Малый кубический октаэдр
| Малый кубический октаэдр | |
|---|---|
 | |
| Тип | Однородный звездчатый многогранник |
| Элементы | Ф = 20, Е = 48 V = 24 (χ = −4) |
| Лица по сторонам | 8{3}+6{4}+6{8} |
| Диаграмма Кокстера |     |
| Символ Витхоффа | 3/2 4 | 4 3 4/3 | 4 |
| Группа симметрии | О ч , [4,3], *432 |
| Ссылки на индексы | Ю 13 , Ц 38 , Ж 69 |
| Двойной многогранник | Малый шестигранный икоситетраэдр |
| Вершинная фигура |  4.8.3/2.8 |
| Аббревиатура Бауэрса | Носок |
В геометрии малый кубооктаэдр представляет собой однородный звездчатый многогранник , имеющий индекс U 13 . У него 20 граней (8 треугольников , 6 квадратов и 6 восьмиугольников ), 48 ребер и 24 вершины. [1] Его вершинная фигура представляет собой перекрещенный четырехугольник .
Малый кубооктаэдр огранкой ромбокубооктаэдра является . Его квадратные и восьмиугольные грани параллельны граням куба , а треугольные грани параллельны граням октаэдра : отсюда и название кубооктаэдра . Малый , который суффикс служит для отличия его от большого кубооктаэдра также имеет грани в вышеупомянутых направлениях. [2]
Связанные многогранники
[ редактировать ]Он разделяет расположение вершин со звездчатым усеченным шестигранником . Кроме того, он имеет общее расположение ребер с ромбокубооктаэдром (имеющим общие треугольные грани и 6 квадратных граней) и с маленьким ромбогексаэдром (имеющим общие восьмиугольные грани).
 Ромбокубооктаэдр |  Малый кубический октаэдр |  Малый ромбошестигранник |  Звездчатый усеченный шестигранник |
Связанные мозаики
[ редактировать ]
(В этой мозаике желтый и красный поменялись местами по сравнению с многогранником.)
Как следует из характеристики Эйлера, малый кубооктаэдр представляет собой тороидальный многогранник рода 3 (топологически это поверхность рода 3) и, таким образом, может быть интерпретирован как (многогранное) погружение многогранной поверхности рода 3 в дополнение к ее 24 вершины в 3-мерном пространстве. (Окрестность любой вершины топологически является конусом восьмерки, что не может произойти при погружении. Обратите внимание, что ссылка Рихтера не учитывает этот факт.) Лежащий в основе многогранник (игнорируя самопересечения) определяет равномерное замощение этой поверхности, и поэтому малый кубооктаэдр является однородным многогранником. На языке абстрактных многогранников малый кубооктаэдр является точной реализацией этого абстрактного тороидального многогранника, что означает, что это невырожденный многогранник и что они имеют одну и ту же группу симметрии. Фактически, каждый автоморфизм абстрактной поверхности рода 3 с этим разбиением реализуется изометрией евклидова пространства.
Поверхности более высокого рода (род 2 или выше) допускают метрику отрицательной постоянной кривизны (по теореме униформизации ), а универсальным накрытием полученной римановой поверхности является гиперболическая плоскость . Соответствующее замощение гиперболической плоскости имеет вершинную фигуру 3.8.4.8 (треугольник, восьмиугольник, квадрат, восьмиугольник). Если поверхности задана соответствующая метрика кривизны = -1, карта покрытия является локальной изометрией , и, следовательно, абстрактная вершинная фигура такая же. Это разбиение можно обозначить символом Витхоффа 3 4 | 4 и изображен справа.
Альтернативно и более тонко, разбив каждую квадратную грань на 2 треугольника и каждую восьмиугольную грань на 6 треугольников, маленький кубооктаэдр можно интерпретировать как неправильную раскраску комбинаторно правильной (а не просто однородной ) мозаики поверхности рода 3 с помощью 56 равносторонних треугольников, сходящихся в 24 вершинах, каждый степени 7. [3] Это регулярное замощение важно, поскольку оно является замощением квартики Клейна , поверхности рода 3 с наиболее симметричной метрикой (автоморфизмы этого замощения равны изометриям поверхности), а сохраняющая ориентацию группа автоморфизмов этой поверхности изоморфна проективная специальная линейная группа PSL(2,7), что эквивалентно GL(3,2) (группа порядка 168 всех изометрий, сохраняющих ориентацию). Обратите внимание, что малый кубооктаэдр не является реализацией этого абстрактного многогранника, поскольку он имеет только 24 симметрии, сохраняющие ориентацию (не каждый абстрактный автоморфизм реализуется с помощью евклидовой изометрии) - изометрии малого кубооктаэдра сохраняют не только треугольное замощение, но и также раскраску и, следовательно, являются собственной подгруппой полной группы изометрий.
Соответствующее замощение гиперболической плоскости (универсальное накрытие) представляет собой треугольное замощение 7-го порядка . Группу автоморфизмов квартики Клейна можно дополнить (с помощью симметрии, которая не реализуется симметрией многогранника, а именно «заменой двух концов ребер, делящих пополам квадраты и октаэдры»), чтобы получить группу Матье М 24 . [4]
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Медер, Роман. «13: малый кубический октаэдр» . МатКонсалт
- ^ Уэбб, Роберт. «Малый Кубикубооктаэдр» . Стелла: Навигатор многогранников .
- ^ Перейти обратно: а б ( Рихтер ) Обратите внимание, что каждая грань в многограннике состоит из нескольких граней в мозаике, отсюда и описание «раскраски» — две треугольные грани составляют квадратную грань и так далее, как показано на этом поясняющем изображении .
- ^ ( Рихтер )
- Рихтер, Дэвид А., Как сделать группу Матье M 24 , получено 15 апреля 2010 г.
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Вайсштейн, Эрик В. , « Маленький кубооктаэдр » (« Однородный многогранник ») в MathWorld .