Исключительный функтор обратного образа

В математике , а точнее в теории пучков , разделе топологии и алгебраической геометрии , исключительный функтор обратного образа является четвертым и наиболее сложным в серии функторов изображений для пучков . Необходимо выразить двойственность Вердье в самом общем виде.

Определение

Пусть f : X → Y — отображение топологических пространств или морфизм схем . непрерывное Тогда исключительный прообраз является функтором

Р ж ^! : Д( Y ) → Д( Икс )

D(–) обозначает производную категорию пучков где абелевых групп или модулей над фиксированным кольцом.

Он определяется как правый сопряженный производному функтору R f _! прямого изображения с компактной поддержкой . Его существование следует из некоторых свойств R f _! и общие теоремы о существовании сопряженных функторов, а также о единственности.

Обозначение R f ^! является злоупотреблением обозначениями, поскольку вообще не существует функтора f ^! производным функтором которого будет R f ^! .

Примеры и свойства

• Если f : X → Y — погружение локально замкнутого подпространства, то можно определить

ж ^! ( F ) := е ^∗ Г ,

где G — подпучок F , сечения которого на некотором открытом подмножестве U в Y являются сечениями s ∈ F ( U ), носитель содержится в X. которых Функтор f ^! является точным слева , и указанное выше R f ^! , существование которого гарантируется абстрактной бессмыслицей , действительно является производным функтором этого f ^! . Более того, f ^! является правосопряженным к f _! , слишком.

• В более общем плане аналогичное утверждение справедливо для любого квазиконечного морфизма, такого как этальный морфизм .
• Если f — открытое погружение , исключительный прообраз равен обычному прообразу .

Двойственность исключительного

Позволять $X$ быть гладким многообразием размерности $d$ и пусть $f:X\rightarrow *$ быть уникальной картой, которая отображает все в одну точку. Для кольца $\Lambda$, можно обнаружить, что $f^{!}\Lambda =\omega _{X,\Lambda }[d]$ это сдвинутый $\Lambda$- ориентационная связка .

С другой стороны, пусть $X$ быть гладким $k$-разнообразие размеров $d$. Если $f:X\rightarrow \operatorname {Spec} (k)$ обозначает структурный морфизм, тогда $f^{!}k\cong \omega _{X}[d]$ представляет собой сдвинутый канонический пучок на $X$.

Более того, пусть $X$ быть гладким $k$-разнообразие размеров $d$ и $\ell$ простой обратимый в $k$. Затем $f^{!}\mathbb {Q} _{\ell }\cong \mathbb {Q} _{\ell }(d)[2d]$ где $(d)$ обозначает поворот Тейта .

Вспоминая определение когомологий с компактным носителем как движение вперед с нижним криком и отмечая, что ниже последнего $\mathbb {Q} _{\ell }$ означает постоянный пучок на $X$ а остальное означает, что на $*$, $f:X\to *$, и

$\mathrm {H} _{c}^{n}(X)^{*}\cong \operatorname {Hom} \left(f_{!}f^{*}\mathbb {Q} _{\ell }[n],\mathbb {Q} _{\ell }\right)\cong \operatorname {Hom} \left(\mathbb {Q} _{\ell },f_{*}f^{!}\mathbb {Q} _{\ell }[-n]\right),$

приведенное выше вычисление дает $\ell$-адическая двойственность Пуанкаре

$\mathrm {H} _{c}^{n}\left(X;\mathbb {Q} _{\ell }\right)^{*}\cong \mathrm {H} ^{2d-n}(X;\mathbb {Q} (d))$

от многократного применения условия присоединения.

Ссылки

• Иверсен, Биргер (1986), Когомологии пучков , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-16389-3 , MR   0842190 рассматривает топологическую настройку
• Артин, Майкл (1972). Александр Гротендик ; Жан-Луи Вердье (ред.). Семинар Буа Мари по алгебраической геометрии - 1963-64 - Теория топосов и плоских когомологий схем - (SGA 4) - вып. 3 . Конспекты лекций по математике (на французском языке). Полет. 305.Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . стр. ви+640. дои : 10.1007/BFb0070714 . ISBN  978-3-540-06118-2 . рассматривается случай этальных пучков на схемах. См. Разоблачение XVIII, раздел 3.
• Галлауэр, Мартин, «Введение в шесть функторных формализмов» (PDF) , стр. 10–11, дает утверждения двойственности.