Функторы изображений для пучков

В математике , особенно в теории пучков — области, применяемой в таких областях, как топология , логика и алгебраическая геометрия — существует четыре функтора образа для пучков , которые принадлежат друг другу в различных смыслах.

Даны непрерывное отображение f : X → Y топологических пространств и категория Sh(–) пучков абелевых групп на топологическом пространстве. Рассматриваемые функторы

прямой образ f _∗ : Sh( X ) → Sh( Y )
обратное изображение f ^∗ : Ш( Y ) → Ш( Икс )
прямое изображение с компактной поддержкой f _! : Ш( Икс ) → Ш( Y )
исключительный прообраз Rf ^! : D (Sh( Y )) → D (Sh( X )).

Восклицательный знак часто произносится как « крик » (сленговое обозначение восклицательного знака), а карты, называемые « f визг» или « f нижний визг» и « f верхний визг» — см. также карту визга .

Исключительный прообраз вообще определяется только на уровне производных категорий . Аналогичные соображения применимы и к этальным пучкам на схемах .

Сопряженность [ править ]

Функторы сопряжены друг с другом, как показано справа, где, как обычно, $F\leftrightarrows G$ означает, что F сопряжена слева к G (эквивалентно G сопряжена справа к F ), т.е.

Хом ( F ( А ), B ) ≅ Хом( А , G ( B ))

для любых двух объектов A , B сопряженных через F и G. в двух категориях ,

Например, ф ^∗является левым сопряженным к f _* . Согласно стандартным рассуждениям с отношениями сопряженности, существуют естественные единичные и коединичные морфизмы. ${\mathcal {G}}\rightarrow f_{*}f^{*}{\mathcal {G}}$ и $f^{*}f_{*}{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {F}}$ для ${\mathcal {G}}$ по Y и ${\mathcal {F}}$ на X соответственно. Однако это почти никогда не бывает изоморфизмов — см. пример локализации ниже.

Двойственность ценностей [ править ]

Двойственность Вердье дает еще одну связь между ними: с моральной точки зрения он меняет местами «∗» и «!», т.е. в приведенном выше синопсисе он меняет местами функторы по диагоналям. Например, прямой образ двойственен прямому образу с компактной поддержкой. Это явление изучается и используется в теории перверсивных пучков .

Базовое изменение [ править ]

Еще одно полезное свойство функторов изображений — изменение базы . Учитывая непрерывные отображения $f:X\rightarrow Z$ и $g:Y\rightarrow Z$ , которые индуцируют морфизмы ${\bar {f}}:X\times _{Z}Y\rightarrow Y$ и ${\bar {g}}:X\times _{Z}Y\rightarrow X$ , существует канонический изоморфизм $R{\bar {f}}_{*}R{\bar {g}}^{!}\cong Rf^{!}Rg_{*}$ .

Локализация [ править ]

В частной ситуации замкнутого подпространства i : Z ⊂ X и дополнительного открытого подмножества j : U ⊂ X ситуация упрощается, поскольку для j ^∗= j ^!и я _! = i _∗ и для любого пучка F на X получаются точные последовательности

0 → д _! дж ^∗ F → F → я _* я ^∗ Ф → 0

Его двойное чтение Вердье

i _∗Ri ^! F → F → Rj _∗ j ^∗ F → я _∗ Ri ^! Ф [1],

в выделенный треугольник производной категории пучков на X .

Отношения сопряженности в этом случае читаются

i^{*}\leftrightarrows i_{*}=i_{!}\leftrightarrows i^{!}

и

j_{!}\leftrightarrows j^{!}=j^{*}\leftrightarrows j_{*}

.

См. также [ править ]

Шесть операций

Ссылки [ править ]

Иверсен, Биргер (1986), Когомологии пучков , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16389-3 , MR 0842190 рассматривает топологическую настройку
Артин, Майкл (1972). Александр Гротендик ; Жан-Луи Вердье (ред.). Семинар Буа Мари по алгебраической геометрии - 1963-64 - Теория топосов и плоских когомологий схем - (SGA 4) - вып. 3 . Конспекты лекций по математике (на французском языке). Полет. 305.Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . стр. ви+640. дои : 10.1007/BFb0070714 . ISBN 978-3-540-06118-2 . рассматривается случай этальных пучков на схемах. См. Разоблачение XVIII, раздел 3.
Милн, Джеймс С. (1980), Этальные когомологии , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08238-7 это еще одна ссылка на случай étale.