Тетрагемишестиэдр
| Тетрагемишестиэдр | |
|---|---|
 | |
| Тип | Однородный звездчатый многогранник |
| Элементы | Ф = 7, Е = 12 V = 6 (χ = 1) |
| Лица по сторонам | 4{3}+3{4} |
| Диаграмма Кокстера |       (двойное покрытие) |
| Символ Витхоффа | 3/2 3 | 2 (двойное покрытие) |
| Группа симметрии | Т д , [3,3], *332 |
| Ссылки на индексы | У 04 , С 36 , Вт 67 |
| Двойной многогранник | Тетрагемигексакрон |
| Вершинная фигура |  3.4.3/2.4 |
| Аббревиатура Бауэрса | Тах |
В геометрии тетрагемигексаэдр полукубооктаэдр или представляет собой однородный звездчатый многогранник , обозначаемый как U 4 . У него 7 граней (4 треугольника и 3 квадрата ), 12 ребер и 6 вершин. [1] Его вершинная фигура представляет собой перекрещенный четырехугольник . Его диаграмма Кокстера – Дынкина : 
(хотя это двойное накрытие тетрагемишестиэдра).
Тетрагемигексаэдр — единственный непризматический однородный многогранник с нечетным числом граней. Его символ Витгофа — 3/2 3 | 2 , но представляющий собой двойное покрытие тетраполушестигексадра восемью треугольниками и шестью квадратами, спаренными и совпадающими в пространстве. (Более интуитивно его можно рассматривать как два совпадающих тетрагемигексаэдра.)
Тетрагемишестиэдр является полуполиэдром . Часть имени «полугрань» означает, что некоторые грани образуют группу с вдвое меньшим количеством членов, чем у некоторого правильного многогранника — здесь три квадратных грани образуют группу с вдвое меньшим количеством граней, чем у правильного шестигранника, более известного как куб — отсюда полушестигранник . Грани полуграней также ориентированы в том же направлении, что и грани правильного многогранника. Три квадратных грани тетрагемишестиэдра, как и три грани куба, взаимно перпендикулярны .
Характеристика «вполовину меньше» также означает, что полуграни должны проходить через центр многогранника, где все они пересекаются друг с другом. Визуально каждый квадрат разделен на четыре прямоугольных треугольника , по два с каждой стороны.
Сопутствующие поверхности
[ редактировать ]Тетрагемигексаэдр — неориентируемая поверхность. Он уникален как единственный однородный многогранник с эйлеровой характеристикой 1 и, следовательно, является проективным многогранником , что дает представление вещественной проективной плоскости. [2] очень похоже на римскую поверхность .
 Римская поверхность |
Связанные многогранники
[ редактировать ]Тетрагемишестиэдр имеет те же вершины и ребра, что и правильный октаэдр . Он также разделяет 4 из 8 треугольных граней октаэдра, но имеет три дополнительных квадратных грани, проходящих через центр многогранника.
 Октаэдр |  Тетрагемишестиэдр |
Двойственная фигура тетрагемишестиэдра — тетрагемигексакрон .
Тетрагемишестигранник -покрыт кубооктаэдром 2 , [2] который соответственно имеет ту же абстрактную фигуру вершины (2 треугольника и два квадрата: 3.4.3.4) и вдвое больше вершин, ребер и граней. Он имеет ту же топологию, что и абстрактный многогранник полукубооктаэдр .
 Кубооктаэдр | Тетрагемишестиэдр |
Тетрагемигексаэдр также может быть построен в виде скрещенного треугольного куплоида . Все куплоиды и их двойники являются топологически проективными плоскостями. [3]
| 3 | 5 | 7 | n ⁄ d |
|---|---|---|---|
 {3/2} Перекрещенный треугольный куплоид (с ног на голову) |  {5/2} Пентаграммный куплоид |  {7/2} Гептаграммный куплоид | 2 |
| — |  {5/4} Перекрещенный пятиугольный куплоид (с ног на голову) |  {7/4} Перекрещенный гептаграммный куплоид | 4 |
Тетрагемигексакрон
[ редактировать ]| Тетрагемигексакрон | |
|---|---|
 | |
| Тип | Звездный многогранник |
| Лицо | — |
| Элементы | Ф = 6, Е = 12 V = 7 (χ = 1) |
| Группа симметрии | Т д , [3,3], *332 |
| Ссылки на индексы | ДУ 04 |
| двойной многогранник | Тетрагемишестиэдр |
Тетрагемигексакрон двойственных — двойник тетрагемигексаэдра и один из девяти полуполиэдров .
Поскольку у полумногогранников грани проходят через центр, у двойственных фигур соответствующие вершины находятся в бесконечности; собственно, на реальной проективной плоскости на бесконечности. [4] В » Магнуса Веннингера они «Двойных моделях представлены в виде пересекающихся призм , каждая из которых простирается в обоих направлениях до одной и той же вершины на бесконечности, чтобы сохранить симметрию. На практике призмы модели обрезаются в определенном месте, удобном для производителя. Веннингер предположил, что эти фигуры являются членами нового класса звездчатых фигур, называемых звездчатыми до бесконечности . Однако он также предположил, что, строго говоря, они не являются многогранниками, поскольку их конструкция не соответствует обычным определениям.
Топологически считается, что тетрагемигексакрон содержит семь вершин. Три вершины, рассматриваемые на бесконечности ( реальная проективная плоскость на бесконечности), соответствуют по направлению трем вершинам полуоктаэдра , абстрактного многогранника. Остальные четыре вершины находятся в чередующихся углах центрального куба ( полукуба , в данном случае тетраэдра ).
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Медер, Роман. «04: тетрагемишестиэдр» . МатКонсалт .
- ^ Jump up to: а б ( Рихтер )
- ^ Многогранные модели проективной плоскости , Пол Гайлюнас, Материалы конференции Bridges 2018
- ^ ( Веннингер 2003 , стр. 101 )
- Рихтер, Дэвид А., Две модели реальной проективной плоскости
- Веннингер, Магнус (2003) [1983], Двойные модели , Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511569371 , ISBN 978-0-521-54325-5 , MR 0730208 (Страница 101, Двойники (девяти) полумногогранников)