Список однородных многогранников по фигурам вершин

Многогранник
Сорт	Количество и свойства
Платоновые тела	( 5 , выпуклый, правильный)
Архимедовы тела	( 13 , выпуклый, однородный)
Многогранники Кеплера – Пуансо	( 4 , правильный, невыпуклый)
Однородные многогранники	( 75 , униформа)
Призматоид : призмы , антипризмы и т. д.	( 4 бесконечных однородных класса)
Замощения многогранников	( 11 обычных , в самолете)
Квазиправильные многогранники	( 8 )
Твердые вещества Джонсона	( 92 , выпуклая, неоднородная)
Бипирамиды	( бесконечный )
Пирамиды	( бесконечный )
Звездочки	Звездочки
Полиэдрические соединения	( 5 обычных )
Дельтаэдры	( Дельтаэдры , грани равностороннего треугольника)
Курносые многогранники	( 12 униформ , не зеркальное отображение)
Зоноэдр	( Зоноэдры , грани имеют симметрию 180°)
Двойной многогранник
Самодвойственный многогранник	( бесконечный )
Каталонский солид	( 13 , архимедово двойственное)

существует множество отношений Между однородными многогранниками . Некоторые получаются путем усечения вершин правильного или квазиправильного многогранника.Другие имеют те же вершины и ребра, что и другие многогранники.Группировка ниже демонстрирует некоторые из этих отношений.

Вершинная фигура многогранника

Отношения можно сделать очевидными, исследуя фигуры вершин, полученные путем перечисления граней, прилегающих к каждой вершине (помните, что для однородных многогранников все вершины одинаковы, то есть вершинно-транзитивны ). Например, куб имеетвершина рисунка 4.4.4, то есть три смежные квадратные грани.Возможные лица:

• 3 – равносторонний треугольник
• 4 - квадрат
• 5 – правильный пятиугольник
• 6 – правильный шестигранник
• 8 – правильный восьмиугольник
• 10 – правильный десятиугольник
• 5/2 – пентаграмма
• 8/3 – октаграмма
• 10/3 - декаграмм

Некоторые лица появятся с обратной ориентацией, которая записана здесь как

• -3 — треугольник с обратной ориентацией (часто пишется как 3/2)

Другие проходят через начало координат, которое мы пишем как

• 6* - шестиугольник, проходящий через начало координат

Символ Витгофа связывает многогранник со сферическими треугольниками . Символы Витхоффа пишутсяр|qr, pq|r, pqr| где сферический треугольник имеет углы π/p, π/q, π/r, черта указывает положение вершин относительно треугольника.

Примеры фигур вершин

Джонсон (2000) классифицировал однородные многогранники следующим образом:

1. Регулярные (правильные многоугольные вершинные фигуры): p ^д , символ Витгофа q|p 2
2. Квазирегулярные (прямоугольные или двуугольные вершинные фигуры): pqpq 2|pq или pqpqpq, символ Витхоффа 3|pq
3. Верси-регулярные (ортодиагональные вершинные фигуры), pq*.-pq*, символ Витхоффа qq|p
4. Усеченные правильные (равнобедренные треугольные вершинные фигуры): ppq, символ Витхоффа q 2|p
5. Верзи-квазирегулярные (диптероидные вершинные фигуры), pqpr Символ Витхоффа qr|p
6. Квазиквазирегулярные (вершинные фигуры трапеции): p*.qp*.-r qr|p или pq*.-pq* pqr|
7. Усеченные квазиправильные (разносторонние треугольные вершинные фигуры), pqr Символ Витхоффа pqr|
8. Курносые квазиправильные (пятиугольные, шестиугольные или восьмиугольные вершинные фигуры), символ Витхоффа pqr|
9. Призмы (усеченные осоэдры),
10. Антипризмы и скрещенные антипризмы (взносые диэдры)

Формат каждого рисунка соответствует одному и тому же основному шаблону.

1. изображение многогранника
2. название многогранника
3. альтернативные названия (в скобках)
4. Символ Витхоффа
5. Системы нумерации: W — число, используемое Веннингером в моделях многогранников , U — равномерная индексация, K — индексация Калейдо, C — нумерация, используемая в Коксетере и др. «Равномерные многогранники».
6. Количество вершин V, ребер E, Граней F и количество граней по типу.
7. Эйлерова характеристика χ = V - E + F

Фигуры вершин расположены слева, за ними следуют группы точек в трех измерениях. Семь оставшихся групп точек : тетраэдрические T _d , октаэдрические _Oh или икосаэдрические I _h .

Усеченные формы

Правильные многогранники и их усеченные формы.

В столбце А перечислены все правильные многогранники.в столбце B перечислены их усеченные формы.Все правильные многогранники имеют вершинные фигуры p ^р : ppp и т. д. и символ Витхоффа р|q р. Усеченные формы имеют вершинную фигуру qqr (где q=2p и r) и Витхоффа pq|r.

вершина фигуры	группа	А: обычный: ппп	B: усеченное обычное: ppr
3.3.3 3.6.6	Т д	Тетраэдр 3|2 3 В1, У01, К06, С15 В 4,Е 6,Ф 4=4{3} х = 2	Усеченный тетраэдр 2 3|3 В6, У02, К07, С16 В 12,Е 18,Ж 8=4{3}+4{6} х = 2
3.3.3.3 4.6.6	Ой ​	Октаэдр 4|2 3, 3 4 W2, U05, K10, C17 В 6,Е 12,Ф 8=8{3} х = 2	Усеченный октаэдр 2 4|3 W7, U08, K13, C20 В 24,Е 36,Ж 14=6{4}+8{6} х = 2
4.4.4 3.8.8	Ой ​	Шестигранник (Куб) 3|2 4 W3, U06, K11, C18 В 8,Е 12,Ф 6=6{4} х = 2	Усеченный шестигранник 2 3|4 W8, U09, К14, С21 В 24,Е 36,Ж 14=8{3}+6{8} х = 2
3.3.3.3.3 5.6.6	I h	Икосаэдр 5|2 3 W4, U22, K27, C25 В 12,Э 30,Ф 20=20{3} х = 2	Усеченный икосаэдр 2 5|3 W9, U25, K30, C27 Э 60,В 90,Ф 32=12{5}+20{6} х = 2
5.5.5 3.10.10	I h	Додекаэдр 3|2 5 W5, U23, K28, C26 В 20,Е 30,Ф 12=12{5} х = 2	Усеченный додекаэдр 2 3|5 W10, U26, K31, C29 В 60,Э 90,Ф 32=20{3}+12{10} х = 2
5.5.5.5.5 5/2.10.10	I h	Большой додекаэдр 5 / 2 |2 5 W21, U35, К40, С44 В 12,Е 30,Ф 12=12{5} х =-6	Усеченный большой додекаэдр 2 5 / 2 |5 W75, U37, К42, С47 В 60,Е 90,Ф 24=12{ 5 / 2 }+12{10} х =-6
3.3.3.3.3 5/2.6.6.	I h	Большой икосаэдр (16-я звездчатка икосаэдра) 5 / 2 |2 3 W41, U53, K58, C69 В 12,Э 30,Ф 20=20{3} х = 2	Большой усеченный икосаэдр 2 5 / 2 |3 В95, У55, К60, С71 В 60,Е 90,Ф 32=12{ 5 / 2 }+20{6} х = 2
5/2.5/2.5/2.5/2.5/2	I h	Малый звездчатый додекаэдр 5|2 5 / 2 W20, U34, K39, C43 В 12,Е 30,Ф 12=12{ 5 / 2 } х =-6
5/2.5/2.5/2	I h	Большой звездчатый додекаэдр 3|2 5 / 2 W22, U52, K57, C68 В 20,Е 30,Ф 12=12{ 5 / 2 } х = 2

Кроме того, существуют три квазиусеченные формы. Они также классифицируются как усеченно-правильные многогранники.

вершинные фигуры	Группа О ч	Группа I ч	Группа I ч
3.8/3.8/3 5.10/3.10/3 3.10/3.10/3	Звездчатый усеченный шестигранник (Квазиусеченный шестигранник) (звездчато-усеченный куб) 2 3| 4 / 3 В92, У19, К24, С66 В 24,Е 36,Ж 14=8{3}+6{ 8 / 3 } х = 2	Малый звездчатый усеченный додекаэдр (Квазиусеченный малый звездчатый додекаэдр) (Маленький звездчато-усеченный додекаэдр) 2 5| 5 / 3 В97, У58, К63 В 60,Э 90,Ф 24=12{5}+12{ 10 / 3 } х =-6	Большой звездчатый усеченный додекаэдр (Квазиусеченный большой звездчатый додекаэдр) (Большой звездчато-усеченный додекаэдр) 2 3| 5 / 3 В104, У66, К71, С83 В 60,Э 90,Ф 32=20{3}+12{ 10 / 3 } х = 2

Усеченные формы квазиправильных многогранников

В столбце A перечислены некоторые квазиправильные многогранники.в столбце B перечислены обычные усеченные формы,в столбце C показаны квазиусеченные формы,в столбце D показан другой метод усечения.Все эти усеченные формы имеют вершинную фигуру pqr иВитхоффсимвол pqr|.

вершина фигуры	группа	A: квазирегулярный: pqpq	B: усеченный квазирегулярный: pqr	C: усеченный квазирегулярный: pqr	D: усеченный квазирегулярный: pqr
3.4.3.4 4.6.8 4.6.8/3 8.6.8/3	Ой ​	Кубооктаэдр 2|3 4 W11, U07, K12, C19 В 12,Е 24,Ж 14=8{3}+6{4} х = 2	Усеченный кубооктаэдр (Большой ромбокубооктаэдр) 2 3 4| W15, U11, K16, C23 В 48,Е 72,Ж 26=12{4}+8{6}+6{8} х = 2	Большой усеченный кубооктаэдр (Квазиусечённый кубооктаэдр) 2 3 4 / 3 | В93, У20, К25, С67 В 48,Е 72,Ж 26=12{4}+8{6}+6{ 8 / 3 } х = 2	Кубиусеченный кубооктаэдр (Кубоктаусеченный кубооктаэдр) 3 4 4 / 3 | W79, U16, K21, C52 В 48,Э 72,Ф 20=8{6}+6{8}+6{ 8 / 3 } х =-4
3.5.3.5 4.6.10 4.6.10/3 10.6.10/3	I h	Икосододекаэдр 2|3 5 W12, U24, K29, C28 В 30,Э 60,Ф 32=20{3}+12{5} х = 2	Усеченный икосододекаэдр (Большой ромбокосододекаэдр) 2 3 5| W16, U28, K33, C31 В 120,Э 180,Ф 62=30{4}+20{6}+12{10} х = 2	Большой усеченный икосододекаэдр (Большой квазиусеченный икосододекаэдр) 2 3 5 / 3 | В108, У68, К73, С87 В 120,Э 180,Ф 62=30{4}+20{6}+12{ 10 / 3 } х = 2	Икосусеченный додекадодекаэдр (Икосидодекаусеченный икосододекаэдр) 3 5 5 / 3 | В84, У45, К50, С57 В 120,Э 180,Ф 44=20{6}+12{10}+12{ 10 / 3 } х =-16
5/2.5.5/2.5 4.10.10/3	I h	Додекадодекаэдр 2 5| 5 / 2 В73, У36, К41, С45 В 30,Е 60,Ф 24=12{5}+12{ 5 / 2 } х =-6		Усеченный додекадодекаэдр (Квазиусеченный додекаэдр) 2 5 5 / 3 | В98, У59, К64, С75 В 120,Э 180,Ф 54=30{4}+12{10}+12{ 10 / 3 } х =-6
3.5/2.3.5/2	I h	Большой икосододекаэдр 2 3| 5 / 2 В94, У54, К59, С70 В 30,Е 60,Ф 32=20{3}+12{ 5 / 2 } х = 2

Многогранники, имеющие общие ребра и вершины

Обычный

Все они упоминаются в других местах, но эта таблица показывает некоторые взаимосвязи.Все они правильные, за исключением тетрагемигексаэдра, который является верзи-правильным.

вершина фигуры	V	И	группа	обычный	обычная/обычная версия
3.3.3.3 3.4*.-3.4*	6	12	Ой ​	Октаэдр 4|2 3 W2, U05, K10, C17 Ф 8=8{3} х = 2	Тетрагемишестиэдр 3 / 2 3|2 В67, У04, К09, С36 Ф 7=4{3}+3{4} х =1
3.3.3.3.3 5.5.5.5.5	12	30	I h	Икосаэдр 5|2 3 П4, U22, К27 Ф 20=20{3} х = 2	Большой додекаэдр 5 / 2 |2 5 W21, U35, К40, С44 Ф 12=12{5} х =-6
5/2.5/2.5/2.5/2.5/2 3.3.3.3.3	12	30	I h	Малый звездчатый додекаэдр 5|2 5 / 2 W20, U34, K39, C43 Ф 12=12{ 5 / 2 } х =-6	Большой икосаэдр (16-я звездчатка икосаэдра) 5 / 2 |2 3 W41, U53, K58, C69 Ф 20=20{3} х = 2

Квазирегулярные и регулярные по версиям

Прямоугольные вершинные фигуры или скрещенные прямоугольники.первый столбец — квазиправильные, второй и третий столбцы — полуэдры сграни, проходящие через начало координат, называют верзи-регулярными некоторые авторы .

вершина фигуры	V	И	группа	квазирегулярный: pqpq	обычная версия: ps*.-ps*	верзи-регулярный: qs*.-qs*
3.4.3.4 3.6*.-3.6* 4.6*.-4.6*	12	24	Ой ​	Кубооктаэдр 2|3 4 W11, U07, K12, C19 Ф 14=8{3}+6{4} х = 2	Октагемиоктаэдр 3 / 2 3|3 В68, У03, К08, С37 Ф 12=8{3}+4{6} х = 0	Кубогемиоктаэдр 4 / 3 4|3 W78, U15, К20, С51 Ф 10=6{4}+4{6} х =-2
3.5.3.5 3.10*.-3.10* 5.10*.-5.10*	30	60	I h	Икосододекаэдр 2|3 5 W12, U24, K29, C28 Ф 32=20{3}+12{5} х = 2	Малый икосихемидодекаэдр 3 / 2 3|5 W89, U49, K54, C63 Ф 26=20{3}+6{10} х =-4	Малый додекахемидодекаэдр 5 / 4 5|5 Ж91, У51, К56, 65 Ф 18=12{5}+6{10} х =-12
3.5/2.3.5/2 3.10*.-3.10* 5/2.10*.-5/2.10*	30	60	Ih	Большой икосододекаэдр 2| 5 / 2 3 В94, У54, К59, С70 Ф 32=20{3}+12{ 5 / 2 } х = 2	Большой икосихемидодекаэдр 3 3| 5 / 3 В106, У71, К76, С85 Ф 26=20{3}+6{ 10 / 3 } х =-4	Большой додекахемидодекаэдр 5 / 3 5 / 2 | 5 / 3 В107, У70, К75, С86 Ф 18=12{ 5 / 2 }+6{ 10 / 3 } х =-12
5.5/2.5.5/2 5.6*.-5.6* 5/2.6*.-5/2.6*	30	60	Ih	Додекадодекаэдр 2| 5 / 2 5 В73, У36, К41, С45 Ф 24=12{5}+12{ 5 / 2 } х =-6	Большой додекагемикосаэдр 5 / 4 5|3 В102, У65, К70, С81 Ф 22=12{5}+10{6} х =-8	Малый додекагемикосаэдр 5 / 3 5 / 2 |3 В100, У62, К67, С78 Ф 22=12{ 5 / 2 }+10{6} х =-8

Дитригональная обычная и обычная версия

Дитригональные (то есть ди(2)-три(3)-огональные) вершинные фигуры являются 3-кратным аналогом прямоугольника. Все они квазирегулярны, поскольку все ребра изоморфны.Соединение пятикубов имеет один и тот же набор ребер и вершин.Крестовые формы имеют неориентируемую фигуру вершины, поэтому обозначение «-» не использовалось, а грани «*» проходят рядом, а не через начало координат.

вершина фигуры	V	И	группа	двуугольный	перекрестно-дитригональный	перекрестно-дитригональный
5/2.3.5/2.3.5/2.3 5/2.5*.5/2.5*.5/2.5* 3.5*.3.5*.3.5*	20	60	Ih	Малый дитригональный икосододекаэдр 3| 5 / 2 3 В70, У30, К35, С39 Ф 32=20{3}+12{ 5 / 2 } х =-8	Дитригональный додекадодекаэдр 3| 5 / 3 5 В80, У41, К46, С53 Ф 24=12{5}+12{ 5 / 2 } х =-16	Большой дитригональный икосододекаэдр 3 / 2 |3 5 В87, У47, К52, С61 Ф 32=20{3}+12{5} х =-8

квазирегулярные и квазиквазирегулярные версии

Группа III: вершинные фигуры трапеции или скрещенной трапеции.В первый столбец входят выпуклые ромбические многогранники, созданные вставкой двух квадратов.в вершинные фигуры кубооктаэдра и икосододекаэдра.

вершина фигуры	V	И	группа	трапеция: pqrq	перекрещенная трапеция: ps*.-rs*	перекрещенная трапеция: qs*.-qs*
3.4.4.4 3.8*.-4.8* 4.8*.-4.8*	24	48	Ой ​	Малый ромбокубооктаэдр (ромбокубооктаэдр) 3 4|2 W13, U10, K15, C22 Ф 26=8{3}+(6+12){4} х = 2	Малый кубический октаэдр 3 / 2 4|4 W69, U13, К18, С38 Ф 20=8{3}+6{4}+6{8} х =-4	Малый ромбошестигранник 2 3 / 2 4| В86, У18, К23, С60 Ф 18=12{4}+6{8} х =-6
3.8/3.4.8/3 3.4*.-4.4* 8/3.4*.-8/3.4*	24	48	Ой	Большой кубический октаэдр 3 4| 4 / 3 W77, U14, K19, C50 Ф 20=8{3}+6{4}+6{ 8 / 3 } х =-4	Невыпуклый большой ромбокубооктаэдр (Квазиромбокубооктаэдр) 3 / 2 4|2 W85, U17, K22, C59 Ф 26=8{3}+(6+12){4} х = 2	Большой ромбогексаэдр 2 4 / 3 3 / 2 | В103, У21, К26, С82 Ф 18=12{4}+6{ 8 / 3 } х =-6
3.4.5.4 3.10*.-5.10* 4.10*.-4.10*	60	120	I h	Малый ромбокосододекаэдр (ромбикосидодекаэдр) 3 5|2 W14, U27, K32, C30 Ф 62=20{3}+30{4}+12{5} х = 2	Малый додецикосододекаэдр 3 / 2 5|5 В72, У33, К38, С42 Ф 44=20{3}+12{5}+12{10} х =-16	Малый ромбидодекаэдр 2 5 / 2 5| W74, U39, К44, С46 Ф 42=30{4}+12{10} х =-18
5/2.4.5.4 5/2.6*.-5.6* 4.6*.-4.6*	60	120	Ih	Ромбододекадодекаэдр 5 / 2 5|2 W76, U38, К43, С48 Ф 54=30{4}+12{5}+12{ 5 / 2 } х =-6	Икосидодекадодекаэдр 5 / 3 5|3 W83, U44, K49, C56 Ф 44=12{5}+12{ 5 / 2 }+20{6} х =-16	Ромбикосаэдр 2 3 5 / 2 | В96, У56, К61, С72 Ф 50=30{4}+20{6} х =-10
3.10/3.5/2.10/3 3.4*.-5/2.4* 10/3.4*.-10/3.4*	60	120	Ih	Большой додецикосододекаэдр 5 / 2 3| 5 / 3 В99, У61, К66, С77 Ф 44=20{3}+12{ 5 / 2 }+12{ 10 / 3 } х =-16	Невыпуклый большой ромбокосододекаэдр (Квазиромбикосидодекаэдр) 5 / 3 3|2 В105, У67, К72, С84 Ф 62=20{3}+30{4}+12{ 5 / 2 } х = 2	Большой ромбидодекаэдр 2 3 / 2 5 / 3 | В109, У73, К78, С89 Ф 42=30{4}+12{ 10 / 3 } х =-18
3.6.5/2.6 3.10*.-5/2.10* 6.10*.-6.10*	60	120	Ih	Малый икосикосододекаэдр 5 / 2 3|3 В71, У31, К36, С40 Ф 52=20{3}+12{ 5 / 2 }+20{6} х =-8	Малый дитригональный додецикосододекаэдр 5 / 3 3|5 В82, У43, К48, С55 Ф 44=20{3}+12{ 5 / 2 }+12{10} х =-16	Малый додетикосаэдр 3 3 / 2 5| В90, У50, К55, С64 Ф 32=20{6}+12{10} х =-28
3.10/3.5.10/3 3.6*.-5.6* 10/3.6*.-10/3.6*	60	120	Ih	Большой дитригональный додецикосододекаэдр 3 5| 5 / 3 В81, У42, К47, С54 Ф 44=20{3}+12{5}+12{ 10 / 3 } х =-16	Большой икосикосододекаэдр 3 / 2 5|3 В88, У48, К53, С62 Ф 52=20{3}+12{5}+20{6} х =-8	Большой додекикосаэдр 3 5 / 3 5 / 2 | В101, У63, К68, С79 Ф 32=20{6}+12{ 10 / 3 } х =-28