Список однородных многогранников

В геометрии однородный многогранник — это многогранник , который имеет правильные многоугольники в качестве граней и является вершинно-транзитивным ( транзитивным по своим вершинам , изогональным, т. е. существует изометрия, отображающая любую вершину на любую другую). Отсюда следует, что все вершины конгруэнтны , а многогранник обладает высокой степенью отражательной и вращательной симметрии .

Однородные многогранники можно разделить на выпуклые формы с выпуклыми правильными многоугольными гранями и звездчатые формы. Звездчатые формы имеют либо правильные звездчатого многоугольника грани , либо фигуры вершин , либо и то, и другое.

В этот список входят:

• все 75 непризматических однородных многогранников ;
• несколько представителей бесконечного множества призм и антипризм ;
• один вырожденный многогранник, фигура Скиллинга с перекрывающимися ребрами.

было доказано В Сопове (1970) , что существует только 75 однородных многогранников, кроме бесконечных семейств призм и антипризм . Джон Скиллинг обнаружил упущенный из виду вырожденный пример, ослабив условие, согласно которому на ребре могут встретиться только две грани. Это не однородный многогранник, а вырожденный однородный многогранник, поскольку некоторые пары ребер совпадают.

Не включены:

• Однородные многогранники .
• 40 потенциальных однородных многогранников с вырожденными фигурами вершин , имеющими перекрывающиеся ребра (не учитываемые Коксетером );
• Однородные мозаики (бесконечные многогранники)
  • 11 евклидовы выпуклые однородные мозаики ;
  • 28 Евклидовы невыпуклые или апейрогональные однородные мозаики ;
  • Бесконечное число однородных мозаик в гиперболической плоскости .
• Любые многоугольники или 4-многогранники

Индексирование

Обычно используются четыре схемы нумерации однородных многогранников, отличающиеся буквами:

• [ C ] Coxeter et al., 1954, показали выпуклые формы в виде рисунков с 15 по 32; три призматические формы, цифры 33–35; и невыпуклые формы — рисунки 36–92.
• [ W ] Веннингер, 1974, имеет 119 фигур: 1–5 для платоновых тел, 6–18 для архимедовых тел, 19–66 для звездчатых форм, включая 4 правильных невыпуклых многогранника, и заканчивается 67–119 для невыпуклой однородной формы. многогранники.
• [ K ] Kaleido, 1993: 80 фигур были сгруппированы по симметрии: 1–5 как представители бесконечных семейств призматических форм с двугранной симметрией , 6–9 с тетраэдрической симметрией , 10–26 с октаэдрической симметрией , 27–80 с икосаэдрической симметрией. симметрия .
• [ U ] Mathematica, 1993 следует серии Калейдо, в которой 5 призматических форм перенесены на последнее место, так что непризматические формы становятся 1–75.

Названия многогранников по числу сторон

существуют общие геометрические Для наиболее распространенных многогранников названия . Пять платоновых тел называются тетраэдром , шестигранником , октаэдром , додекаэдром и икосаэдром с 4, 6, 8, 12 и 20 сторонами соответственно. Правильный шестигранник является кубом .

Таблица многогранников

Выпуклые формы перечислены в порядке степени конфигурации вершин, начиная с 3 граней на вершину и выше, а также в порядке возрастания сторон на каждую грань. Такое упорядочение позволяет показать топологическое сходство.

Существует бесконечно много призм и антипризм, по одной на каждый правильный многоугольник; перечислены до 12-угольных случаев.

Выпуклые однородные многогранники

Имя	Картина	Вертекс тип	Витхофф символ	Сим.	С#	В#	В#	К#	Зеленый.	Края	Лица	Лица по типам
Тетраэдр		3.3.3	3 | 2 3	Т д	С15	W001	U01	К06	4	6	4	4{3}
Треугольная призма		3.4.4	2 3 | 2	Д 3 часа	С33а	—	U76a	К01а	6	9	5	2{3} +3{4}
Усеченный тетраэдр		3.6.6	2 3 | 3	Т д	С16	W006	U02	К07	12	18	8	4{3} +4{6}
Усеченный куб		3.8.8	2 3 | 4	Ой ​	С21	W008	U09	К14	24	36	14	8{3} +6{8}
Усеченный додекаэдр		3.10.10	2 3 | 5	I h	С29	W010	U26	К31	60	90	32	20{3} +12{10}
Куб		4.4.4	3 | 2 4	Ой ​	С18	W003	U06	К11	8	12	6	6{4}
Пятиугольная призма		4.4.5	2 5 | 2	Д 5ч	C33b	—	U76b	К01б	10	15	7	5{4} +2{5}
Шестиугольная призма		4.4.6	2 6 | 2	Д 6ч	C33c	—	U76c	К01с	12	18	8	6{4} +2{6}
Семиугольная призма		4.4.7	2 7 | 2	Д 7ч.	C33d	—	U76d	К01д	14	21	9	7{4} +2{7}
Восьмиугольная призма		4.4.8	2 8 | 2	Д 8ч.	C33e	—	U76e	К01е	16	24	10	8{4} +2{8}
Эннеагональная призма		4.4.9	2 9 | 2	Д 9ч.	C33f	—	U76f	К01ф	18	27	11	9{4} +2{9}
Десятиугольная призма		4.4.10	2 10 | 2	Д 10ч.	C33g	—	U76g	К01г	20	30	12	10{4} +2{10}
Шестнадцатиугольная призма		4.4.11	2 11 | 2	Д 11ч.	C33h	—	u76h	K01h	22	33	13	11{4} +2{11}
Додекагональная призма		4.4.12	2 12 | 2	Д 12ч.	C33i	—	U76i	К01и	24	36	14	12{4} +2{12}
Усеченный октаэдр		4.6.6	2 4 | 3	Ой ​	С20	W007	U08	К13	24	36	14	6{4} +8{6}
Усеченный кубооктаэдр		4.6.8	2 3 4 |	Ой ​	С23	W015	U11	К16	48	72	26	12{4} +8{6} +6{8}
Усеченный икосододекаэдр		4.6.10	2 3 5 |	I h	С31	W016	U28	К33	120	180	62	30{4} +20{6} +12{10}
Додекаэдр		5.5.5	3 | 2 5	I h	С26	W005	U23	К28	20	30	12	12{5}
Усеченный икосаэдр		5.6.6	2 5 | 3	I h	С27	W009	U25	К30	60	90	32	12{5} +20{6}
Октаэдр		3.3.3.3	4 | 2 3	Ой ​	С17	W002	U05	К10	6	12	8	8{3}
Квадратная антипризма		3.3.3.4	| 2 2 4	Д 4д	С34а	—	U77a	К02а	8	16	10	8{3} +2{4}
Пятиугольная антипризма		3.3.3.5	| 2 2 5	Д 5д	C34b	—	U77b	К02б	10	20	12	10{3} +2{5}
Шестиугольная антипризма		3.3.3.6	| 2 2 6	Д 6д	C34c	—	U77c	К02с	12	24	14	12{3} +2{6}
Семиугольная антипризма		3.3.3.7	| 2 2 7	Д 7д	C34d	—	U77d	К02д	14	28	16	14{3} +2{7}
Восьмиугольная антипризма		3.3.3.8	| 2 2 8	DD8d	с34е	—	U77e	К02е	16	32	18	16{3} +2{8}
Эннеагональная антипризма		3.3.3.9	| 2 2 9	Д 9д	C34f	—	U77f	К02ф	18	36	20	18{3} +2{9}
Декагональная антипризма		3.3.3.10	| 2 2 10	Д 10д	C34g	—	U77g	К02г	20	40	22	20{3} +2{10}
Гендекагональная антипризма		3.3.3.11	| 2 2 11	Д 11д	C34h	—	U77h	K02h	22	44	24	22{3} +2{11}
Додекагональная антипризма		3.3.3.12	| 2 2 12	Д 12 место	C34i	—	U77i	К02и	24	48	26	24{3} +2{12}
Кубооктаэдр		3.4.3.4	2 | 3 4	Ой ​	С19	W011	U07	К12	12	24	14	8{3} +6{4}
Ромбокубооктаэдр		3.4.4.4	3 4 | 2	Ой ​	С22	W013	U10	Вопрос 15	24	48	26	8{3} +(6+12){4}
Ромбикосидодекаэдр		3.4.5.4	3 5 | 2	I h	С30	W014	U27	К32	60	120	62	20{3} +30{4} +12{5}
Икосододекаэдр		3.5.3.5	2 | 3 5	I h	С28	W012	U24	К29	30	60	32	20{3} +12{5}
Икосаэдр		3.3.3.3.3	5 | 2 3	I h	С25	W004	U22	К27	12	30	20	20{3}
Курносый куб		3.3.3.3.4	| 2 3 4	ТО	С24	W017	U12	К17	24	60	38	(8+24){3} +6{4}
Курносый додекаэдр		3.3.3.3.5	| 2 3 5	я	С32	W018	U29	К34	60	150	92	(20+60){3} +12{5}

Однородные звездчатые многогранники

Первыми перечислены формы, содержащие только выпуклые грани, а затем формы со звездообразными гранями. Опять-таки существует бесконечно много призм и антипризм; они перечислены здесь вплоть до 8-сторонних.

Однородные многогранники | ⁠ 5 / 2 ⁠ 3 3, | ⁠ 5 / 2 ⁠ ⁠ 3 / 2 ⁠ ⁠ 3 / 2 ⁠ , | ⁠ 5 / 3 ⁠ ⁠ 5 / 2 ⁠ 3, | ⁠ 3 / 2 ⁠ ⁠ 5 / 3 ⁠ 3 ⁠ 5/2 ​ ⁠ и | ( ⁠ 3 / 2 ⁠ ) ⁠ 5 / 3 ⁠ (3) ⁠ 5 / 2 ⁠ имеет некоторые грани, встречающиеся в виде компланарных пар. (Коксетер и др., 1954, стр. 423, 425, 426; Скиллинг, 1975, стр. 123)

Имя	Изображение	Восемь сим	Зеленый. инжир	Сим.	С#	В#	В#	К#	Зеленый.	Края	Лица	Тратить	Восток- способный?	Его.	Лица по типам
Октагемиоктаэдр		⁠ 3 / 2 ⁠ 3 | 3	6. ⁠ 3 / 2 ⁠ .6.3	Ой ​	С37	W068	U03	К08	12	24	12	0	Да		8{3}+4{6}
Тетрагемишестиэдр		⁠ 3 / 2 ⁠ 3 | 2	4. ⁠ 3 / 2 ⁠ .4.3	Т д	С36	W067	U04	К09	6	12	7	1	Нет		4{3}+3{4}
Кубогемиоктаэдр		⁠ 4 / 3 ⁠ 4 | 3	6. ⁠ 4 / 3 ⁠ .6.4	Ой ​	С51	W078	U15	К20	12	24	10	−2	Нет		6{4}+4{6}
Большой додекаэдр		⁠ 5 / 2 ⁠ | 2 5	(5.5.5.5.5)/2	I h	С44	W021	U35	К40	12	30	12	−6	Да	3	12{5}
Большой икосаэдр		⁠ 5 / 2 ⁠ | 2 3	(3.3.3.3.3)/2	I h	С69	W041	U53	К58	12	30	20	2	Да	7	20{3}
Большой двуугольный икосододекаэдр		⁠ 3 / 2 ⁠ | 3 5	(5.3.5.3.5.3)/2	I h	С61	W087	U47	К52	20	60	32	−8	Да	6	20{3}+12{5}
Маленький ромбишестиэдр		2 4 ( ⁠ 3 / 2 ⁠ ⁠ 4 / 2 ⁠ ) |	4.8. ⁠ 4 / 3 ⁠ . ⁠ 8 / 7 ⁠	Ой ​	С60	W086	U18	К23	24	48	18	−6	Нет		12{4}+6{8}
Маленький кубический октаэдр		⁠ 3 / 2 ⁠ 4 | 4	8. ⁠ 3 / 2 ⁠ .8.4	Ой ​	С38	W069	U13	К18	24	48	20	−4	Да	2	8{3}+6{4}+6{8}
Большой ромбокубооктаэдр		⁠ 3 / 2 ⁠ 4 | 2	4. ⁠ 3 / 2 ⁠ .4.4	Ой ​	С59	W085	U17	К22	24	48	26	2	Да	5	8{3}+(6+12){4}
Малый додекахеми- додекаэдр		⁠ 5 / 4 ⁠ 5 | 5	10. ⁠ 5 / 4 ⁠ .10.5	I h	С65	W091	U51	К56	30	60	18	−12	Нет		12{5}+6{10}
Великий додекагем- икосаэдр		⁠ 5 / 4 ⁠ 5 | 3	6. ⁠ 5 / 4 ⁠ .6.5	I h	С81	W102	U65	К70	30	60	22	−8	Нет		12{5}+10{6}
Небольшая икосихемия- додекаэдр		⁠ 3 / 2 ⁠ 3 | 5	10. ⁠ 3 / 2 ⁠ .10.3	I h	С63	W089	U49	К54	30	60	26	−4	Нет		20{3}+6{10}
Маленький додекикосаэдр		3 5 ( ⁠ 3 / 2 ⁠ ⁠ 5 / 4 ⁠ ) |	10.6. ⁠ 10 / 9 ⁠ . ⁠ 6 / 5 ⁠	I h	С64	W090	U50	К55	60	120	32	−28	Нет		20{6}+12{10}
Маленький ромбидодекаэдр		2 5 ( ⁠ 3 / 2 ⁠ ⁠ 5 / 2 ⁠ ) |	10.4. ⁠ 10 / 9 ⁠ . ⁠ 4 / 3 ⁠	I h	С46	W074	U39	К44	60	120	42	−18	Нет		30{4}+12{10}
Малый додецикоз- додекаэдр		⁠ 3 / 2 ⁠ 5 | 5	10. ⁠ 3 / 2 ⁠ .10.5	I h	С42	W072	U33	К38	60	120	44	−16	Да	2	20{3}+12{5}+12{10}
Ромбикосаэдр		2 3 ( ⁠ 5 / 4 ⁠ ⁠ 5 / 2 ⁠ ) |	6.4. ⁠ 6 / 5 ⁠ . ⁠ 4 / 3 ⁠	I h	С72	W096	U56	К61	60	120	50	−10	Нет		30{4}+20{6}
Большой икозикоз- додекаэдр		⁠ 3 / 2 ⁠ 5 | 3	6. ⁠ 3 / 2 ⁠ .6.5	I h	С62	W088	U48	К53	60	120	52	−8	Да	6	20{3}+12{5}+20{6}
Пентаграмматический призма		2 ⁠ 5 / 2 ⁠ | 2	⁠ 5 / 2 ⁠ .4.4	Д 5ч	C33b	—	U78a	К03а	10	15	7	2	Да	2	5{4}+2{ ⁠ 5 / 2 ⁠ }
гептаграмматический призма (7/2)		2 ⁠ 7 / 2 ⁠ | 2	⁠ 7 / 2 ⁠ .4.4	Д 7ч.	C33d	—	U78b	К03б	14	21	9	2	Да	2	7{4}+2{ ⁠ 7 / 2 ⁠ }
гептаграмматический призма (7/3)		2 ⁠ 7 / 3 ⁠ | 2	⁠ 7 / 3 ⁠ .4.4	Д 7ч.	C33d	—	U78c	К03с	14	21	9	2	Да	3	7{4}+2{ ⁠ 7 / 3 ⁠ }
Октаграмматический призма		2 ⁠ 8 / 3 ⁠ | 2	⁠ 8 / 3 ⁠ .4.4	Д 8ч.	C33e	—	U78d	К03д	16	24	10	2	Да	3	8{4}+2{ ⁠ 8 / 3 ⁠ }
Пентаграмматическая антипризма		| 2 2 ⁠ 5 / 2 ⁠	⁠ 5 / 2 ⁠ .3.3.3	Д 5ч	C34b	—	U79a	К04а	10	20	12	2	Да	2	10{3}+2{ ⁠ 5 / 2 ⁠ }
Пентаграмматический скрещенная антипризма		| 2 2 ⁠ 5 / 3 ⁠	⁠ 5 / 3 ⁠ .3.3.3	Д 5д	С35а	—	U80a	К05а	10	20	12	2	Да	3	10{3}+2{ ⁠ 5 / 2 ⁠ }
гептаграмматический антипризма (7/2)		| 2 2 ⁠ 7 / 2 ⁠	⁠ 7 / 2 ⁠ .3.3.3	Д 7ч.	C34d	—	U79b	К04б	14	28	16	2	Да	3	14{3}+2{ ⁠ 7 / 2 ⁠ }
гептаграмматический антипризма (7/3)		| 2 2 ⁠ 7 / 3 ⁠	⁠ 7 / 3 ⁠ .3.3.3	Д 7д	C34d	—	U79c	К04с	14	28	16	2	Да	3	14{3}+2{ ⁠ 7 / 3 ⁠ }
гептаграмматический скрещенная антипризма		| 2 2 ⁠ 7 / 4 ⁠	⁠ 7 / 4 ⁠ .3.3.3	Д 7ч.	C35b	—	U80b	К05б	14	28	16	2	Да	4	14{3}+2{ ⁠ 7 / 3 ⁠ }
Октаграмматический антипризма		| 2 2 ⁠ 8 / 3 ⁠	⁠ 8 / 3 ⁠ .3.3.3	DD8d	с34е	—	U79d	К04д	16	32	18	2	Да	3	16{3}+2{ ⁠ 8 / 3 ⁠ }
Октаграмматический скрещенная антипризма		| 2 2 ⁠ 8 / 5 ⁠	⁠ 8 / 5 ⁠ .3.3.3	DD8d	C35c	—	U80c	К05с	16	32	18	2	Да	5	16{3}+2{ ⁠ 8 / 3 ⁠ }
Маленький звездчатый додекаэдр		5 | 2 ⁠ 5 / 2 ⁠	( ⁠ 5 / 2 ⁠ ) 5	I h	С43	W020	U34	К39	12	30	12	−6	Да	3	12{ ⁠ 5 / 2 ⁠ }
Большой звездчатый додекаэдр		3 | 2 ⁠ 5 / 2 ⁠	( ⁠ 5 / 2 ⁠ ) 3	I h	С68	W022	U52	К57	20	30	12	2	Да	7	12{ ⁠ 5 / 2 ⁠ }
Дитригональный додека- додекаэдр		3 | ⁠ 5 / 3 ⁠ 5	( ⁠ 5 / 3 ⁠ .5) 3	I h	С53	W080	U41	К46	20	60	24	−16	Да	4	12{5}+12{ ⁠ 5 / 2 ⁠ }
Маленький двуугольный икосододекаэдр		3 | ⁠ 5 / 2 ⁠ 3	( ⁠ 5 / 2 ⁠ .3) 3	I h	С39	W070	U30	К35	20	60	32	−8	Да	2	20{3}+12{ ⁠ 5 / 2 ⁠ }
звездчатый усеченный шестигранник		2 3 | ⁠ 4 / 3 ⁠	⁠ 8 / 3 ⁠ . ⁠ 8 / 3 ⁠ .3	Ой ​	С66	W092	U19	К24	24	36	14	2	Да	7	8{3}+6{ ⁠ 8 / 3 ⁠ }
Большой ромбишестиэдр		2 ⁠ 4 / 3 ⁠ ( ⁠ 3 / 2 ⁠ ⁠ 4 / 2 ⁠ ) |	4. ⁠ 8 / 3 ⁠ . ⁠ 4 / 3 ⁠ . ⁠ 8 / 5 ⁠	Ой ​	С82	W103	U21	К26	24	48	18	−6	Нет		12{4}+6{ ⁠ 8 / 3 ⁠ }
Большой кубический октаэдр		3 4 | ⁠ 4 / 3 ⁠	⁠ 8 / 3 ⁠ .3. ⁠ 8 / 3 ⁠ .4	Ой ​	С50	W077	U14	К19	24	48	20	−4	Да	4	8{3}+6{4}+6{ ⁠ 8 / 3 ⁠ }
Большой додекахеми- додекаэдр		⁠ 5 / 3 ⁠ ⁠ 5 / 2 ⁠ | ⁠ 5 / 3 ⁠	⁠ 10 / 3 ⁠ . ⁠ 5 / 3 ⁠ . ⁠ 10 / 3 ⁠ . ⁠ 5 / 2 ⁠	I h	С86	W107	U70	К75	30	60	18	−12	Нет		12{ ⁠ 5 / 2 ⁠ }+6{ ⁠ 10 / 3 ⁠ }
Малый додекахеми- косаэдр		⁠ 5 / 3 ⁠ ⁠ 5 / 2 ⁠ | 3	6. ⁠ 5 / 3 ⁠ .6. ⁠ 5 / 2 ⁠	I h	С78	W100	U62	К67	30	60	22	−8	Нет		12{ ⁠ 5 / 2 ⁠ }+10{6}
Додека- додекаэдр		2 | 5 ⁠ 5 / 2 ⁠	( ⁠ 5 / 2 ⁠ .5) 2	I h	С45	W073	U36	К41	30	60	24	−6	Да	3	12{5}+12{ ⁠ 5 / 2 ⁠ }
Великая икосихемия- додекаэдр		⁠ 3 / 2 ⁠ 3 | ⁠ 5 / 3 ⁠	⁠ 10 / 3 ⁠ . ⁠ 3 / 2 ⁠ . ⁠ 10 / 3 ⁠ .3	I h	С85	W106	U71	К76	30	60	26	−4	Нет		20{3}+6{ ⁠ 10 / 3 ⁠ }
Большой икосододекаэдр		2 | 3 ⁠ 5 / 2 ⁠	( ⁠ 5 / 2 ⁠ .3) 2	I h	С70	W094	U54	К59	30	60	32	2	Да	7	20{3}+12{ ⁠ 5 / 2 ⁠ }
Кубусеченный кубооктаэдр		⁠ 4 / 3 ⁠ 3 4 |	⁠ 8 / 3 ⁠ .6.8	Ой ​	С52	W079	U16	К21	48	72	20	−4	Да	4	8{6}+6{8}+6{ ⁠ 8 / 3 ⁠ }
Большой усеченный кубооктаэдр		⁠ 4 / 3 ⁠ 2 3 |	⁠ 8 / 3 ⁠ .4. ⁠ 6 / 5 ⁠	Ой ​	С67	W093	U20	К25	48	72	26	2	Да	1	12{4}+8{6}+6{ ⁠ 8 / 3 ⁠ }
Усечено большой додекаэдр		2 ⁠ 5 / 2 ⁠ | 5	10.10. ⁠ 5 / 2 ⁠	I h	С47	W075	U37	К42	60	90	24	−6	Да	3	12{ ⁠ 5 / 2 ⁠ }+12{10}
Маленький звездчатый усеченный додекаэдр		2 5 | ⁠ 5 / 3 ⁠	⁠ 10 / 3 ⁠ . ⁠ 10 / 3 ⁠ .5	I h	С74	W097	U58	К63	60	90	24	−6	Да	9	12{5}+12{ ⁠ 10 / 3 ⁠ }
Большой звездчатый усеченный додекаэдр		2 3 | ⁠ 5 / 3 ⁠	⁠ 10 / 3 ⁠ . ⁠ 10 / 3 ⁠ .3	I h	С83	W104	U66	К71	60	90	32	2	Да	13	20{3}+12{ ⁠ 10 / 3 ⁠ }
Усечено большой икосаэдр		2 ⁠ 5 / 2 ⁠ | 3	6.6. ⁠ 5 / 2 ⁠	I h	С71	W095	U55	К60	60	90	32	2	Да	7	12{ ⁠ 5 / 2 ⁠ }+20{6}
Большой додекикосаэдр		3 ⁠ 5 / 3 ⁠ ( ⁠ 3 / 2 ⁠ ⁠ 5 / 2 ⁠ ) |	6. ⁠ 10 / 3 ⁠ . ⁠ 6 / 5 ⁠ . ⁠ 10 / 7 ⁠	I h	С79	W101	U63	К68	60	120	32	−28	Нет		20{6}+12{ ⁠ 10 / 3 ⁠ }
Большой ромбидодекаэдр		2 ⁠ 5 / 3 ⁠ ( ⁠ 3 / 2 ⁠ ⁠ 5 / 4 ⁠ ) |	4. ⁠ 10 / 3 ⁠ . ⁠ 4 / 3 ⁠ . ⁠ 10 / 7 ⁠	I h	С89	W109	U73	К78	60	120	42	−18	Нет		30{4}+12{ ⁠ 10 / 3 ⁠ }
Икосидодека- додекаэдр		⁠ 5 / 3 ⁠ 5 | 3	6. ⁠ 5 / 3 ⁠ .6.5	I h	С56	W083	U44	К49	60	120	44	−16	Да	4	12{5}+12{ ⁠ 5 / 2 ⁠ }+20{6}
Малый дитригональ додецикоз- додекаэдр		⁠ 5 / 3 ⁠ 3 | 5	10. ⁠ 5 / 3 ⁠ .10.3	I h	С55	W082	U43	К48	60	120	44	−16	Да	4	20{3}+12{ ⁠ 5 / 2 ⁠ }+12{10}
Большой дитригональ додецикоз- додекаэдр		3 5 | ⁠ 5 / 3 ⁠	⁠ 10 / 3 ⁠ .3. ⁠ 10 / 3 ⁠ .5	I h	С54	W081	U42	К47	60	120	44	−16	Да	4	20{3}+12{5}+12{ ⁠ 10 / 3 ⁠ }
Большой додецикоз- додекаэдр		⁠ 5 / 2 ⁠ 3 | ⁠ 5 / 3 ⁠	⁠ 10 / 3 ⁠ . ⁠ 5 / 2 ⁠ . ⁠ 10 / 3 ⁠ .3	I h	С77	W099	U61	К66	60	120	44	−16	Да	10	20{3}+12{ ⁠ 5 / 2 ⁠ }+12{ ⁠ 10 / 3 ⁠ }
Малый икосико- додекаэдр		⁠ 5 / 2 ⁠ 3 | 3	6. ⁠ 5 / 2 ⁠ .6.3	I h	С40	W071	U31	К36	60	120	52	−8	Да	2	20{3}+12{ ⁠ 5 / 2 ⁠ }+20{6}
Ромбидодека- додекаэдр		⁠ 5 / 2 ⁠ 5 | 2	4. ⁠ 5 / 2 ⁠ .4.5	I h	С48	W076	U38	К43	60	120	54	−6	Да	3	30{4}+12{5}+12{ ⁠ 5 / 2 ⁠ }
Большой ромбикозный- додекаэдр		⁠ 5 / 3 ⁠ 3 | 2	4. ⁠ 5 / 3 ⁠ .4.3	I h	С84	W105	U67	К72	60	120	62	2	Да	13	20{3}+30{4}+12{ ⁠ 5 / 2 ⁠ }
Icosiусеченный додека- додекаэдр		3 5 ⁠ 5 / 3 ⁠ |	⁠ 10 / 3 ⁠ .6.10	I h	С57	W084	U45	К50	120	180	44	−16	Да	4	20{6}+12{10}+12{ ⁠ 10 / 3 ⁠ }
Усечено додека- додекаэдр		2 5 ⁠ 5 / 3 ⁠ |	⁠ 10 / 3 ⁠ .4. ⁠ 10 / 9 ⁠	I h	С75	W098	U59	К64	120	180	54	−6	Да	3	30{4}+12{10}+12{ ⁠ 10 / 3 ⁠ }
Большой усеченный икосододекаэдр		2 3 ⁠ 5 / 3 ⁠ |	⁠ 10 / 3 ⁠ .4.6	I h	С87	W108	U68	К73	120	180	62	2	Да	13	30{4}+20{6}+12{ ⁠ 10 / 3 ⁠ }
Курносый додека- додекаэдр		| 2 ⁠ 5 / 2 ⁠ 5	3.3. ⁠ 5 / 2 ⁠ .3.5	я	С49	W111	U40	К45	60	150	84	−6	Да	3	60{3}+12{5}+12{ ⁠ 5 / 2 ⁠ }
Перевернутый курносый додека- додекаэдр		| ⁠ 5 / 3 ⁠ 2 5	3. ⁠ 5 / 3 ⁠ .3.3.5	я	С76	W114	U60	К65	60	150	84	−6	Да	9	60{3}+12{5}+12{ ⁠ 5 / 2 ⁠ }
Большой пренебрегать икосододекаэдр		| 2 ⁠ 5 / 2 ⁠ 3	3 4 . ⁠ 5 / 2 ⁠	я	С73	W113	U57	К62	60	150	92	2	Да	7	(20+60){3}+12{ ⁠ 5 / 2 ⁠ }
Большой перевернутый пренебрегать икосододекаэдр		| ⁠ 5 / 3 ⁠ 2 3	3 4 . ⁠ 5 / 3 ⁠	я	С88	W116	U69	К74	60	150	92	2	Да	13	(20+60){3}+12{ ⁠ 5 / 2 ⁠ }
Большой ретро-курносый икосододекаэдр		| 2 ⁠ 3 / 2 ⁠ ⁠ 5 / 3 ⁠	(3 4 . ⁠ 5 / 2 ⁠ )/2	я	С90	W117	U74	К79	60	150	92	2	Да	37	(20+60){3}+12{ ⁠ 5 / 2 ⁠ }
Большой пренебрегать додецикоз- додекаэдр		| ⁠ 5 / 3 ⁠ ⁠ 5 / 2 ⁠ 3	3 3 . ⁠ 5 / 3 ⁠ .3. ⁠ 5 / 2 ⁠	я	С80	W115	U64	К69	60	180	104	−16	Да	10	(20+60){3}+(12+12){ ⁠ 5 / 2 ⁠ }
пренебрежительный икосидодека- додекаэдр		| ⁠ 5 / 3 ⁠ 3 5	3 3 .5.3. ⁠ 5 / 3 ⁠	я	С58	W112	U46	К51	60	180	104	−16	Да	4	(20+60){3}+12{5}+12{ ⁠ 5 / 2 ⁠ }
Маленький курносый icos- икосододекаэдр		| ⁠ 5 / 2 ⁠ 3 3	3 5 . ⁠ 5 / 2 ⁠	I h	С41	W110	U32	К37	60	180	112	−8	Да	2	(40+60){3}+12{ ⁠ 5 / 2 ⁠ }
Маленький ретроснуб икозикоз- додекаэдр		| ⁠ 3 / 2 ⁠ ⁠ 3 / 2 ⁠ ⁠ 5 / 2 ⁠	(3 5 . ⁠ 5 / 2 ⁠ )/2	I h	С91	W118	U72	К77	60	180	112	−8	Да	38	(40+60){3}+12{ ⁠ 5 / 2 ⁠ }
Большой диромбикози- додекаэдр		| ⁠ 3 / 2 ⁠ ⁠ 5 / 3 ⁠ 3 ⁠ 5 / 2 ⁠	(4. ⁠ 5 / 3 ⁠ .4.3. 4. ⁠ 5 / 2 ⁠ .4. ⁠ 3 / 2 ⁠ )/2	I h	С92	W119	U75	К80	60	240	124	−56	Нет		40{3}+60{4}+24{ ⁠ 5 / 2 ⁠ }

Особый случай

Имя	Изображение	Восемь сим	Зеленый. инжир	Сим.	С#	В#	В#	К#	Зеленый.	Края	Лица	Тратить	Восток- способный?	Его.	Лица по типам
Отличное отрицание диромбидодекаэдр		| ( ⁠ 3 / 2 ⁠ ) ⁠ 5 / 3 ⁠ (3) ⁠ 5 / 2 ⁠	( ⁠ 5 / 2 ⁠ .4.3.3.3.4. ⁠ 5 / 3 ⁠ . 4. ⁠ 3 / 2 ⁠ . ⁠ 3 / 2 ⁠ . ⁠ 3 / 2 ⁠ .4)/2	I h	—	—	—	—	60	360 (*)	204	−96	Нет		120{3}+60{4}+24{ ⁠ 5 / 2 ⁠ }

У большого расплющенного диромбидодекаэдра 240 из 360 рёбер совпадают в пространстве в 120 парах. Из-за этого вырождения по краям он не всегда считается однородным многогранником.

Ключ столбца

• Равномерная индексация: U01–U80 (сначала тетраэдр, призмы 76+)
• Индексация программного обеспечения Калейдо: К01–К80 (К _n = Un _{–5 для} n = от 6 до 80) (призмы 1–5, Тетраэдр и т. д. 6+)
• Модели многогранников Магнуса Веннингера : W001-W119
  • 1–18: 5 выпуклых правильных и 13 выпуклых полуправильных.
  • 20–22, 41:4 невыпуклые обычные
  • 19–66: Особые 48 звездочек/соединений (нерегулярные соединения не указаны в этом списке)
  • 67–109: 43 невыпуклая невзносая форма.
  • 110–119: 10 невыпуклая курносая форма.
• Chi: эйлерова характеристика , χ . Равномерные мозаики на плоскости соответствуют топологии тора с нулевой эйлеровой характеристикой.
• Плотность: Плотность (многогранник) представляет собой количество витков многогранника вокруг его центра. Это поле оставлено пустым для неориентируемых многогранников и полуполиэдров (многогранников, грани которых проходят через их центры), для которых плотность не определена четко.
• Примечание по изображениям фигур вершин:
  • Белые многоугольные линии представляют собой многоугольник «фигура вершины». Цветные грани, включенные в изображения фигур вершин, помогают увидеть их отношения. Некоторые из пересекающихся граней нарисованы визуально неправильно, поскольку они визуально не пересекаются должным образом, чтобы показать, какие части находятся впереди.

См. также

• Список однородных многогранников по фигурам вершин
• Список однородных многогранников по символу Витгофа
• Список однородных многогранников по треугольнику Шварца

Ссылки

• Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд ; Лонге-Хиггинс, MS; Миллер, JCP (1954). «Равномерные многогранники». Философские труды Лондонского королевского общества. Серия А. Математические и физические науки . 246 (916). Королевское общество: 401–450. Бибкод : 1954RSPTA.246..401C . дои : 10.1098/rsta.1954.0003 . ISSN   0080-4614 . JSTOR   91532 . МР   0062446 . S2CID   202575183 .
• Скиллинг, Дж. (1975). «Полное множество однородных многогранников». Философские труды Лондонского королевского общества. Серия А. Математические и физические науки . 278 (1278): 111–135. Бибкод : 1975RSPTA.278..111S . дои : 10.1098/rsta.1975.0022 . ISSN   0080-4614 . JSTOR   74475 . МР   0365333 . S2CID   122634260 .
• Сопов, СП (1970). «Доказательство полноты списка элементарных однородных многогранников». Украинский геометрический сборник (8): 139–156. МР   0326550 .
• Веннингер, Магнус (1974). Модели многогранников . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-09859-9 .
• Веннингер, Магнус (1983). Двойные модели . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-54325-8 .

Внешние ссылки

• Stella: Polyhedron Navigator — программное обеспечение, способное создавать и печатать развертки для всех однородных многогранников. Используется для создания большинства изображений на этой странице.
• Бумажные модели
• Единая индексация: U1-U80, (первый тетраэдр)
  • Равномерные многогранники (80), Пол Бурк
  • Вайсштейн, Эрик В. «Равномерный многогранник» . Математический мир .
  • http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly
    • Все однородные многогранники по группе вращения
  • https://web.archive.org/web/20171110075259/http://gratrix.net/polyhedra/uniform/summary/
  • http://www.it-c.dk/edu/documentation/mathworks/math/math/u/u034.htm
  • http://www.buddenbooks.com/jb/uniform/
• Индексация Калейдо: K1-K80 (сначала пятиугольная призма)
  • https://www.math.technion.ac.il/~rl/kaleido
    • https://web.archive.org/web/20110927223146/http://www.math.technion.ac.il/~rl/docs/uniform.pdf Единообразное решение для однородных многогранников
  • http://bulatov.org/polyhedra/uniform
  • http://www.orchidpalms.com/polyhedra/uniform/uniform.html
• Также
  • http://www.polyedergarten.de/polyhedrix/e_klintro.htm