Абстрактная чушь
В математике — это неуничижительные термины , абстрактная бессмыслица , общая абстрактная бессмыслица , обобщенная абстрактная бессмыслица и общая бессмыслица используемые математиками для описания длинных теоретических частей доказательства, которые они пропускают, когда ожидается, что читатели с ними знакомы. [1] Эти термины в основном используются для абстрактных методов, связанных с теорией категорий и гомологической алгеброй . В более общем смысле «абстрактная чепуха» может относиться к доказательству, основанному на теоретико-категорных методах, или даже к изучению самой теории категорий.
Предыстория [ править ]
Грубо говоря, теория категорий — это исследование общего вида, то есть категорий математических теорий, безотносительно к их содержанию. В результате математические доказательства , опирающиеся на идеи теории категорий, часто кажутся вырванными из контекста, что-то вроде нелогичного вывода . Авторы иногда называют эти доказательства «абстрактной чепухой», поскольку это беззаботный способ привлечь внимание читателей к их абстрактной природе. Называя аргумент «абстрактной чепухой», обычно не преследуют уничижительные цели. [2] [3] и вместо этого используется в шутку, [4] образом самоуничижительным , [5] ласково, [6] или даже как дополнение к общности аргумента.
Определенные идеи и конструкции в математике имеют единообразие во многих областях, объединенных теорией категорий. Типичные методы включают использование классифицирующих пространств и универсальных свойств , использование леммы Йонеды , естественные преобразования между функторами и поиск диаграмм . [7]
Когда можно предположить, что аудитория знакома с общей формой таких аргументов, математики будут использовать выражение «То-то и то-то верно, выражая абстрактную ерунду», а не давать подробное объяснение частностей. [3] Например, можно было бы сказать: «По абстрактной чепухе, продукты уникальны с точностью до изоморфизма, когда они существуют», вместо того, чтобы спорить о том, как эти изоморфизмы могут быть выведены из универсального свойства , определяющего продукт. Это позволяет пропустить детали доказательства, которые можно считать тривиальными или не дающими особого понимания, и вместо этого сосредоточиться на действительно инновационных частях более крупного доказательства.
История [ править ]
Этот термин появился еще до основания теории категорий как самого предмета. Ссылаясь на совместную работу с Сэмюэлем Эйленбергом , в которой в 1942 году было введено понятие « категории », Сондерс Мак Лейн написал, что этот предмет «тогда назывался «общей абстрактной чепухой». [4] Этот термин часто используется для описания применения теории категорий и ее методов в менее абстрактных областях. [8] [9]
Считается, что этот термин был придуман математиком Норманом Стинродом . [10] [5] [6] сам один из разработчиков категорической точки зрения.
Примечания и ссылки [ править ]
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Абстрактная чепуха» . mathworld.wolfram.com . Проверено 28 июля 2023 г.
- ^ Майкл Монастырский, Некоторые тенденции в современной математике и медаль Филдса. Может. Математика. Соц. Примечания, март и апрель 2001 г., том 33, вып. 2 и 3. Онлайн-версия доступна по адресу http://www.fields.utoronto.ca/aboutus/FieldsMedal_Monastyrsky.pdf .
- « В алгебре термин «абстрактная бессмыслица» имеет определенное значение без какого-либо уничижительного оттенка. »
- ^ Перейти обратно: а б Макура, Виктор К. «Абстрактная чушь» . Математический мир .
- ^ Перейти обратно: а б Сондерс Мак Лейн. « ПНАС тогда ». Учеб. Натл. акад. наук. США Том. 94, стр. 5983–5985, июнь 1997 г.
- « Первая из этих статей представляет собой более поразительный случай; она ввела очень абстрактную идею «категории» — предмета, который тогда назывался «общей абстрактной чепухой»! »
- ^ Перейти обратно: а б Джозеф Ротман, « Введение в гомологическую алгебру Чарльза А. Вейбеля» (рецензия на книгу), Bull. Являюсь. Математика. Сок., 33:4 (октябрь 1996 г.) 473–476.
- « Самоуничижительная фраза «общая абстрактная чепуха» (из-за Стинрода) была выдвинута Эйленбергом и Мак Лейном, двумя главными новаторами гомологической алгебры, чтобы подчеркнуть этот аспект предмета » .
- ^ Перейти обратно: а б Серж Ланг , Второе издание «Алгебры», Аддисон Уэсли, 1984, стр. 175.
- ^ Маркиз, Жан-Пьер (2019), «Теория категорий» , в Залте, Эдвард Н. (редактор), Стэнфордская энциклопедия философии (изд. осени 2019 г.), Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет , получено 27 октября 2019 г.
- ^ Применение абстрактной чепухи к площади поверхности , Гарриет Лорд
- ^ Абстрактная чепуха для функциональных программистов. Архивировано 6 февраля 2015 г. в Wayback Machine , Эдско де Врис.
- ^ Колин Макларти, Использование и злоупотребления в истории теории топоса , Br. Дж. Филос. Sci., 41 (1990), стр. 355.
- « Стинрод в шутку назвал теорию категорий «абстрактной чепухой» и сделал ее центральной в своей аксиоматике гомологии ».
Внешние ссылки [ править ]
- Использование в математическом изложении конспектов Ноама Элкиса.