н- скелет

Этот граф гиперкуба является 1- тессеракта скелетом .

В математике , особенно в алгебраической топологии , $n$ скелет топологического пространства $X,$ представленный как симплициальный комплекс (соответственно CW-комплекс ), относится к подпространству $X n$ , которое является объединением симплексов X ( соответственно $-$ ячеек $X$ ). размеров $m \leq n .$ Другими словами, при индуктивном определении комплекса $n$ -остов получается остановкой на $n$ -м шаге .

Эти подпространства увеличиваются с ростом $n$ . представляет 0-скелет собой дискретное пространство , а 1-скелет граф — топологический . Скелеты пространства используются в теории препятствий для построения спектральных последовательностей посредством фильтрации и вообще для проведения индуктивных рассуждений . Они особенно важны, когда $X$ имеет бесконечную размерность, в том смысле, что $X n$ не становится постоянным при $n \to \infty.$

В геометрии

В геометрии n k -скелет P - многогранника ( функционально представленный как skel _k ( P )) состоит из всех элементов i -многогранника размерности до k . ^[1]

Например:

skel ₀ (куб) = 8 вершин

скель ₁ (куб) = 8 вершин, 12 ребер

скель ₂ (куб) = 8 вершин, 12 ребер, 6 квадратных граней

Для симплициальных множеств

Приведенное выше определение скелета симплициального комплекса является частным случаем понятия скелета симплициального множества . Коротко говоря, симплициальное множество $K_{*}$ можно описать совокупностью множеств $K_{i},\ i\geq 0$ , а также карты граней и вырождения между ними, удовлетворяющие ряду уравнений. Идея n -скелета $sk_{n}(K_{*})$ заключается в том, чтобы сначала отказаться от наборов $K_{i}$ с $i>n$ а затем завершить сбор $K_{i}$ с $i\leq n$ к «наименьшему возможному» симплициальному набору так, чтобы полученный симплициальный набор не содержал невырожденных симплексов в степенях $i>n$ .

Точнее, функтор ограничения

i_{*}:\Delta ^{op}Sets\rightarrow \Delta _{\leq n}^{op}Sets

имеет левый сопряженный, обозначаемый $i^{*}$ . ^[2] (Обозначения $i^{*},i_{*}$ сравнимы с функторами образов пучков .) n -скелет некоторого симплициального множества $K_{*}$ определяется как

sk_{n}(K):=i^{*}i_{*}K.

Коскелет

Более того, $i_{*}$ имеет правый сопряженный $i^{!}$ . костный скелет n- определяется как

cosk_{n}(K):=i^{!}i_{*}K.

Например, 0-скелет K — это постоянное симплициальное множество, определяемое формулой $K_{0}$ . 0-костный скелет дается чеховским нервом.

\dots \rightarrow K_{0}\times K_{0}\rightarrow K_{0}.

(Морфизмы границы и вырождения задаются различными проекциями и диагональными вложениями соответственно.)

Вышеупомянутые конструкции работают и для более общих категорий (вместо множеств), при условии, что в категории есть волокнистые продукты . Коскелет необходим для определения понятия гипернакрытия в гомотопической алгебре и алгебраической геометрии . ^[3]

Ссылки

^ Питер МакМаллен , Эгон Шульте , Абстрактные правильные многогранники, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-81496-0 (стр. 29)
^ Гёрсс, П.Г.; Жардин, Дж. Ф. (1999), Симплициальная теория гомотопии , Progress in Mathematics, vol. 174, Базель, Бостон, Берлин: Биркхойзер, ISBN 978-3-7643-6064-1 , раздел IV.3.2
^ Артин, Майкл ; Мазур, Барри (1969), Этальная гомотопия , Конспект лекций по математике, № 100, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Скелет» . Математический мир .

[1] Питер МакМаллен , Эгон Шульте , Абстрактные правильные многогранники, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-81496-0 (стр. 29)

[2] Гёрсс, П.Г.; Жардин, Дж. Ф. (1999), Симплициальная теория гомотопии , Progress in Mathematics, vol. 174, Базель, Бостон, Берлин: Биркхойзер, ISBN 978-3-7643-6064-1 , раздел IV.3.2

[3] Артин, Майкл ; Мазур, Барри (1969), Этальная гомотопия , Конспект лекций по математике, № 100, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag

[1]

[2]

[3]