Дельтоидный шестиконтаэдр

Дельтоидный шестиконтаэдр
(Нажмите здесь, чтобы увидеть вращающуюся модель)
Тип	каталанский
Обозначение Конвея	ОД или ДЭД
Диаграмма Кокстера
Лицевой многоугольник	видеть
Лица	60
Края	120
Вершины	62 = 12 + 20 + 30
Конфигурация лица	Версия 3.4.5.4
Группа симметрии	I h , H 3 , [5,3], (*532)
Группа ротации	Я, [5,3] + , (532)
Двугранный угол	154,1214° арккос( -19-8 √ 5 / 41 )
Характеристики	выпуклый, гране-переходный
ромбикосидодекаэдр ( двойной многогранник )	Сеть

3D-модель дельтовидного шестиконтаэдра

В геометрии — дельтовидный гексеконтаэдр (также иногда называемый трапециевидным гексеконтаэдром , стромбическим гексеконтаэдром или тетрагональным гексаконтаэдром) . ) — каталонское тело которое представляет собой двойственный многогранник ромбокосододекаэдра , , архимедово тело . нет гамильтонова пути . Это одно из шести каталонских тел , среди вершин которых

Топологически он идентичен невыпуклому ромбогексаконтаэдру .

Длины и углы

60 лиц представляют собой дельтоиды или воздушные змеи . Короткие и длинные края каждого змея находятся в соотношении 1: 7 + √ 5 / 6 ≈ 1:1.539344663...

Угол между двумя короткими ребрами одной грани равен arccos( -5-2 √ 5/20 . ° )≈118,2686774705 Противоположный угол между длинными краями равен arccos( +9 √ 5/40 -5 . )≈67,783011547435° Два других угла каждой грани, между коротким и длинным краем, равны arccos( 5-2 √ 5 / 10 )≈86.97415549104°.

Двугранный угол между любой парой соседних граней равен arccos( -19-8 √ 5 / 41 )≈154.12136312578°.

Топология

Топологически дельтоидный шестиконтаэдр идентичен невыпуклому ромбическому шестидесятиграннику . Дельтоидный шестиконтаэдр можно получить из додекаэдра (или икосаэдра ) путем смещения центров граней, центров ребер и вершин на разные радиусы от центра тела. Радиусы выбираются так, чтобы результирующая форма имела плоские грани воздушного змея, каждая из которых такова, что вершины находились в углах третьей степени, грани - в углах пятой степени, а центры ребер - в точках четвертой степени.

Декартовы координаты

62 вершины триаконтаэдра Дисдиакиса распадаются на три набора с центром в начале координат:

• Двенадцать вершин имеют форму с единичным радиусом описанной окружности правильного икосаэдра .
• Двадцать вершин имеют форму ${\frac {3}{11}}{\sqrt {15-{\frac {6}{\sqrt {5}}}}}\approx 0.9571$ масштабированный правильный додекаэдр .
• Тридцать вершин имеют форму $3{\sqrt {1-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\approx 0.9748$ масштабированный икосододекаэдр .

Эти корпуса изображены на рисунке ниже:

Ортогональные проекции

Дельтоидный шестиконтаэдр имеет три позиции симметрии, расположенные на трех типах вершин:

Ортогональные проекции

Проективный симметрия	[2]	[2]	[2]	[2]	[6]	[10]
Изображение
Двойной изображение

Вариации

Эту фигуру из Perspectiva Corporum Regularium (1568) Венцеля Ямнитцера можно рассматривать как дельтоидный шестиконтаэдр.

Дельтоидный шестиконтаэдр может быть построен либо из правильного икосаэдра , либо из правильного додекаэдра путем добавления вершин в середине ребра и средней грани и создания новых ребер от каждого центра ребра к центрам граней. В обозначениях многогранников Конвея они будут обозначаться как oI и oD, орто-икосаэдр и орто-додекаэдр. Эти геометрические вариации существуют как континуум по одной степени свободы.

Связанные многогранники и мозаики

Сферический дельтовидный шестиконтаэдр

showСемейство однородных икосаэдрических многогранников.
Symmetry: [5,3], (*532)							[5,3]+, (532)
{5,3}	t{5,3}	r{5,3}	t{3,5}	{3,5}	rr{5,3}	tr{5,3}	sr{5,3}
Duals to uniform polyhedra
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

При проецировании на сферу (см. справа) можно увидеть, что ребра составляют ребра икосаэдра и додекаэдра, расположенные в своих двойных положениях .

Это замощение топологически связано как часть последовательности дельтоидных многогранников с гранью (V3.4.n .4 ) и продолжается как замощение гиперболической плоскости . Эти грани-транзитивные фигуры обладают (* n 32) отражательной симметрией .

* n 32 мутация симметрии двойных расширенных мозаик: V3.4. № .4

Симметрия * № 32 [н,3]	сферический				Евклид.	Компактный гиперб.		Парако.
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]
Фигура Конфиг.	Версия 3.4.2.4	Версия 3.4.3.4	Версия 3.4.4.4	Версия 3.4.5.4	Версия 3.4.6.4	Версия 3.4.7.4	Версия 3.4.8.4	V3.4.∞.4

См. также

• Дельтоидный икоситетраэдр

Ссылки

• Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: справочник по дизайну . Dover Publications, Inc. ISBN  0-486-23729-Х . (Раздел 3-9)
• Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, ISBN   978-1-56881-220-5 [1] (Глава 21, Наименование архимедовых и каталонских многогранников и мозаик, страница 286, тетрагональный гексеконтаэдр)
• http://mathworld.wolfram.com/ArchimedeanDualGraph.html

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , « Дельтоидный гексеконтаэдр и гамильтонов путь » (« Каталонское тело ») в MathWorld .
• Дельтоидный шестигранник (трапециевидный шестигранник) — интерактивная модель многогранника
• Пример из жизни — Мяч диаметром почти 4 метра, из рипстоп-нейлона, надутый ветром. Он подпрыгивает по земле, чтобы дети могли играть с ним на фестивалях воздушных змеев.