Усеченный додекадодекаэдр

Усеченный додекадодекаэдр

Тип	Однородный звездчатый многогранник
Элементы	Ф = 54, Е = 180 V = 120 (χ = −6)
Лица по сторонам	30{4}+12{10}+12{10/3}
Диаграмма Кокстера
Символ Витхоффа	2 5 5/3 \|
Группа симметрии	I _h, [5,3], *532
Ссылки на индексы	Ю ₅₉ , С ₇₅ , Ж ₉₈
Двойной многогранник	Медиальный триаконтаэдр дисдиакиса
Вершинная фигура	4.10/9.10/3
Аббревиатура Бауэрса	Вышел

В геометрии ( усеченный додекадодекаэдр или звездчато-усеченный додекадодекаэдр ) представляет собой невыпуклый однородный многогранник , обозначаемый как _U59 . Дан символ Шлефли $t 0,1,2 { .mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}5 ⁄ 3,5 }.$ У него 54 грани (30 квадратов , 12 декагонов и 12 декаграмм ), 180 ребер и 120 вершин. ^[1] Центральная область многогранника соединена с внешней частью 20 небольшими треугольными отверстиями.

Название усеченный додекадодекаэдр несколько вводит в заблуждение: усечение додекадодекаэдра приведет к образованию прямоугольных граней, а не квадратов, а пентаграммные грани додекадодекаэдра превратятся в усеченные пентаграммы, а не декаграммы. Однако это квазиусечение додекадодекаэдра, как это определено Коксетером, Лонге-Хиггинсом и Миллером (1954) . ^[2] По этой причине он также известен как квазиусеченный додекадодекаэдр . ^[3] Коксетер и др. приписывают свое открытие статье австрийского математика Иоганна Питча, опубликованной в 1881 году. ^[4]

Декартовы координаты

Декартовы координаты вершин усеченного додекадодекаэдра — это все тройки чисел, полученные круговыми сдвигами и сменой знака из следующих точек (где $\varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ это золотое сечение ): ${\begin{array}{lcr}{\Bigl (}1,&1,&3{\Bigr )},\\{\Bigl (}{\frac {1}{\varphi }},&{\frac {1}{\varphi ^{2}}},&2\varphi {\Bigr )},\\{\Bigl (}\varphi ,&{\frac {2}{\varphi }},&\varphi ^{2}{\Bigr )},\\{\Bigl (}\varphi ^{2},&{\frac {1}{\varphi ^{2}}},&2{\Bigr )},\\{\Bigl (}{\sqrt {5}},&1,&{\sqrt {5}}{\Bigr )}.\end{array}}$

Каждая из этих пяти точек имеет восемь возможных шаблонов знаков и три возможных круговых смещения, что в общей сложности дает 120 различных точек.

В виде графа Кэли

Усеченный додекадодекаэдр образует граф Кэли для симметричной группы из пяти элементов, сгенерированный двумя членами группы: один меняет местами первые два элемента пятикортежа, а другой выполняет операцию кругового сдвига над последними четырьмя элементами. То есть 120 вершин многогранника можно поставить во взаимно однозначное соответствие 5! перестановки на пяти элементах таким образом, что три соседа каждой вершины представляют собой три перестановки, образованные из нее путем замены первых двух элементов или кругового смещения (в любую сторону) последних четырех элементов. ^[5]

Связанные многогранники

Медиальный триаконтаэдр дисдиакиса

Медиальный триаконтаэдр дисдиакиса

Тип	Звездный многогранник
Лицо
Элементы	Ф = 120, Е = 180 V = 54 (χ = −6)
Группа симметрии	I _h, [5,3], *532
Ссылки на индексы	ДУ ₅₉
двойной многогранник	Усеченный додекадодекаэдр

Медиальный триаконтаэдр Дисдиакиса представляет собой невыпуклый равногранный многогранник . Это двойник однородного . усеченного додекадодекаэдра

См. также

Список однородных многогранников

Ссылки

^ Медер, Роман. «59: усечённый додекадодекаэдр» . МатКонсалт .
^ Коксетер, HSM ; Лонге-Хиггинс, MS ; Миллер, JCP (1954), «Равномерные многогранники», Философские труды Лондонского королевского общества. Серия A. Математические и физические науки , 246 (916): 401–450, Bibcode : 1954RSPTA.246..401C , doi : 10.1098/rsta.1954.0003 , JSTOR 91532 , MR 0062446 . См. особенно описание квазиусечения на стр. 411 и фотография модели его скелета на рис. 114, табл. IV.
↑ Веннингер пишет «квазиусечённый додекаэдр», но это похоже на ошибку. Веннингер, Магнус Дж. (1971), «98 Квазиусеченный додекаэдр», Модели многогранников , Cambridge University Press, стр. 152–153 .
^ Питч, Иоганн (1881), «О полуправильных звездчатых многогранниках», Журнал системы Realschule , 6 : 9–24, 72–89, 216 . Согласно Кокстеру, Лонге-Хиггинсу и Миллеру (1954) , усеченный додекадодекаэдр выглядит как нет.
^ Эппштейн, Дэвид (2009), «Топология несгибаемого трехмерного рисования ортогональных графов», в Толлисе, Иоаннис Г.; Патриньяни, Марицио (ред.), Рисование графиков , Конспекты лекций по информатике, том. 5417, Ираклион, Крит: Springer-Verlag, стр. 78–89, arXiv : 0709.4087 , doi : 10.1007/978-3-642-00219-9_9 , ISBN 978-3-642-00218-2 .

Веннингер, Магнус (1983), Двойные модели , Издательство Кембриджского университета , номер документа : 10.1017/CBO9780511569371 , ISBN 978-0-521-54325-5 , МР 0730208

Внешние ссылки

[1] Медер, Роман. «59: усечённый додекадодекаэдр» . МатКонсалт .

[2] Коксетер, HSM ; Лонге-Хиггинс, MS ; Миллер, JCP (1954), «Равномерные многогранники», Философские труды Лондонского королевского общества. Серия A. Математические и физические науки , 246 (916): 401–450, Bibcode : 1954RSPTA.246..401C , doi : 10.1098/rsta.1954.0003 , JSTOR 91532 , MR 0062446 . См. особенно описание квазиусечения на стр. 411 и фотография модели его скелета на рис. 114, табл. IV.

[3] Веннингер пишет «квазиусечённый додекаэдр», но это похоже на ошибку. Веннингер, Магнус Дж. (1971), «98 Квазиусеченный додекаэдр», Модели многогранников , Cambridge University Press, стр. 152–153 .

[4] Питч, Иоганн (1881), «О полуправильных звездчатых многогранниках», Журнал системы Realschule , 6 : 9–24, 72–89, 216 . Согласно Кокстеру, Лонге-Хиггинсу и Миллеру (1954) , усеченный додекадодекаэдр выглядит как нет.

[5] Эппштейн, Дэвид (2009), «Топология несгибаемого трехмерного рисования ортогональных графов», в Толлисе, Иоаннис Г.; Патриньяни, Марицио (ред.), Рисование графиков , Конспекты лекций по информатике, том. 5417, Ираклион, Крит: Springer-Verlag, стр. 78–89, arXiv : 0709.4087 , doi : 10.1007/978-3-642-00219-9_9 , ISBN 978-3-642-00218-2 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

v т и Звездно-многогранник-навигатор
Кеплер-Пуансо многогранники (невыпуклые правильные многогранники)	маленький звездчатый додекаэдр большой додекаэдр большой звездчатый додекаэдр большой икосаэдр
Равномерные усечения Кеплер-Пуансо многогранники	додекадодекаэдр усеченный большой додекаэдр ромбидодекадодекаэдр усеченный додекадодекаэдр курносый додекадодекаэдр большой икосододекаэдр усеченный большой икосаэдр невыпуклый большой ромбокосододекаэдр большой усеченный икосододекаэдр
Невыпуклая форма полумногогранники	тетраполушестигранник кубогемиоктаэдр октагемиоктаэдр маленький додекахемидодекаэдр маленький икосихемидодекаэдр большой додекахемидодекаэдр большой икосихемидодекаэдр большой додекагемикосаэдр маленький додекагемикосаэдр
Двойники невыпуклого однородные многогранники	медиальный ромбический триаконтаэдр маленький додекаэдр Стеллапентакис медиальный дельтовидный шестиконтаэдр маленький ромбидодекакрон средний пятиугольный шестиконтаэдр медиальный триаконтаэдр дисдиакиса большой ромбический триаконтаэдр Большой додекаэдр Стеллапентакиса большой дельтовидный шестиконтаэдр Большой триаконтаэдр Дисдиакиса Большой пятиугольный шестиконтаэдр
Двойники невыпуклого однородные многогранники с бесконечные звездочки	тетрагемигексакрон гексагемиоктакрон октагемиоктакрон малый додекахемидодекакрон маленький икосихемидодекакрон большой додекахемидодекакрон большой икосихемидодекакрон большой додекегемикосакрон малый додекегемикозакрон