Квазиконечный морфизм
В алгебраической геометрии , разделе математики , морфизм f : X → Y схем если является квазиконечным, он имеет конечный тип и удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: [1]
- Каждая точка x из X изолирована в своем слое f −1 ( ж ( х )). Другими словами, каждый слой представляет собой дискретное (а значит, конечное) множество.
- Для каждой точки x из X схема f −1 ( f ( x )) = X × Y Spec κ( f ( x )) — конечная κ( f ( x )) схема. (Здесь κ( p ) — поле вычетов в точке p .)
- Для каждой точки x из X , конечно порождается .
Квазиконечные морфизмы были первоначально определены Александром Гротендиком в SGA 1 и не включали гипотезу конечного типа. Эта гипотеза была добавлена к определению в EGA II 6.2, поскольку она позволяет дать алгебраическую характеристику квазиконечности в терминах стеблей .
Для общего морфизма f : X → Y и точки x в X функция f называется квазиконечной в точке x , если существуют открытые аффинные окрестности U точки x и V точки f ( x ) такие, что f ( U ) содержится в V и такое, что ограничение f : U → V квазиконечное. f если локально квазиконечен, он квазиконечен в каждой точке X . [2] Квазикомпактный локально квазиконечный морфизм квазиконечен.
Свойства [ править ]
Для морфизма f справедливы следующие свойства. [3]
- Если f квазиконечное, то индуцированное отображение f red между приведенными схемами квазиконечное.
- Если f — замкнутое погружение, то f квазиконечное.
- Если X нетерово и f — погружение, то f квазиконечное.
- Если g : Y → Z и если g ∘ f квазиконечен, то f квазиконечен, если верно любое из следующих условий:
- г отделен,
- X нетерово,
- X × Z Y локально нётерово.
Квазиконечность сохраняется за счет замены базы. Составное и расслоенное произведение квазиконечных морфизмов квазиконечно. [3]
Если f неразветвлен точке в точке x , то f квазиконечен в x . Обратно, если f квазиконечна в точке x и если также , локальное кольцо точки x в слое f −1 ( f ( x )), — поле и конечное сепарабельное расширение κ( f ( x )), то f неразветвлено в точке x . [4]
Конечные морфизмы квазиконечны. [5] Квазиконечный собственный морфизм локально конечного представления конечен. [6] Действительно, морфизм конечен тогда и только тогда, когда он собственный и локально квазиконечный. [7] Поскольку собственные морфизмы имеют конечный тип, а морфизмы конечного типа квазикомпактны [8] можно локально опустить квалификацию , т. е. морфизм конечен тогда и только тогда, когда он собственный и квазиконечный.
Обобщенная форма основной теоремы Зарисского следующая: [9] Предположим, Y квазикомпактен что и квазиотделим. Пусть f квазиконечное, отделимое и конечного представления. Тогда f фактор как где первый морфизм представляет собой открытое погружение, а второй конечен. ( X открыто в конечной схеме над Y. )
См. также [ править ]
- Квазиконечная фундаментальная групповая схема
Примечания [ править ]
- ^ EGA II, Определение 6.2.3
- ^ EGA III, Ошибка III , 20.
- ^ Перейти обратно: а б ЭГА II, предложение 6.2.4.
- ^ EGA IV 4 , Теорема 17.4.1.
- ^ EGA II, следствие 6.1.7.
- ^ EGA IV 3 , Теорема 8.11.1.
- ^ «Лемма 02LS» . Проект Стеки . Проверено 31 января 2022 г.
- ^ «Определение 29.15.1» . Проект Стеки . Проверено 15 августа 2023 г.
- ^ EGA IV 3 , Теорема 8.12.6.
Ссылки [ править ]
- Гротендик, Александр ; Мишель Рейно (2003) [1971]. Семинар Буа Мари по алгебраической геометрии - 1960-61 - Плоские накрытия и фундаментальная группа - (SGA 1) (Математические документы 3 ) (на французском языке) (Обновленное издание). Математическое общество Франции. XVIII+327. ISBN 2-85629-141-4 .
- Гротендик, Александр ; Жан Дьедонне (1961). «Элементы алгебраической геометрии (написанные в сотрудничестве с Жаном Дьедонне): II. Элементарное глобальное исследование некоторых классов морфизмов» . Публикации IHÉS по математике . 8 :5–222. дои : 10.1007/bf02699291 .
- Гротендик, Александр ; Жан Дьедонне (1966). «Элементы алгебраической геометрии (написаны при содействии Жана Дьедонне): IV. Локальное исследование диаграмм и морфизмов диаграмм, Третья часть» . Публикации IHÉS по математике . 28 :5–255.