Усеченный тетраэдр

Усеченный тетраэдрический граф
Усеченный тетраэдрический граф
	3-кратная симметрия
Вершины	12
Края	18
Радиус	3
Диаметр	3
Обхват	3
Автоморфизмы	24 ( С 4 )
Хроматическое число	3
Хроматический индекс	3
Характеристики	Гамильтониан , регулярный , 3-вершинно-связный , плоский граф
	Таблица графиков и параметров

Усеченный тетраэдр
(Нажмите здесь, чтобы увидеть вращающуюся модель)
Тип	Архимедово тело Однородный многогранник
Элементы	F = 8, E = 18, V = 12 (χ = 2)
Лица по сторонам	4{3}+4{6}
Обозначение Конвея	тТ
Символы Шлефли	т{3,3} = ч ₂ {4,3}
Символы Шлефли	т _0,1 {3,3}
Символ Витхоффа	2 3 \| 3
Диаграмма Кокстера	=
Группа симметрии	T _d , A ₃ , [3,3], (*332), порядок 24
Группа ротации	Т , [3,3] ⁺, (332), порядок 12
Двугранный угол	3-6: 109°28′16″ 6-6: 70°31′44″
Ссылки	У ₀₂ , С ₁₆ , Вт ₆
Характеристики	Полуправильный выпуклый
Цветные лица	3.6.6 ( фигура вершины )
Тетраэдр Триакиса ( двойной многогранник )	Сеть

В геометрии представляет усеченный тетраэдр собой архимедово тело . Он имеет 4 правильные шестиугольные грани, 4 равносторонние треугольные грани, 12 вершин и 18 ребер (двух типов). Его можно построить, обрезав все 4 вершины правильного тетраэдра на одну треть от исходной длины ребра.

Более глубокое усечение, при котором из каждой вершины удаляется тетраэдр с половиной исходной длины ребра, называется выпрямлением . В результате выпрямления тетраэдра получается октаэдр . ^[1]

называется Усеченным тетраэдром многогранник Гольдберга $G III (1,1),$ содержащий треугольные и шестиугольные грани.

можно Усеченный тетраэдр назвать кантическим кубом , с диаграммой Коксетера , , имеющий половину вершин согнутого куба ( ромбокубооктаэдра ), . Есть две двойственные позиции этой конструкции, и объединение их создает однородное соединение двух усеченных тетраэдров .

Площадь и объём [ править ]

Площадь A и объем V усеченного тетраэдра с длиной ребра a равны:

{\begin{aligned}A&=7{\sqrt {3}}a^{2}&&\approx 12.124\,355\,65a^{2}\\V&={\tfrac {23}{12}}{\sqrt {2}}a^{3}&&\approx 2.710\,575\,995a^{3}.\end{aligned}}

Самая плотная упаковка [ править ]

Считается, что наиболее плотная упаковка архимедова усеченного тетраэдра равна Φ = 207/208 Карло методы , как сообщили две независимые группы, использующие Монте- . ^[2]^[3] Хотя не существует математического доказательства того, что это наилучшая возможная упаковка для усеченного тетраэдра, высокая близость к единству и независимость результатов делают маловероятным обнаружение еще более плотной упаковки. Фактически, если усечение углов немного меньше, чем у усеченного архимедова тетраэдра, эту новую форму можно использовать для полного заполнения пространства. ^[2]

Декартовы координаты [ править ]

Декартовы координаты 12 вершин усеченного тетраэдра с центром в начале координат и длиной ребра √8 представляют собой перестановки (±1,±1,±3) с четным количеством знаков минус:

(+3,+1,+1), (+1,+3,+1), (+1,+1,+3)
(−3,−1,+1), (−1,−3,+1), (−1,−1,+3)
(−3,+1,−1), (−1,+3,−1), (−1,+1,−3)
(+3,−1,−1), (+1,−3,−1), (+1,−1,−3)


Ортогональная проекция, показывающая декартовы координаты внутри ограничивающей рамки : (±3,±3,±3).	Шестиугольные грани усеченных тетраэдров можно разделить на шесть компланарных равносторонних треугольников. Четыре новые вершины имеют декартовы координаты: (−1,−1,−1), (−1,+1,+1), (+1,−1,+1), (+1,+1,−1). В твердом виде это может представлять собой трехмерное рассечение , в результате которого образуются четыре красных октаэдра и шесть желтых тетраэдров.	Набор перестановок вершин (±1,±1,±3) с нечетным числом знаков минус образует дополнительный усеченный тетраэдр, а вместе они образуют однородный составной многогранник .

Другая простая конструкция существует в 4-мерном пространстве в виде ячеек усеченной 16-клетки с вершинами в виде перестановки координат:

(0,0,1,2)

Ортогональная проекция [ править ]

Ортогональная проекция
В центре	Край нормальный	Лицо нормальное	Край	Лицо
Каркас
Каркас
Двойной
Проективный симметрия	[1]	[1]	[4]	[3]

Сферическая черепица [ править ]

Усеченный тетраэдр также можно представить в виде сферической мозаики и спроецировать на плоскость с помощью стереографической проекции . Эта проекция является равноугольной , сохраняющей углы, но не площади или длины. Прямые линии на сфере проецируются на плоскость в виде дуг окружностей.

Ортографическая проекция	Стереографические проекции
	треугольник с центром	шестиугольник с центром

Многогранник Фриауфа [ править ]

Версия усеченного тетраэдра с более низкой симметрией (усеченный тетрагональный дисфеноид с симметрией порядка 8 D _2d ) называется многогранником Фриауфа в кристаллах, таких как сложные металлические сплавы . Эта форма соответствует 5 многогранникам Фриауфа вокруг оси, давая двугранный угол 72 градуса на подмножестве из 6-6 ребер. ^{[ нужна ссылка ]} Он назван в честь Ж. Б. Фриауфа и его статьи 1927 года «Кристаллическая структура интерметаллического соединения MgCu ₂ ». ^[4]

Использует [ править ]

Гигантские усеченные тетраэдры использовались для тематических павильонов «Человек-исследователь» и «Человек-продюсер» на выставке «Экспо-67» . Они были сделаны из массивных стальных балок, скрепленных болтами в геометрическую решетку. Усеченные тетраэдры были соединены между собой решетчатыми стальными платформами. Все эти здания были снесены после окончания выставки «Экспо-67», поскольку они не были построены так, чтобы выдерживать суровые погодные условия Монреаля на протяжении многих лет. Их единственные остатки находятся в городских архивах Монреаля, Государственных архивах Канады и фотоколлекциях туристов того времени. ^[5]

Пазл Тетраминкс имеет форму усеченного тетраэдра. Эта головоломка показывает рассечение усеченного тетраэдра на 4 октаэдра и 6 тетраэдров . Он содержит 4 центральные плоскости вращения. ^{[ нужна ссылка ]}

тетраэдрический Усеченный граф

В математической области теории графов усеченный тетраэдр — это архимедовый граф , граф вершин и ребер усеченного тетраэдра, одного из архимедовых тел . Он имеет 12 вершин и 18 ребер. ^[7] Это связный кубический граф, ^[8] и связный кубический транзитивный граф. ^[9]

Круговой

Орфографические проекции
4-кратная симметрия	3-кратная симметрия

Связанные многогранники и мозаики [ править ]

Семейство однородных тетраэдрических многогранников
Symmetry: [3,3], (*332)							[3,3]⁺, (332)


{3,3}	t{3,3}	r{3,3}	t{3,3}	{3,3}	rr{3,3}	tr{3,3}	sr{3,3}
Duals to uniform polyhedra

V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3

Он также является частью последовательности кантических многогранников и мозаик с конфигурацией вершин 3.6. п .6. В этой конструкции Витхоффа ребра между шестиугольниками представляют собой вырожденные двуугольники .

* n 33 орбифолдных симметрии кантических мозаик : *3.6.n.6*
	Орбифолд *n32	сферический	евклидов	гиперболический			Паракомпакт
	Орбифолд *n32	*332	*333	*433	*533	*633...	*∞33
Кантическая фигура
Вертекс		3.6. 2 .6	3.6. 3 .6	3.6. 4 .6	3.6. 5 .6	3.6. 6 .6	3.6. ∞ .6

Мутации симметрии

Этот многогранник топологически связан как часть последовательности однородных усеченных многогранников с конфигурациями вершин (3,2 n ,2 n ) и [ n ,3] групповой симметрией Кокстера.

* n 32 мутация симметрии усеченных сферических мозаик: t{ n ,3}
Symmetry *n32 [n,3]	Spherical				Euclid.	Compact hyperb.		Paraco.
Symmetry *n32 [n,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]
Truncated figures
Symbol	t{2,3}	t{3,3}	t{4,3}	t{5,3}	t{6,3}	t{7,3}	t{8,3}	t{∞,3}
Triakis figures
Config.	V3.4.4	V3.6.6	V3.8.8	V3.10.10	V3.12.12	V3.14.14	V3.16.16	V3.∞.∞

Примеры [ править ]

рисунок в De божественной пропорции (1509)
рисунок в перспективе регулярных тел (1568)
кристаллическая модель
фотографии с разных ракурсов ( Matemateca )
4-сторонний штамп
12 перестановок $(4,2,0,0)$ (коричневый)

См. также [ править ]

Четвертькубические соты – заполняют пространство, используя усеченные тетраэдры и тетраэдры меньшего размера.
Усеченный 5-клеточный - аналогичный однородный многогранник в 4-х измерениях.
Усеченный триакис тетраэдр
Триакис усеченный тетраэдр
Октаэдр – выпрямленный тетраэдр.

Ссылки [ править ]

^ Чисхолм, Мэтт; Авнет, Джереми (1997). «Усеченный обман: Усечение» . Теория.org . Проверено 2 сентября 2013 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Дамасцено, Пабло Ф.; Энгель, Майкл; Глотцер, Шэрон К. (2012). «Кристаллические ансамбли и плотнейшие упаковки семейства усеченных тетраэдров и роль направленных энтропийных сил». АСУ Нано . 6 (2012): 609–614. arXiv : 1109.1323 . дои : 10.1021/nn204012y . ПМИД 22098586 . S2CID 12785227 .
^ Цзяо, Ян; Торквато, Сал (сентябрь 2011 г.). «Упаковка усеченных тетраэдров, заполняющая почти все пространство». arXiv : 1107.2300 [ cond-mat.soft ].
^ Фриауф, Ж.Б. (1927). «Кристаллическая структура интерметаллида MgCu ₂ ». Дж. Ам. хим. Соц. 49 : 3107–3114. дои : 10.1021/ja01411a017 .
^ «Экспо 67 - Человек-продюсер - страница 1» .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Атлас графиков, стр.=172, C105
^ Атлас графов, страница 267, усеченный тетраэдрический граф.
^ Атлас графов, страница 130, связные кубические графы, 12 вершин, C105
^ Атлас графов, страница 161, связные кубические транзитивные графы, 12 вершин, Ct11

Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: справочник по дизайну . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-Х . (Раздел 3-9)
Читай, RC; Уилсон, Р.Дж. (1998), Атлас графиков , Oxford University Press

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. , « Усеченный тетраэдр » (« Архимедово тело ») в MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. «Усеченный тетраэдрический граф» . Математический мир .
Клитцинг, Ричард. «3D выпуклые однородные многогранники x3x3o — тут» .
Редактируемая для печати сетка усеченного тетраэдра с интерактивным 3D-просмотром
Однородные многогранники
Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников

[1] Чисхолм, Мэтт; Авнет, Джереми (1997). «Усеченный обман: Усечение» . Теория.org . Проверено 2 сентября 2013 г.

[Damasceno-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Дамасцено, Пабло Ф.; Энгель, Майкл; Глотцер, Шэрон К. (2012). «Кристаллические ансамбли и плотнейшие упаковки семейства усеченных тетраэдров и роль направленных энтропийных сил». АСУ Нано . 6 (2012): 609–614. arXiv : 1109.1323 . дои : 10.1021/nn204012y . ПМИД 22098586 . S2CID 12785227 .

[Jiao-3] Цзяо, Ян; Торквато, Сал (сентябрь 2011 г.). «Упаковка усеченных тетраэдров, заполняющая почти все пространство». arXiv : 1107.2300 [ cond-mat.soft ].

[4] Фриауф, Ж.Б. (1927). «Кристаллическая структура интерметаллида MgCu ₂ ». Дж. Ам. хим. Соц. 49 : 3107–3114. дои : 10.1021/ja01411a017 .

[5] «Экспо 67 - Человек-продюсер - страница 1» .

[ag-6] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Атлас графиков, стр.=172, C105

[7] Атлас графов, страница 267, усеченный тетраэдрический граф.

[8] Атлас графов, страница 130, связные кубические графы, 12 вершин, C105

[9] Атлас графов, страница 161, связные кубические транзитивные графы, 12 вершин, Ct11

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]