Шесть операций

В математике , шесть операций Гротендика названные в честь Александра Гротендика , представляют собой формализм гомологической алгебры , также известный как формализм шести функторов . ^[1] Первоначально оно возникло из отношений в этальных когомологиях , возникающих из морфизма схем f : X → Y . Основная идея заключалась в том, что многие элементарные факты, касающиеся когомологий X и Y, были формальными следствиями небольшого числа аксиом. Эти аксиомы во многих случаях совершенно не связаны с исходным контекстом, и поэтому формальные следствия также верны. С тех пор было показано, что формализм шести операций применим к таким контекстам, как D -модули на алгебраических многообразиях , пучки на локально компактных топологических пространствах и мотивы .

Операции [ править ]

Операции представляют собой шесть функторов . Обычно это функторы между производными категориями , то есть на самом деле это левые и правые производные функторы .

прямое изображение $f_{*}$
обратное изображение $f^{*}$
правильный (или необыкновенный) прямой образ $f_{!}$
правильный (или необыкновенный) прообраз $f^{!}$
внутреннее тензорное произведение
внутренний дом

Функторы $f^{*}$ и $f_{*}$ сформируйте пару сопряженных функторов , как и $f_{!}$ и $f^{!}$ . ^[2] Аналогично, внутреннее тензорное произведение остается сопряженным с внутренним Hom.

операций в этальных когомологиях Шесть

Пусть f : X → Y — морфизм схем. Морфизм f индуцирует несколько функторов. В частности, он дает сопряженные функторы f ^* и f _* между категориями пучков на X и Y , и это дает функтор f _! прямого изображения при должной поддержке. В производной категории Rf _! допускает правосопряженное f ^!. Наконец, при работе с абелевыми пучками существуют функтор тензорного произведения ⊗ и внутренний функтор Hom, которые являются сопряженными. Шесть операций являются соответствующими функторами производной категории: Lf ^*, Рф _* , Рф _! , ж ^!, ⊗ ^ли РХом .

Предположим, что мы ограничимся категорией $\ell$ -адические крученые пучки, где $\ell$ взаимно прост с характеристикой X и Y . В SGA 4 III Гротендик и Артин доказали, что если f гладкая относительной размерности d , то Lf ^* изоморфен f ^!(− d )[−2 d ] , где (− d ) обозначает d -й обратный поворот Тейта , а [−2 d ] обозначает сдвиг степени на −2 d . Кроме того, предположим, что f отделима и имеет конечный тип. Если g : Y ′ → Y — другой морфизм схем, если X ′ обозначает замену базы X на g , и если f ′ и g ′ обозначают замены базы f и g на g и f соответственно, то существуют естественные изоморфизмы:

Lg^{*}\circ Rf_{!}\to Rf'_{!}\circ Lg'^{*},

Rg'_{*}\circ f'^{!}\to f^{!}\circ Rg_{*}.

Опять же, предполагая, что f отделен и имеет конечный тип, для любых объектов M в производной категории X и N в производной категории Y существуют естественные изоморфизмы:

(Rf_{!}M)\otimes _{Y}N\to Rf_{!}(M\otimes _{X}Lf^{*}N),

\operatorname {RHom} _{Y}(Rf_{!}M,N)\to Rf_{*}\operatorname {RHom} _{X}(M,f^{!}N),

f^{!}\operatorname {RHom} _{Y}(M,N)\to \operatorname {RHom} _{X}(Lf^{*}M,f^{!}N).

Если i — замкнутое погружение Z в S с дополнительным открытым погружением j , то в производной категории есть отмеченный треугольник:

Rj_{!}j^{!}\to 1\to Ri_{*}i^{*}\to Rj_{!}j^{!}[1],

где первые две карты — это соответственно единица и единица присоединения. Если Z и S регулярны, то существует изоморфизм:

1_{Z}(-c)[-2c]\to i^{!}1_{S},

где 1 _Z и 1 _S — единицы операций тензорного произведения (которые изменяются в зависимости от того, какая категория $\ell$ -адические крученые пучки).

Если S регулярно и g : X → S , и если K — обратимый объект в производной категории на S относительно ⊗ ^л, затем определим D _X как функтор RHom(—, g ^!К ) . Тогда для объектов M и M ′ в производной категории на X канонические отображения:

M\to D_{X}(D_{X}(M)),

D_{X}(M\otimes D_{X}(M'))\to \operatorname {RHom} (M,M'),

являются изоморфизмами. Наконец, если f : X → Y — морфизм S- схем, и если M и N — объекты в производных категориях X и Y , то существуют естественные изоморфизмы:

D_{X}(f^{*}N)\cong f^{!}(D_{Y}(N)),

D_{X}(f^{!}N)\cong f^{*}(D_{Y}(N)),

D_{Y}(f_{!}M)\cong f_{*}(D_{X}(M)),

D_{Y}(f_{*}M)\cong f_{!}(D_{X}(M)).

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Галлауэр, Мартин (2021). «Введение в шестифункторный формализм» (PDF) .
^ Фауск, Х.; П. Ху; Дж. П. Мэй (2003). «Изоморфизмы между левым и правым сопряженными» (PDF) . Теория Прикл. Катег. : 107–131. arXiv : math/0206079 . Бибкод : 2002math......6079F . Проверено 6 июня 2013 г.

Ласло, Ив; Олссон, Мартин (2005). «Шесть операций для пучков на стеках Артина I: конечные коэффициенты». arXiv : math/0512097 .
Аюб, Джозеф. Шесть операций Гротендика и формализм мимолетных циклов в мотивном мире (PDF) (Диссертация).
Цисинский, Дени-Шарль; Деглиз, Фредерик (2019). Триангулированные категории смешанных мотивов . Монографии Спрингера по математике. arXiv : 0912.2110 . дои : 10.1007/978-3-030-33242-6 . ISBN 978-3-030-33241-9 . S2CID 115163824 .
Мебхаут, Зогман (1989). Формализм шести операций Гротендика для когерентных D _X -модулей . Работа в процессе. Полет. 35. Париж: Германн. ISBN 2-7056-6049-6 .

Внешние ссылки [ править ]

[gallauer-1] Галлауэр, Мартин (2021). «Введение в шестифункторный формализм» (PDF) .

[Fausk2003-2] Фауск, Х.; П. Ху; Дж. П. Мэй (2003). «Изоморфизмы между левым и правым сопряженными» (PDF) . Теория Прикл. Катег. : 107–131. arXiv : math/0206079 . Бибкод : 2002math......6079F . Проверено 6 июня 2013 г.

[1]

[2]