Правильные 7-многогранники
[ редактировать ]Правильные 7-многогранники представлены символом Шлефли {p,q,r,s,t,u} с 6-многогранника u {p,q,r,s,t} гранями вокруг каждой 4-грани.
ровно три Таких выпуклых правильных 7-многогранников :
- {3,3,3,3,3,3} - 7-симплекс
- {4,3,3,3,3,3} - 7-куб
- {3,3,3,3,3,4} - 7-ортоплекс
Невыпуклых правильных 7-многогранников не существует.
Характеристики
[ редактировать ]Топология любого данного 7-многогранника определяется его числами Бетти и коэффициентами кручения . [1]
Значение характеристики Эйлера , используемой для характеристики многогранников, не распространяется на более высокие измерения, независимо от их базовой топологии. Эта неадекватность характеристики Эйлера для надежного различения различных топологий в более высоких измерениях привела к открытию более сложных чисел Бетти. [1]
Точно так же понятия ориентируемости многогранника недостаточно для характеристики скручивания поверхности тороидальных многогранников, и это привело к использованию коэффициентов кручения. [1]
Равномерные 7-многогранники по фундаментальным группам Кокстера
[ редактировать ]Однородные 7-многогранники с отражательной симметрией могут быть порождены этими четырьмя группами Кокстера, представленными перестановками колец диаграмм Кокстера-Дынкина :
| # | Группа Коксетера | Правильные и полуправильные формы | Равномерное количество | ||
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | A 7 | [3 6 ] |   |
| 71 |
| 2 | Б 7 | [4,3 5 ] |  |
| 127 + 32 |
| 3 | D 7 | [3 3,1,1 ] |   |
| 95 (0 уникальных) |
| 4 | E 7 | [3 3,2,1 ] |    | 127 | |
| Призматические конечные группы Кокстера |
|---|
А 7 Семья
[ редактировать ]Семейство A7 ) имеет симметрию порядка 40320 (8- факториал .
Существует 71 форма (64+8-1), основанная на всех перестановках диаграмм Кокстера-Динкина с одним или несколькими кольцами. Все 71 перечислены ниже. Нормана Джонсона Приведены сокращенные имена . Имена и аббревиатуры Бауэрса также приведены для перекрестных ссылок.
См. также список многогранников A7 для симметричных плоских графов Кокстера этих многогранников.
| 7 многогранников однородных |
|---|
Б 7 Семья
[ редактировать ]Семейство B7 факториалов имеет симметрию порядка 645120 (7 x 2 7 ).
Существует 127 форм, основанных на всех перестановках диаграмм Кокстера-Динкина с одним или несколькими кольцами. Имена Джонсона и Бауэрса.
См. также список многогранников B7 для симметричных плоских графов Кокстера этих многогранников.
| B 7 однородных многогранников |
|---|
Д 7 Семья
[ редактировать ]Семейство D7 факториал имеет симметрию порядка 322560 (7 x 2 6 ).
Это семейство имеет 3×32−1=95 однородных многогранников Витоффа, сгенерированных путем маркировки одного или нескольких узлов диаграммы D 7 Кокстера-Динкина . Из них 63 (2×32−1) повторяются из семейства B7 и 32 являются уникальными для этого семейства, перечисленными ниже. Имена и аббревиатуры Бауэрса даны для перекрестных ссылок.
См. также список многогранников D7 для плоских графов Кокстера этих многогранников.
| D 7 однородных многогранников |
|---|
Е 7 Семья
[ редактировать ]Группа E 7 Coxeter имеет порядок 2 903 040.
Существует 127 форм, основанных на всех перестановках диаграмм Кокстера-Динкина с одним или несколькими кольцами.
См. также список многогранников E7 для симметричных плоских графов Кокстера этих многогранников.
| E 7 однородных многогранников |
|---|
Регулярные и однородные соты
[ редактировать ]
Существует пять фундаментальных аффинных групп Кокстера и шестнадцать призматических групп, которые генерируют регулярные и однородные мозаики в 6-мерном пространстве:
| # | Группа Коксетера | Диаграмма Кокстера | Формы | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | [3 [7] ] |  | 17 | |
| 2 | [4,3 4 ,4] | | 71 | |
| 3 | ч[4,3 4 ,4] [4,3 3 ,3 1,1 ] | | 95 (32 новых) | |
| 4 | q[4,3 4 ,4] [3 1,1 ,3 2 ,3 1,1 ] |  | 41 (6 новых) | |
| 5 | [3 2,2,2 ] | | 39 | |
Регулярные и однородные тесселяции включают в себя:
- , 17 форм
- Равномерные 6-симплексные соты : {3 [7] }
- Равномерные циклоусеченные 6-симплексные соты : t 0,1 {3 [7] }
- Равномерные всеусеченные 6-симплексные соты : t 0,1,2,3,4,5,6,7 {3 [7] }
- Равномерные 6-симплексные соты : {3 [7] }
- , [4,3 4 ,4], 71 форма
- Обычные соты из 6 кубиков , обозначенные символами {4,3 4 ,4},
- Обычные соты из 6 кубиков , обозначенные символами {4,3 4 ,4},
- , [3 1,1 ,3 3 ,4], 95 форм, 64 общих с , 32 новых
- Равномерные 6-кубические соты , обозначаемые символами h{4,3 4 ,4} = {3 1,1 ,3 3 ,4},
= 
- Равномерные 6-кубические соты , обозначаемые символами h{4,3 4 ,4} = {3 1,1 ,3 3 ,4},
- , [3 1,1 ,3 2 ,3 1,1 ], 41 уникальная кольцевая перестановка, наиболее распространенная у и и 6 — новые. Коксетер называет первый сот размером в четверть шести кубов .
= - =
- =
- =
- =
- =
- : [3 2,2,2 ], 39 форм
- Униформа 2 22 соты : представлена символами {3,3,3 2,2 },
- Равномерный т 4 (2 22 ) сот: 4р{3,3,3 2,2 },
- Униформа 0 222 соты: {3 2,2,2 },
- Равномерное t 2 (0 222 ) соты: 2r{3 2,2,2 },
- Униформа 2 22 соты : представлена символами {3,3,3 2,2 },
| # | Группа Коксетера | Диаграмма Кокстера-Динкина | |
|---|---|---|---|
| 1 | х | [3 [6] ,2,∞] |   |
| 2 | х | [4,3,3 1,1 ,2,∞] | |
| 3 | х | [4,3 3 ,4,2,∞] | |
| 4 | х | [3 1,1 ,3,3 1,1 ,2,∞] | |
| 5 | х х | [3 [5] ,2,∞,2,∞,2,∞] | |
| 6 | х х | [4,3,3 1,1 ,2,∞,2,∞] | |
| 7 | х х | [4,3,3,4,2,∞,2,∞] | |
| 8 | х х | [3 1,1,1,1 ,2,∞,2,∞] | |
| 9 | х х | [3,4,3,3,2,∞,2,∞] | |
| 10 | х х х | [4,3,4,2,∞,2,∞,2,∞] | |
| 11 | х х х | [4,3 1,1 ,2,∞,2,∞,2,∞] | |
| 12 | х х х | [3 [4] ,2,∞,2,∞,2,∞] | |
| 13 | х х х х | [4,4,2,∞,2,∞,2,∞,2,∞] | |
| 14 | х х х х | [6,3,2,∞,2,∞,2,∞,2,∞] |  |
| 15 | х х х х | [3 [3] ,2,∞,2,∞,2,∞,2,∞] | |
| 16 | х х х х х | [∞,2,∞,2,∞,2,∞,2,∞] | |
Правильные и однородные гиперболические соты
[ редактировать ]Не существует компактных гиперболических групп Кокстера ранга 7, групп, которые могут порождать соты со всеми конечными гранями, и конечной вершинной фигуры . Однако существует 3 паракомпактные гиперболические группы Кокстера ранга 7, каждая из которых порождает однородные соты в 6-мерном пространстве как перестановки колец диаграмм Кокстера.
| = [3,3 [6] ]: | = [3 1,1 ,3,3 2,1 ]: | = [4,3,3,3 2,1 ]:  |
Замечания о конструкции Витгофа для однородных 7-многогранников.
[ редактировать ]Отражающие 7-мерные однородные многогранники создаются с помощью процесса построения Витхоффа и представлены диаграммой Кокстера-Динкина , где каждый узел представляет зеркало. Активное зеркало представлено узлом с кольцом. Каждая комбинация активных зеркал генерирует уникальный однородный многогранник. Однородные многогранники называются в соответствии с правильными многогранниками в каждом семействе. Некоторые семейства имеют два обычных конструктора и поэтому могут быть названы двумя одинаково допустимыми способами.
Вот основные операторы, доступные для построения и именования однородных 7-многогранников.
Призматические формы и раздвоенные графы могут использовать одну и ту же нотацию индексации усечения, но для ясности требуют явной системы нумерации узлов.
| Операция | Расширенный Символ Шлефли | Коксетер- Дынкин диаграмма | Описание |
|---|---|---|---|
| Родитель | т 0 {p,q,r,s,t,u} |        | Любой правильный 7-многогранник |
| Исправленный | т 1 {p,q,r,s,t,u} | | Края полностью усекаются в отдельные точки. 7-многогранник теперь имеет объединенные грани родителя и двойника. |
| биректифицированный | т 2 {p,q,r,s,t,u} | | Биректификация сводит ячейки к их двойникам . |
| Усечено | т 0,1 {p,q,r,s,t,u} | | Каждая исходная вершина отсекается, а пробел заполняет новая грань. Усечение имеет степень свободы, которая имеет одно решение, создающее однородный усеченный 7-многогранник. 7-многогранник имеет исходные грани, удвоенные по сторонам, и содержит грани двойственного.  |
| Битусеченный | т 1,2 {p,q,r,s,t,u} | | Битранкция преобразует ячейки к их двойному усечению. |
| Трехусеченный | т 2,3 {p,q,r,s,t,u} | | Триусечение преобразует 4-грани в их двойное усечение. |
| Отмененный | т 0,2 {p,q,r,s,t,u} | | Помимо усечения вершин, каждое исходное ребро скашивается, и на их месте появляются новые прямоугольные грани. Равномерное кантелляция находится на полпути между родительской и двойственной формами.  |
| бикантелированный | т 1,3 {p,q,r,s,t,u} | | Помимо усечения вершин, каждое исходное ребро скашивается, и на их месте появляются новые прямоугольные грани. Равномерное кантелляция находится на полпути между родительской и двойственной формами. |
| рухлый | т 0,3 {p,q,r,s,t,u} | | Рансинация уменьшает ячейки и создает новые ячейки в вершинах и краях. |
| Бирунцинированный | т 1,4 {p,q,r,s,t,u} | | Рансинация уменьшает ячейки и создает новые ячейки в вершинах и краях. |
| стерилизованный | т 0,4 {p,q,r,s,t,u} | | Стерикация уменьшает количество 4-х граней и создает новые 4-грани в вершинах, ребрах и гранях в промежутках. |
| Пятнистый | т 0,5 {p,q,r,s,t,u} | | Пентелляция уменьшает 5-гранники и создает новые 5-гранники в вершинах, краях, гранях и ячейках в промежутках. |
| возбужденный | т 0,6 {p,q,r,s,t,u} | | Шестигранность уменьшает 6-граней и создает новые 6-граней в вершинах, ребрах, гранях, ячейках и 4-гранях в промежутках. ( операция расширения для 7-многогранников) |
| Всеусеченный | т 0,1,2,3,4,5,6 {p,q,r,s,t,u} | | Применяются все шесть операторов: усечение, кантелляция, прогонка, стерилизация, пентелляция и гексикация. |
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б с Ричесон, Д.; Жемчужина Эйлера: формула многогранника и рождение топоплогии , Принстон, 2008.
- Т. Госсет : О правильных и полуправильных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики , Макмиллан, 1900 г.
- А. Буль Стотт : Геометрический вывод полуправильных многогранников из правильных многогранников и пространственного заполнения , Трактаты о единице ширины Королевской академии наук Амстердам, Первый раздел 11,1, Амстердам, 1910 г.
- ХСМ Коксетер :
- HSM Коксетер, М. С. Лонге-Хиггинс и Дж. К. П. Миллер: однородные многогранники , Философские труды Лондонского королевского общества, Лондон, 1954 г.
- HSM Coxeter, Правильные многогранники , 3-е издание, Дувр, Нью-Йорк, 1973 г.
- Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html
- (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380-407, МР 2,10]
- (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559-591]
- (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
- Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
- Клитцинг, Ричард. «7D однородные многогранники (полиекса)» .