Однородный многогранник

В геометрии однородный многогранник имеет правильные многоугольники в качестве граней и является вершинно-транзитивным (т. е. существует изометрия , отображающая любую вершину на любую другую). Отсюда следует, что все вершины конгруэнтны .

Однородные многогранники могут быть правильными (если они также транзитивны по граням и граням ), квазиправильными (если они также транзитивны по граням, но не транзитивны по граням) или полуправильными (если они не транзитивны ни по граням, ни по граням). Грани и вершины не обязательно должны быть выпуклыми , поэтому многие однородные многогранники также являются звездчатыми многогранниками .

Существует два бесконечных класса однородных многогранников вместе с 75 другими многогранниками:

Бесконечные классы:
- призмы ,
- антипризма .
Выпуклое исключительное:
- 5 Платоновых тел : правильные выпуклые многогранники,
- 13 архимедовых тел : 2 квазиправильных и 11 полуправильных выпуклых многогранников.
Звездочка (невыпуклая) исключительная:
- 4 многогранника Кеплера – Пуансо : правильные невыпуклые многогранники,
- 53 однородных звездчатых многогранника : 14 квазиправильных и 39 полуправильных.

Следовательно, 5 + 13 + 4 + 53 = 75.

Существует также множество вырожденных однородных многогранников с парами совпадающих ребер, в том числе найденный Джоном Скиллингом большой двузубый диромбидодекаэдр (фигура Скиллинга).

Двойственные многогранники однородным многогранникам являются транзитивными по граням (изоэдральными) и имеют правильные фигуры вершин и обычно классифицируются параллельно со своими двойственными (однородными) многогранниками. Двойственное правильному многограннику является правильным, а двойственное архимедовому телу — каталанское тело .

Концепция однородного многогранника является частным случаем концепции однородного многогранника , которая также применима к формам в многомерном (или низкомерном) пространстве.

Определение [ править ]

Первородный грех в теории многогранников восходит к Евклиду и через Кеплера, Пуансо, Коши и многих других продолжает влиять на все работы по этой теме (в том числе и на работы настоящего автора). Оно возникает из-за того, что традиционное использование термина «правильные многогранники» противоречило и противоречит синтаксису и логике: кажется, что эти слова подразумевают, что среди объектов, которые мы называем «многогранниками», мы имеем дело с теми особыми объектами, которые мы называем «многогранниками». те, которые заслуживают называться «обычными». Но на каждом этапе — Евклид, Кеплер, Пуансо, Гесс, Брюкнер … — писателям не удалось определить, что такое «многогранники», среди которых они находят «правильные».

(Бранко Грюнбаум, 1994 г. )

Коксетер, Лонге-Хиггинс и Миллер (1954) определяют однородные многогранники как вершинно-транзитивные многогранники с правильными гранями. Они определяют многогранник как конечное множество многоугольников, в котором каждая сторона многоугольника является стороной только одного другого многоугольника, так что ни одно непустое собственное подмножество многоугольников не обладает тем же свойством. Под многоугольником они неявно подразумевают многоугольник в трехмерном евклидовом пространстве; им разрешено быть невыпуклыми и пересекать друг друга.

Существуют некоторые обобщения понятия однородного многогранника. Если отбросить предположение о связности, то мы получим однородные соединения, которые можно разбить как объединение многогранников, например соединение 5 кубов. Если отбросить условие невырожденности реализации многогранника, то мы получим так называемые вырожденные однородные многогранники. Это требует более общего определения многогранников. Грюнбаум (1994) дал довольно сложное определение многогранника, в то время как Макмаллен и Шульте (2002) дали более простое и общее определение многогранника: в их терминологии многогранник — это двумерный абстрактный многогранник с невырожденной трехмерной реализацией. Здесь абстрактный многогранник — это совокупность своих «граней», удовлетворяющих различным условиям, реализация — это функция от его вершин до некоторого пространства, а реализация называется невырожденной, если любые две различные грани абстрактного многогранника имеют различные реализации.Вот некоторые из способов их вырождения:

Скрытые лица. У некоторых многогранников грани скрыты в том смысле, что никакие точки их внутренней части не видны снаружи. Обычно их не считают однородными многогранниками.
Вырожденные соединения. Некоторые многогранники имеют несколько ребер, а их грани являются гранями двух или более многогранников, хотя они не являются составными в предыдущем смысле, поскольку у многогранников общие ребра.
Двойные крышки. Существуют неориентируемые многогранники, имеющие двойное покрытие, удовлетворяющее определению однородного многогранника. Двойные крышки имеют сдвоенные грани, ребра и вершины. Их обычно не считают однородными многогранниками.
Двойные лица. Существует несколько многогранников с сдвоенными гранями, полученными с помощью конструкции Витхоффа. Большинство авторов не допускают двойных граней и удаляют их как часть конструкции.
Двойные края. Фигура Скиллинга обладает тем свойством, что у нее есть двойные ребра (как у вырожденных однородных многогранников), но ее грани нельзя записать как объединение двух однородных многогранников.

История [ править ]

Правильные выпуклые многогранники [ править ]

Платоновые тела восходят к классической Греции и изучались пифагорейцами , Платоном ( ок. 424–348 до н. э.), Теэтетом (ок. 417 до н. э. – 369 до н. э.), Тимеем из Локров (ок. 420–380 до н. э.) и Евклид (300 г. до н. э.). Этруски . открыли правильный додекаэдр до 500 г. до н. э ^[1]

Неправильные однородные выпуклые многогранники

Кубооктаэдр Платону был известен .
Архимед (287–212 гг. до н. э.) открыл все 13 архимедовых тел . Его оригинальная книга на эту тему была утеряна, но Папп Александрийский (ок. 290 – ок. 350 н. э.) упомянул, что Архимед перечислил 13 многогранников.
Пьеро делла Франческа (1415–1492) заново открыл пять усечений платоновых тел — усеченный тетраэдр, усеченный октаэдр, усеченный куб, усеченный додекаэдр и усеченный икосаэдр — и включил иллюстрации и расчеты их метрических свойств в свою книгу De quinque corporibus Regularibus . Он также обсуждал кубооктаэдр в другой книге. ^[2]
Лука Пачоли заимствовал работу Франчески в De divinaпропорцие в 1509 году, добавив ромбокубооктаэдр , назвав его икосигексаэдром из-за его 26 граней, который нарисовал Леонардо да Винчи .
Иоганн Кеплер (1571–1630) был первым, кто опубликовал полный список архимедовых тел в 1619 году. Он также определил бесконечные семейства однородных призм и антипризм .

Правильные звездчатые многогранники [ править ]

Кеплер (1619) открыл два правильных многогранника Кеплера-Пуансо : малый звездчатый додекаэдр и большой звездчатый додекаэдр .
Луи Пуансо (1809) открыл два других: большой додекаэдр и большой икосаэдр .
Набор из четырех штук был завершен Огюстеном-Луи Коши в 1813 году и назван Артуром Кэли в 1859 году.

53 неправильных звездчатых Другие многогранника

Из оставшихся 53 Эдмунд Гесс (1878 г.) открыл 2, Альберт Бадуро (1881 г.) открыл еще 36, а Питч (1881 г.) независимо открыл 18, из которых 3 ранее не были открыты. Вместе они дали 41 многогранник.
Геометр Х.С.М. Коксетер открыл оставшиеся двенадцать в сотрудничестве с Дж. К. П. Миллером (1930–1932), но не опубликовал их. М. С. Лонге-Хиггинс и Х. К. Лонге-Хиггинс независимо друг от друга обнаружили одиннадцать из них. Лесавр и Мерсье заново открыли пять из них в 1947 году.
Коксетер, Лонге-Хиггинс и Миллер (1954) опубликовали список однородных многогранников.
Сопов (1970) доказал свою гипотезу о полноте списка.
В 1974 году Магнус Веннингер опубликовал свою книгу «Модели многогранников» , в которой перечислены все 75 непризматических однородных многогранников, причем многие ранее не публиковавшиеся названия были даны им Норманом Джонсоном .
Скиллинг (1975) независимо доказал полноту и показал, что если определение однородного многогранника смягчено и позволяет ребрам совпадать, то остается только одна дополнительная возможность (великий раздутый диромбидодекаэдр ).
В 1987 году Эдмон Бонан нарисовал все однородные многогранники и их двойники в 3D с помощью программы Turbo Pascal под названием Polyca . Большинство из них были показаны во время Конгресса Международного стереоскопического союза, состоявшегося в 1993 году в Театре Конгресса в Истборне, Англия; и снова в 2005 году на Курзале в Безансоне, Франция. ^[3]
В 1993 году Цви Хар'Эл (1949–2008) ^[4] создал полную калейдоскопическую конструкцию однородных многогранников и двойственных чисел с помощью компьютерной программы под названием Kaleido и обобщил ее в статье « Единое решение для однородных многогранников» , посчитав цифры от 1 до 80. ^[5]
Также в 1993 году Р. Мэдер портировал это решение Kaleido в Mathematica с немного другой системой индексации. ^[6]
В 2002 году Питер В. Мессер обнаружил минимальный набор выражений в замкнутой форме для определения основных комбинаторных и метрических величин любого однородного многогранника (и его двойственного) с учетом только его символа Витхоффа . ^[7]

Однородные звездчатые многогранники [ править ]

57 непризматических невыпуклых форм, за исключением большого диромбикосидодекаэдра , составлены конструкциями Витгофа внутри треугольников Шварца .

конструкции формы Выпуклые Витгофа

Выпуклые однородные многогранники можно назвать с помощью операций построения Витхоффа в правильной форме.

Более подробно выпуклые однородные многогранники представлены ниже в виде их конструкции Витхоффа внутри каждой группы симметрии.

В конструкции Витхоффа существуют повторы, созданные формами более низкой симметрии. Куб представляет собой правильный многогранник и квадратную призму. Октаэдр представляет собой правильный многогранник и треугольную антипризму. Октаэдр . также является тетраэдром выпрямленным Многие многогранники повторяются из разных источников построения и окрашены по-разному.

Конструкция Витхоффа одинаково применима к однородным многогранникам и однородным мозаикам на поверхности сферы , поэтому даны изображения обоих. Сферические мозаики, включающие набор осоэдров и диэдров, которые являются вырожденными многогранниками.

Эти группы симметрии формируются из групп отражающих точек в трех измерениях , каждая из которых представлена фундаментальным треугольником ( p q r ), где p > 1, q > 1, r > 1 и 1/ p + 1/ q + 1/ r < 1 .

Тетраэдрическая симметрия (3 3 2) – 24 порядок.
Октаэдрическая симметрия (4 3 2) – порядок 48.
Икосаэдрическая симметрия (5 3 2) – порядок 120.
Диэдральная симметрия ( n 2 2), для n = 3,4,5,... – порядка 4 n

Остальные неотражающие формы строятся операциями чередования , применяемыми к многогранникам с четным числом сторон.

Наряду с призмами и их двугранной симметрией , сферический процесс построения Витхоффа добавляет два регулярных класса, которые вырождаются в многогранники: диэдры и осоэдры , первый из которых имеет только две грани, а второй - только две вершины. Усечение правильных осоэдров образует призмы.

Ниже выпуклые однородные многогранники имеют индексы 1–18 для непризматических форм, так как они представлены в таблицах по форме симметрии.

Для бесконечного множества призматических форм они индексируются четырьмя семействами:

Осоэдры H _2... (только как сферические мозаики)
Диэдры D _2... (только как сферические мозаики)
Призмы П _3... (усеченные осоэдры)
Антипризмы А _3... (взносые призмы)

Сводные таблицы [ править ]

Джонсона Имя	Родитель	Усечено	Исправленный	Битусеченный (тр. двойной)	биректифицированный (двойной)	Отмененный	Всеусеченный ( количественно усечено )	пренебрежительный
Диаграмма Кокстера
Расширенный Символ Шлефли	${\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}$	$t{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}$	${\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	$t{\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}}$	${\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}}$	$r{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	$t{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$
	{п, д}	t{p,q}	г {р, q}	2t{p,q}	2r{p,q}	rr{p,q}	tr{p,q}	ср{п,q}
	т ₀ {p,q}	т _0,1 {p,q}	т ₁ {p,q}	т _1,2 {p,q}	т ₂ {p,q}	т _0,2 {p,q}	т _0,1,2 {p,q}	ht _0,1,2 {p,q}
Символ Витхоффа (пк 2)	д \| п 2	2 кв \| п	2 \| ПК	2 р \| д	р \| q 2	ПК \| 2	кв 2 \|	\| ПК 2
Вершинная фигура	п ^д	q.2p.2p	(пк) ²	п. 2кв.2кв	д ^п	п. 4.q.4	4.2п.2к	3.3.п. 3.q
Тетраэдрический (3 3 2)	3.3.3	3.6.6	3.3.3.3	3.6.6	3.3.3	3.4.3.4	4.6.6	3.3.3.3.3
Октаэдрический (4 3 2)	4.4.4	3.8.8	3.4.3.4	4.6.6	3.3.3.3	3.4.4.4	4.6.8	3.3.3.3.4
икосаэдрический (5 3 2)	5.5.5	3.10.10	3.5.3.5	5.6.6	3.3.3.3.3	3.4.5.4	4.6.10	3.3.3.3.5

И выборка двугранных симметрий:

(Сфера не разрезается, разрезается только мозаика.) (На сфере ребро — это дуга большого круга, кратчайший путь между двумя ее вершинами. Следовательно, двуугольник, вершины которого не являются полярно противоположными, равен плоский: он выглядит как край.)

(п 2 2)	Родитель	Усечено	Исправленный	Битусеченный (тр. двойной)	биректифицированный (двойной)	Отмененный	Всеусеченный ( количественно усечено )	пренебрежительный
Диаграмма Кокстера
Расширенный Символ Шлефли	${\begin{Bmatrix}p,2\end{Bmatrix}}$	$t{\begin{Bmatrix}p,2\end{Bmatrix}}$	${\begin{Bmatrix}p\\2\end{Bmatrix}}$	$t{\begin{Bmatrix}2,p\end{Bmatrix}}$	${\begin{Bmatrix}2,p\end{Bmatrix}}$	$r{\begin{Bmatrix}p\\2\end{Bmatrix}}$	$t{\begin{Bmatrix}p\\2\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}p\\2\end{Bmatrix}}$
	{п, 2}	т{р,2}	г{р,2}	2т{п,2}	2р{п,2}	рр{р,2}	тр{п,2}	ср{п,2}
	т ₀ {р,2}	т _0,1 {р,2}	т ₁ {р,2}	т _1,2 {п,2}	т ₂ {р,2}	т _0,2 {р,2}	т _0,1,2 {р,2}	ht _0,1,2 {p,2}
Символ Витхоффа	2 \| п 2	2 2 \| п	2 \| п 2	2 р \| 2	р \| 2 2	р 2 \| 2	р 2 2 \|	\| п 2 2
Вершинная фигура	п ²	2.2п.2п	п. 2.п. 2	п. 4.4	2 ^п	п. 4.2.4	4.2п.4	3.3.3.п
двугранный (2 2 2)	{2,2}	2.4.4	2.2.2.2	4.4.2	2.2	2.4.2.4	4.4.4	3.3.3.2
двугранный (3 2 2)	3.3	2.6.6	2.3.2.3	4.4.3	2.2.2	2.4.3.4	4.4.6	3.3.3.3
двугранный (4 2 2)	4.4	2.8.8	2.4.2.4	4.4.4	2.2.2.2	2.4.4.4	4.4.8	3.3.3.4
двугранный (5 2 2)	5.5	2.10.10	2.5.2.5	4.4.5	2.2.2.2.2	2.4.5.4	4.4.10	3.3.3.5
двугранный (6 2 2)	6.6	2.12.12	2.6.2.6	4.4.6	2.2.2.2.2.2	2.4.6.4	4.4.12	3.3.3.6

(3 3 2) T _d тетраэдрическая симметрия [ править ]

Тетраэдрическая симметрия сферы порождает 5 однородных многогранников, а 6-й формируется в результате операции вздергивания.

Тетраэдрическая симметрия представлена фундаментальным треугольником с одной вершиной с двумя зеркалами и двумя вершинами с тремя зеркалами, обозначенными символом (3 3 2). Ее также можно представить группой Кокстера A ₂ или [3,3], а также диаграммой Кокстера : .

Есть 24 треугольника, видимых на гранях тетракис-гексаэдра и в попеременно окрашенных треугольниках на сфере:

#	Имя	График A_А3	График A_А2	Картина	Укладка плитки	Вертекс фигура	Коксетер и Шлефли символы	Лицо считается по положению			Количество элементов
#	Имя	График A_А3	График A_А2	Картина	Укладка плитки	Вертекс фигура	Коксетер и Шлефли символы	Поз. 2 [3] (4)	Поз. 1 [2] (6)	Поз. 0 [3] (4)	Лица	Края	Вершины
1	Тетраэдр						{3,3}	{3}			4	6	4
[1]	Биректифицированный тетраэдр (то же самое, что тетраэдр )						т ₂ {3,3}={3,3}			{3}	4	6	4
2	Выпрямленный тетраэдр Тетратетраэдр (то же, что октаэдр )						т ₁ {3,3}=r{3,3}	{3}		{3}	8	12	6
3	Усеченный тетраэдр						т _0,1 {3,3}= т{3,3}	{6}		{3}	8	18	12
[3]	Двуусеченный тетраэдр (то же, что усеченный тетраэдр )						т _1,2 {3,3}= т{3,3}	{3}		{6}	8	18	12
4	Скошенный тетраэдр Ромбитетратраэдр (то же, что кубооктаэдр )						т _0,2 {3,3}=rr{3,3}	{3}	{4}	{3}	14	24	12
5	Всеусеченный тетраэдр Усеченный тетратетраэдр (то же самое, что усеченный октаэдр )						т _0,1,2 {3,3}=tr{3,3}	{6}	{4}	{6}	14	36	24
6	Курносый тетратетраэдр (то же самое, что икосаэдр )						ср{3,3}	{3}	2 {3}	{3}	20	30	12

(4 3 2) O _h октаэдрическая симметрия [ править ]

Октаэдрическая симметрия сферы порождает 7 однородных многогранников и еще 7 путем чередования. Шесть из этих форм повторяются из приведенной выше таблицы тетраэдрической симметрии.

Октаэдрическая симметрия представлена фундаментальным треугольником (4 3 2), считая зеркала в каждой вершине. Ее также можно представить группой Кокстера B ₂ или [4,3], а также диаграммой Кокстера : .

Есть 48 треугольников, видимых на гранях додекаэдра Дисдякиса и в попеременно окрашенных треугольниках на сфере:

#	Имя	График B_Б3	График B_Б2	Картина	Укладка плитки	Вертекс фигура	Коксетер и Шлефли символы	Лицо считается по положению			Количество элементов
#	Имя	График B_Б3	График B_Б2	Картина	Укладка плитки	Вертекс фигура	Коксетер и Шлефли символы	Поз. 2 [4] (6)	Поз. 1 [2] (12)	Поз. 0 [3] (8)	Лица	Края	Вершины
7	Куб						{4,3}	{4}			6	12	8
[2]	Октаэдр						{3,4}			{3}	8	12	6
[4]	Ректифицированный куб Ректифицированный октаэдр ( Кубооктаэдр )						{4,3}	{4}		{3}	14	24	12
8	Усеченный куб						т _0,1 {4,3}=т{4,3}	{8}		{3}	14	36	24
[5]	Усеченный октаэдр						т _0,1 {3,4}= т{3,4}	{4}		{6}	14	36	24
9	Согнутый куб Скошенный октаэдр Ромбокубооктаэдр						т _0,2 {4,3}=rr{4,3}	{4}	{4}	{3}	26	48	24
10	Всеусеченный куб Всеусеченный октаэдр Усеченный кубооктаэдр						т _0,1,2 {4,3}=tr{4,3}	{8}	{4}	{6}	26	72	48
[6]	Курносый октаэдр (то же самое, что икосаэдр )						= с{3,4}=ср{3,3}		{3}	{3}	20	30	12
[1]	Половина куба (то же самое, что тетраэдр )						= ч{4,3}={3,3}	¹/ ₂ {3}			4	6	4
[2]	Кантический куб (то же самое, что и усеченный тетраэдр )						= ч ₂ {4,3}=t{3,3}	¹/ ₂ {6}		¹/ ₂ {3}	8	18	12
[4]	(то же самое, что кубооктаэдр )						= рр{3,3}				14	24	12
[5]	(то же, что и усеченный октаэдр )						= тр{3,3}				14	36	24
[9]	Кантический курносый октаэдр (то же, что и ромбокубооктаэдр )						с ₂ {3,4}=rr{3,4}				26	48	24
11	Курносый кубооктаэдр						ср{4,3}	{4}	2 {3}	{3}	38	60	24

(5 3 2) I _h икосаэдрическая симметрия [ править ]

Икосаэдрическая симметрия сферы порождает 7 однородных многогранников и еще 1 путем чередования. Только один повторяется из приведенной выше таблицы симметрии тетраэдра и октаэдра.

Икосаэдрическая симметрия представлена фундаментальным треугольником (5 3 2), считая зеркала в каждой вершине. Ее также можно представить группой Кокстера G ₂ или [5,3], а также диаграммой Кокстера : .

Есть 120 треугольников, видимых на гранях триаконтаэдра Дисдиакиса и в попеременно окрашенных треугольниках на сфере:

#	Имя	График (А ₂ ) [6]	График ( _Н3 ) [10]	Картина	Укладка плитки	Вертекс фигура	Коксетер и Шлефли символы	Лицо считается по положению			Количество элементов
#	Имя	График (А ₂ ) [6]	График ( _Н3 ) [10]	Картина	Укладка плитки	Вертекс фигура	Коксетер и Шлефли символы	Поз. 2 [5] (12)	Поз. 1 [2] (30)	Поз. 0 [3] (20)	Лица	Края	Вершины
12	Додекаэдр						{5,3}	{5}			12	30	20
[6]	Икосаэдр						{3,5}			{3}	20	30	12
13	Выпрямленный додекаэдр Ректифицированный икосаэдр Икосододекаэдр						т ₁ {5,3}=r{5,3}	{5}		{3}	32	60	30
14	Усеченный додекаэдр						т _0,1 {5,3}= т{5,3}	{10}		{3}	32	90	60
15	Усеченный икосаэдр						т _0,1 {3,5}= т{3,5}	{5}		{6}	32	90	60
16	Скошенный додекаэдр Кантеллированный икосаэдр Ромбикосидодекаэдр						т _0,2 {5,3}=rr{5,3}	{5}	{4}	{3}	62	120	60
17	Всеусеченный додекаэдр Всеусеченный икосаэдр Усеченный икосододекаэдр						т _0,1,2 {5,3}=tr{5,3}	{10}	{4}	{6}	62	180	120
18	Курносый икосододекаэдр						ср{5,3}	{5}	2 {3}	{3}	92	150	60

[p,2], I ₂(p 2 2) Призматическое семейство _{D p h} (p) ( диэдральная симметрия ) [ править ]

Двугранная симметрия сферы порождает два бесконечных набора однородных многогранников, призм и антипризм, а также еще два бесконечных набора вырожденных многогранников, осоэдров и диэдров, которые существуют как мозаики на сфере.

Двугранная симметрия представлена фундаментальным треугольником (p 2 2), считая зеркала в каждой вершине. Ее также можно представить группой Кокстера I ₂ (p) или [n,2], а также призматической диаграммой Кокстера : .

Ниже приведены первые пять двугранных симметрий: D ₂ ... D ₆ . Диэдральная симметрия D _p имеет порядок 4n , представлена гранями бипирамиды , а на сфере - линией экватора по долготе и n равноотстоящими друг от друга линиями долготы.

(2 2 2) Диэдральная симметрия [ править ]

Есть 8 основных треугольников, видимых на гранях квадратной бипирамиды (октаэдра) и попеременно окрашенных треугольников на сфере:

#	Имя	Картина	Укладка плитки	Вертекс фигура	Коксетер и Шлефли символы	Лицо считается по положению			Количество элементов
#	Имя	Картина	Укладка плитки	Вертекс фигура	Коксетер и Шлефли символы	Поз. 2 [2] (2)	Поз. 1 [2] (2)	Поз. 0 [2] (2)	Лица	Края	Вершины
D_Д2 Ч ₂	диагональный двугранник , двуугольный осоэдр				{2,2}	{2}			2	2	2
Д ₄	Усеченный двуугольный диэдр (то же самое, что квадратный двугранник )				т{2,2}={4,2}	{4}			2	4	4
P_P4 [7]	Всеусеченный двуугольный диэдр (то же, что куб )				т _0,1,2 {2,2}=tr{2,2}	{4}	{4}	{4}	6	12	8
A_А2 [1]	Вздернутый двуугольный двугранник (то же самое, что тетраэдр )				ср{2,2}		2 {3}		4	6	4

(3 2 2) D _3h двугранная симметрия [ править ]

Есть 12 основных треугольников, видимых на гранях шестиугольной бипирамиды и попеременно окрашенных треугольников на сфере:

#	Имя	Картина	Укладка плитки	Вертекс фигура	Коксетер и Шлефли символы	Лицо считается по положению			Количество элементов
#	Имя	Картина	Укладка плитки	Вертекс фигура	Коксетер и Шлефли символы	Поз. 2 [3] (2)	Поз. 1 [2] (3)	Поз. 0 [2] (3)	Лица	Края	Вершины
Д ₃	Треугольный диэдр				{3,2}	{3}			2	3	3
H_H3	Треугольный осоэдр				{2,3}			{2}	3	3	2
Д ₆	Усеченный трехугольный диэдр (то же самое, что шестиугольный диэдр )				т{3,2}	{6}			2	6	6
P_P3	Усеченный тригональный осоэдр ( Треугольная призма )				т{2,3}	{3}	{4}		5	9	6
П ₆	Всеусеченный трехугольный диэдр ( Шестиугольная призма )				т _0,1,2 {2,3}=tr{2,3}	{6}	{4}	{4}	8	18	12
A_А3 [2]	Вздернутый трехугольный диэдр (то же, что и треугольная антипризма ) (то же, что октаэдр )				ср{2,3}	{3}	2 {3}		8	12	6
P_P3	Кантический курносый трехгранник ( Треугольная призма )				с ₂ {2,3}=t{2,3}				5	9	6

(4 2 2) D _4h двугранная симметрия [ править ]

Есть 16 основных треугольников, видимых на гранях восьмиугольной бипирамиды и попеременно окрашенных треугольников на сфере:

#	Имя	Картина	Укладка плитки	Вертекс фигура	Коксетер и Шлефли символы	Лицо считается по положению			Количество элементов
#	Имя	Картина	Укладка плитки	Вертекс фигура	Коксетер и Шлефли символы	Поз. 2 [4] (2)	Поз. 1 [2] (4)	Поз. 0 [2] (4)	Лица	Края	Вершины
Д ₄	квадратный двугранник				{4,2}	{4}			2	4	4
Ч ₄	квадратный осоэдр				{2,4}			{2}	4	4	2
Д ₈	Усеченный квадратный диэдр (то же самое, что восьмиугольный двугранник )				т{4,2}	{8}			2	8	8
P_P4 [7]	Усеченный квадратный осоэдр ( Куб )				т{2,4}	{4}	{4}		6	12	8
Д ₈	Всеусеченный квадратный диэдр ( Восьмиугольная призма )				т _0,1,2 {2,4}=tr{2,4}	{8}	{4}	{4}	10	24	16
A ₄	Вздернутый квадратный двугранник ( Квадратная антипризма )				ср{2,4}	{4}	2 {3}		10	16	8
P_P4 [7]	Кантический курносый квадратный двугранник ( Куб )				с ₂ {4,2}=t{2,4}				6	12	8
A_А2 [1]	Вздернутый квадратный осоэдр ( Дигональная антипризма ) ( Тетраэдр )				с{2,4}=ср{2,2}				4	6	4

(5 2 2) D _5h двугранная симметрия [ править ]

Есть 20 основных треугольников, видимых на гранях десятиугольной бипирамиды и попеременно окрашенных треугольников на сфере:

#	Имя	Картина	Укладка плитки	Вертекс фигура	Коксетер и Шлефли символы	Лицо считается по положению			Количество элементов
#	Имя	Картина	Укладка плитки	Вертекс фигура	Коксетер и Шлефли символы	Поз. 2 [5] (2)	Поз. 1 [2] (5)	Поз. 0 [2] (5)	Лица	Края	Вершины
Д ₅	Пятиугольный диэдр				{5,2}	{5}			2	5	5
Ч ₅	Пятиугольный осоэдр				{2,5}			{2}	5	5	2
Д ₁₀	Усеченный пятиугольный диэдр (то же самое, что десятиугольный диэдр )				т{5,2}	{10}			2	10	10
P_P5	Усеченный пятиугольный осоэдр (то же самое, что пятиугольная призма )				т{2,5}	{5}	{4}		7	15	10
П ₁₀	Всеусеченный пятиугольный двугранник ( Декагональная призма )				т _0,1,2 {2,5}=tr{2,5}	{10}	{4}	{4}	12	30	20
A_А5	Вздернутый пятиугольный двугранник ( Пятиугольная антипризма )				ср{2,5}	{5}	2 {3}		12	20	10
P_P5	Кантический курносый пятиугольный двугранник ( Пятиугольная призма )				с ₂ {5,2}=t{2,5}				7	15	10

(6 2 2) D _6h двугранная симметрия [ править ]

Есть 24 основных треугольника, видимых на гранях двенадцатиугольной бипирамиды и попеременно окрашенных треугольников на сфере.

#	Имя	Картина	Укладка плитки	Вертекс фигура	Коксетер и Шлефли символы	Лицо считается по положению			Количество элементов
#	Имя	Картина	Укладка плитки	Вертекс фигура	Коксетер и Шлефли символы	Поз. 2 [6] (2)	Поз. 1 [2] (6)	Поз. 0 [2] (6)	Лица	Края	Вершины
Д ₆	Шестиугольный диэдр				{6,2}	{6}			2	6	6
Ч ₆	Шестиугольный осоэдр				{2,6}			{2}	6	6	2
Д ₁₂	Усеченный шестиугольный диэдр (то же самое, что двенадцатиугольный диэдр )				т{6,2}	{12}			2	12	12
Ч ₆	Усеченный шестиугольный осоэдр (то же, что шестиугольная призма )				т{2,6}	{6}	{4}		8	18	12
Пт ₁₂	Всеусеченный шестиугольный двугранник ( Двенадцатиугольная призма )				т _0,1,2 {2,6}=tr{2,6}	{12}	{4}	{4}	14	36	24
А ₆	Вздернутый шестиугольный двугранник ( Шестиугольная антипризма )				ср{2,6}	{6}	2 {3}		14	24	12
P_P3	Кантический шестиугольный диэдр ( Треугольная призма )				= ч ₂ {6,2}=t{2,3}				5	9	6
П ₆	Кантический курносый шестиугольный двугранник ( Шестиугольная призма )				с ₂ {6,2}=t{2,6}				8	18	12
A_А3 [2]	Плосконосый шестиугольный осоэдр (то же, что и треугольная антипризма ) (то же, что октаэдр )				с{2,6}=ср{2,3}				8	12	6

Строительные операторы Wythoff [ править ]

Операция	Символ	Описание
Родитель	{п, д} т ₀ {p,q}	Любой правильный многогранник или мозаика
Исправленный (р)	г {р, q} т ₁ {p,q}	Края полностью усекаются в отдельные точки. Многогранник теперь имеет объединенные грани родительской и двойственной. Многогранники называются по количеству сторон двух правильных форм: {p,q} и {q,p}, как кубооктаэдр для r{4,3} между кубом и октаэдром.
Биректифицированный (2r) (также двойной )	2r{p,q} т ₂ {p,q}	Биректификация (двойственность) представляет собой дальнейшее усечение, в результате которого исходные грани сводятся к точкам. Под каждой родительской вершиной формируются новые грани. Количество ребер не изменилось и повернуто на 90 градусов. Биректификацию можно рассматривать как двойственную.
Усечено (т)	t{p,q} т _0,1 {p,q}	Каждая исходная вершина отсекается, а пробел заполняет новая грань. Усечение имеет степень свободы, которая имеет одно решение, создающее однородный усеченный многогранник. Многогранник имеет исходные грани, удвоенные по сторонам, и содержит грани двойственного.
Битусеченный (2t) (также усеченный двойной)	2t{p,q} т _1,2 {p,q}	Усечение бита можно рассматривать как усечение двойственного числа. Битусеченный куб — это усеченный октаэдр.
Отмененный (rr) (Также расширено )	rr{p,q}	Помимо усечения вершин, каждое исходное ребро скашивается, и на их месте появляются новые прямоугольные грани. Равномерное кантелляция находится на полпути между родительской и двойственной формами. Согнутый многогранник называется ромби-r{p,q}, как ромбокубооктаэдр для rr{4,3}.
Кантитусеченный (тр) (также всеусеченный )	tr{p,q} т _0,1,2 {p,q}	Операции усечения и отмены применяются вместе для создания всеусеченной формы, в которой грани родительского объекта удвоены по сторонам, грани двойника удвоены по сторонам и квадраты там, где существовали исходные края.

Операции чередования
Операция	Символ	Описание
Курносый исправлен (ср)	ср{п,q}	Чередование кантиусечения. Все исходные грани в конечном итоге имеют вдвое меньше сторон, а квадраты вырождаются в ребра. Поскольку всеусеченные формы имеют 3 грани/вершины, образуются новые треугольники. Обычно эти чередующиеся формы огранки впоследствии слегка деформируются, чтобы снова превратиться в однородные многогранники. Возможность последнего варианта зависит от степени свободы.
Курносый (с)	с{п,2q}	Попеременное усечение
Кантическое пренебрежение (с ₂ )	с ₂ {p,2q}
Поочередное кантелляция (хрр)	хрр{2p,2q}	Возможно только в однородных замощениях (бесконечные многогранники), чередование Например,
Половина (ч)	ч{2p,q}	Чередование , то же, что
Кантик (ч ₂ )	ч ₂ {2p, q}	То же, что
Половина выпрямленного (ч)	час{2р,2кв}	Возможно только в однородных замощениях (бесконечные многогранники), чередование , то же, что или Например, = или
Четверть (кв)	q{2p,2q}	Возможно только в однородных мозаиках (бесконечные многогранники), так же, как Например, = или

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Правильные многогранники, стр.13
^ Многогранники Пьеро делла Франческа
^ Эдмон Бонан, "Polyèdres Eastbourne 1993", Stéréo-Club Français 1993
^ Доктор Цви Хар'Эль (14 декабря 1949 - 2 февраля 2008) и Международные исследования Жюля Верна - дань уважения
^ Харель, Цви (1993). «Единое решение для однородных многогранников» (PDF) . Геометрии Дедиката . 47 : 57–110. дои : 10.1007/BF01263494 . Zvi Har'El , программное обеспечение Kaleido , изображения , двойные изображения
^ Мэдер, RE Равномерные многогранники. Mathematica J. 3, 48-57, 1993. [1]
^ Мессер, Питер В. (2002). «Выражения в замкнутой форме для однородных многогранников и их двойников» . Дискретная и вычислительная геометрия . 27 (3): 353–375. дои : 10.1007/s00454-001-0078-2 .

Ссылки [ править ]

Брюкнер М. Многоугольники и многогранники. теория и история. . Лейпциг, Германия: Тойбнер, 1900. [2]
Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд ; Лонге-Хиггинс, MS ; Миллер, JCP (1954). «Равномерные многогранники» (PDF) . Философские труды Королевского общества А. 246 (916): 401–450. Бибкод : 1954RSPTA.246..401C . дои : 10.1098/rsta.1954.0003 . ISSN 0080-4614 . JSTOR 91532 . МР 0062446 . S2CID 202575183 .
Грюнбаум, Б. (1994), «Многогранники с полыми гранями», Тибор Бистрицкий; Питер МакМаллен; Рольф Шнайдер; и др. (ред.), Труды Института перспективных исследований НАТО по многогранникам: абстрактные, выпуклые и вычислительные , Springer, стр. 43–70, doi : 10.1007/978-94-011-0924-6_3 , ISBN 978-94-010-4398-4
МакМаллен, Питер ; Шульте, Эгон (2002), Абстрактные правильные многогранники , издательство Кембриджского университета
Скиллинг, Дж. (1975). «Полное множество однородных многогранников». Философские труды Лондонского королевского общества. Серия А. Математические и физические науки . 278 (1278): 111–135. Бибкод : 1975RSPTA.278..111S . дои : 10.1098/rsta.1975.0022 . ISSN 0080-4614 . JSTOR 74475 . МР 0365333 . S2CID 122634260 .
Сопов, СП (1970). «Доказательство полноты списка элементарных однородных многогранников». Украинский геометрический сборник (8): 139–156. МР 0326550 .
Веннингер, Магнус (1974). Модели многогранников . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-09859-5 .

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. «Равномерный многогранник» . Математический мир .
Единообразное решение для однородных многогранников.
Однородные многогранники
Виртуальные многогранники Однородные многогранники
Галерея однородных многогранников
Однородный многогранник — из Wolfram MathWorld. Имеет наглядную диаграмму всех 75.

v т и Фундаментальные выпуклые правильные и однородные многогранники размерностей 2–10.
Семья	н	Б _н	И ₂ (п) / Д _н	Е ₆ / Е ₇ / Е ₈ / Ж ₄ / Г ₂	Ч _н
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадрат	п-гон	Шестиугольник	Пентагон
Однородный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный полихорон	Пентахорон	16 ячеек • Тессеракт	Демитессеракт	24-ячеечный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-демикуб
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-демикуб	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-демикуб	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-демикуб	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-демикуб
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-демикуб
Равномерный n - многогранник	n - симплекс	n - ортоплекс • n - куб	n - демикуб	1 _{лиц 2} • 2 _{лиц 1} • лиц ₂₁	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений.

[1] Правильные многогранники, стр.13

[2] Многогранники Пьеро делла Франческа

[3] Эдмон Бонан, "Polyèdres Eastbourne 1993", Stéréo-Club Français 1993

[4] Доктор Цви Хар'Эль (14 декабря 1949 - 2 февраля 2008) и Международные исследования Жюля Верна - дань уважения

[5] Харель, Цви (1993). «Единое решение для однородных многогранников» (PDF) . Геометрии Дедиката . 47 : 57–110. дои : 10.1007/BF01263494 . Zvi Har'El , программное обеспечение Kaleido , изображения , двойные изображения

[6] Мэдер, RE Равномерные многогранники. Mathematica J. 3, 48-57, 1993. [1]

[7] Мессер, Питер В. (2002). «Выражения в замкнутой форме для однородных многогранников и их двойников» . Дискретная и вычислительная геометрия . 27 (3): 353–375. дои : 10.1007/s00454-001-0078-2 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]