Призматический однородный многогранник

В геометрии призматический однородный многогранник — это однородный многогранник с двугранной симметрией . Они существуют в двух бесконечных семействах: однородных призмах и однородных антипризмах . Все они имеют вершины в параллельных плоскостях и поэтому являются призматоидами .

Конфигурация вершин и группы симметрии

Поскольку они изогональны (вершинно-транзитивны), их расположение вершин однозначно соответствует группе симметрии .

Разница между призматическими и антипризматическими группами симметрии состоит в том, что вершины _{Dph имеет} , выровненные в обеих плоскостях, что дает ему плоскость отражения, перпендикулярную его оси p -кратности (параллельной многоугольнику {p/q}); в то время как D _{p d} вершины закручены относительно другой плоскости, что придает ему вращательное отражение. Каждый из них имеет p плоскостей отражения, которые содержат ось p -кратности.

Группа Dph _{симметрии p} содержит инверсию тогда и только тогда, когда четно , а Dpd _{группа содержит} инверсию тогда и только тогда, когда p нечетно.

Перечисление

Есть:

призмы для каждого рационального числа p/q > 2 с группой симметрии D _{p h} ;
антипризмы для каждого рационального числа p/q > 3/2 с группой симметрии D _{p d,} если q нечетно, D _{ph ,} если q четно.

Если p/q — целое число, т. е. если q = 1, то призма или антипризма выпуклая. (Всегда предполагается, что дробь выражается в наименьших выражениях.)

Антипризма с p/q < 2 является перекрестной или ретроградной ; его вершинная фигура напоминает галстук-бабочку. Если p/q < 3/2, никакая однородная антипризма не может существовать, поскольку ее вершинная фигура должна была бы нарушать неравенство треугольника . Если p/q = 3/2, однородная антипризма вырождена (имеет нулевую высоту).

Формы по симметрии

Примечание. Тетраэдр , куб и октаэдр перечислены здесь с двугранной симметрией (как двуугольная антипризма , квадратная призма и треугольная антипризма соответственно), хотя, если они окрашены равномерно, тетраэдр также имеет тетраэдрическую симметрию, а куб и октаэдр также имеют октаэдрическую симметрию.

Группа симметрии	Выпуклый	Звездные формы
Д _2д [2 ⁺,2] (2*2)	3.3.3
Д _{3 часа} [2,3] (*223)	3.4.4
Д _3д [2 ⁺,3] (2*3)	3.3.3.3
Д _{4 часа} [2,4] (*224)	4.4.4
Д _4д [2 ⁺,4] (2*4)	3.3.3.4
Д _5ч [2,5] (*225)	4.4.5	4.4. 5 ⁄ 2	3.3.3. 5 ⁄ 2
Д _5д [2 ⁺,5] (2*5)	3.3.3.5	3.3.3. 5 ⁄ 3
Д _6ч [2,6] (*226)	4.4.6
Д _6д [2 ⁺,6] (2*6)	3.3.3.6
Д _7ч. [2,7] (*227)	4.4.7	4.4. 7 ⁄ 2	4.4. 7 ⁄ 3	3.3.3. 7 ⁄ 2	3.3.3. 7 ⁄ 4
Д _7д [2 ⁺,7] (2*7)	3.3.3.7	3.3.3. 7 ⁄ 3
Д _8ч. [2,8] (*228)	4.4.8	4.4. 8 ⁄ 3
D_D8d [2 ⁺,8] (2*8)	3.3.3.8	3.3.3. 8 ⁄ 3	3.3.3. 8 ⁄ 5
Д _9ч. [2,9] (*229)	4.4.9	4.4. 9 ⁄ 2	4.4. 9 ⁄ 4	3.3.3. 9 ⁄ 2	3.3.3. 9 ⁄ 4
Д _9д [2 ⁺,9] (2*9)	3.3.3.9	3.3.3. 9 ⁄ 5
Д _10ч. [2,10] (*2.2.10)	4.4.10	4.4. 10 ⁄ 3
Д _10д [2 ⁺,10] (2*10)	3.3.3.10	3.3.3. 10 ⁄ 3
Д _11ч. [2,11] (*2.2.11)	4.4.11	4.4. 11 ⁄ 2	4.4. 11 ⁄ 3	4.4. 11 ⁄ 4	4.4. 11 ⁄ 5	3.3.3. 11 ⁄ 2	3.3.3. 11 ⁄ 4	3.3.3. 11 ⁄ 6
Д _11д [2 ⁺,11] (2*11)	3.3.3.11	3.3.3. 11 ⁄ 3	3.3.3. 11 ⁄ 5	3.3.3. 11 ⁄ 7
Д _12ч. [2,12] (*2.2.12)	4.4.12	4.4. 12 ⁄ 5
Д _{12 место} [2 ⁺,12] (2*12)	3.3.3.12	3.3.3. 12 ⁄ 5	3.3.3. 12 ⁄ 7
...

См. также

Ссылки

Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд ; Лонге-Хиггинс, MS; Миллер, JCP (1954). «Равномерные многогранники». Философские труды Лондонского королевского общества. Серия А. Математические и физические науки . 246 (916). Королевское общество: 401–450. дои : 10.1098/rsta.1954.0003 . ISSN 0080-4614 . JSTOR 91532 . МР 0062446 . S2CID 202575183 .
Кромвель, П.; Многогранники , ЧАШКА, Хбк. 1997, ISBN 0-521-66432-2 . Пбк. (1999), ISBN 0-521-66405-5 . стр.175
Скиллинг, Джон (1976), «Однородные соединения однородных многогранников», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 79 (3): 447–457, doi : 10.1017/S0305004100052440 , MR 0397554 .

Внешние ссылки

Призмы и антипризмы Джордж Харт