Основная теорема Зарисского

В алгебраической геометрии основная теорема Зариского , доказанная Оскаром Зариским ( 1943 ), представляет собой утверждение о структуре бирациональных морфизмов, грубо утверждающее, что в любой нормальной точке многообразия существует только одна ветвь. Это частный случай теоремы Зарисского о связности, когда два многообразия бирациональны.

Основную теорему Зариского можно сформулировать несколькими способами, которые на первый взгляд кажутся совершенно разными, но на самом деле глубоко связаны между собой. Некоторые из вариантов, которые были названы основной теоремой Зариского, следующие:

Бирациональный морфизм с конечными слоями в нормальное многообразие является изоморфизмом открытого подмножества.
Полное преобразование нормальной фундаментальной точки бирационального отображения имеет положительную размерность. По сути, это оригинальная версия Зариского.
Полное преобразование нормальной точки при собственном бирациональном морфизме связно.
Гротендика описывает структуру квазиконечных морфизмов схем . Обобщение

Некоторые результаты в коммутативной алгебре подразумевают геометрические формы основной теоремы Зариского, в том числе:

Нормальное локальное кольцо является одноветвистым , что является вариацией утверждения о том, что преобразование нормальной точки связно.
Локальное кольцо нормальной точки многообразия аналитически нормально . Это сильная форма утверждения о том, что он одноветвистый.

Первоначальный результат был назван Зарисским ( 1943 ) «ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМОЙ».

Основная теорема Зарисского для бирациональных морфизмов

Пусть f бирациональное отображение алгебраических многообразий V и W. — Напомним, что f определяется замкнутым подмногообразием $\Gamma \subset V\times W$ («график» функции f ) такой, что проекция на первый множитель $p_{1}$ индуцирует изоморфизм между открытым $U\subset V$ и $p_{1}^{-1}(U)$ , и такой, что $p_{2}\circ p_{1}^{-1}$ является изоморфизмом на U. также Дополнение U в V называется фундаментальным многообразием или локусом неопределенности , а образ подмножества V под $p_{2}\circ p_{1}^{-1}$ называется полным преобразованием его .

Исходное утверждение теоремы в ( Zariski 1943 , стр. 522) гласит:

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА: Если W — неприводимое фундаментальное многообразие на V бирационального соответствия T между V и V ′ и если T не имеет фундаментальных элементов на V ′, то – в предположении, что V локально нормально в W – каждый неприводимый компонент преобразование T [ W ] имеет более высокую размерность, чем W .

Здесь T морфизмом из V ′ в V по существу является бирациональным , W является подмногообразием множества, где не определено обратное к T , локальное кольцо которого является нормальным, а преобразование T [ W ] означает обратный образ W при морфизм от V ′ к V .

Вот некоторые варианты этой теоремы, сформулированные с использованием более современной терминологии. Хартсхорн (1977 , следствие III.11.4) называет следующее утверждение о связности «Основной теоремой Зарисского»:

Если f : X → Y — бирациональный проективный морфизм нётеровых интегральных схем, то прообраз каждой нормальной точки Y связен.

Следующее из нее следствие (Теорема V.5.2, loc.cit. ) также носит это название:

Если f : X → Y — бирациональное преобразование проективных многообразий с Y нормальным, то полное преобразование фундаментальной точки f связно и имеет размерность не менее 1.

Примеры

Предположим, что V — гладкое многообразие размерности больше 1, а V ′ задано раздутием точки W на V . Тогда V нормально в W , а компонент преобразования W представляет собой проективное пространство, размерность которого превышает W , как и предсказывает исходная форма его основной теоремы Зарисского.
В предыдущем примере преобразование W было неприводимым. Легко найти примеры, когда общее преобразование можно сократить, расширяя другие точки преобразования. Например, если V ′ задан путем раздутия точки W на V , а затем раздувания другой точки на этом преобразовании, полное преобразование W будет иметь два неприводимых компонента, встречающихся в одной точке. Как и предсказывает форма основной теоремы Хартхорна, полное преобразование связно и имеет размерность не менее 1.
В качестве примера, когда W не является нормальным и вывод основной теоремы неверен, возьмем V ′ гладкое многообразие, возьмем V заданным путем отождествления двух различных точек на V ′ и возьмем W образ этих два пункта. Тогда W не является нормальным, а преобразование W состоит из двух точек, не связных и не имеющих положительной размерности.

Основная теорема Зарисского для квазиконечных морфизмов

В EGA III Гротендик называет следующее утверждение, не предполагающее связность, «Основной теоремой» Зариского Гротендика (1961 , Теорема 4.4.3):

Если f : X → Y — квазипроективный морфизм нётеровых схем, то множество точек, изолированных в своем слое, открыто в X . Более того, индуцированная схема этого множества изоморфна открытому подмножеству схемы, конечному над Y .

В EGA IV Гротендик заметил, что последнее утверждение можно вывести из более общей теоремы о структуре квазиконечных морфизмов , и последнюю часто называют «основной теоремой Зарисского в форме Гротендика».Хорошо известно, что открытые погружения и конечные морфизмы квазиконечны. Гротендик доказал, что при гипотезе разделённости все квазиконечные морфизмы являются композициями таких Гротендика (1966 , Теорема 8.12.6):

если Y — квазикомпактная разделенная схема и

f:X\to Y

является отделенным , квазиконечным, конечно представленным морфизмом, то существует факторизация на

X\to Z\to Y

, где первое отображение — открытое погружение, а второе — конечное.

Связь между этой теоремой о квазиконечных морфизмах и цитированной выше теоремой 4.4.3 EGA III состоит в том, что если f : X → Y — проективный морфизм многообразий, то множество точек, изолированных в своем слое, квазиконечное над Y . Тогда применяется структурная теорема для квазиконечных морфизмов и дает желаемый результат.

Основная теорема Зарисского для коммутативных колец

Зариский (1949) переформулировал свою основную теорему в терминах коммутативной алгебры как утверждение о локальных кольцах. Гротендик (1961 , Теорема 4.4.7) обобщил формулировку Зариского следующим образом:

Если B — алгебра конечного типа над локальным нетеровым кольцом A и n — максимальный идеал кольца B , минимальный среди идеалов B, прообразом которых в A является максимальный идеал m кольца A , то существует конечный A - алгебра A ′ с максимальным идеалом m ′ (чьим прообразом в A является m ) такая, что локализация B _n изоморфна A -алгебре A ′ _{m ′} .

Если при этом A и B целые и имеют одинаковое поле частных, а A целозамкнуто, то из этой теоремы следует, что A и B равны. По сути, это формулировка Зарисским его основной теоремы в терминах коммутативных колец.

Основная теорема Зарисского: топологическая форма

Топологическая версия основной теоремы Зариского гласит, что если x — (замкнутая) точка нормального комплексного многообразия, то оно одноветвящееся ; другими словами, существуют сколь угодно малые окрестности U точки x такие, что множество неособых точек U связно ( Mumford 1999 , III.9).

Свойство нормальности сильнее, чем свойство одноветвленности: например, точка возврата плоской кривой является одноветвевой, но не нормальной.

Основная теорема Зарисского: степенного ряда форма

Формальная версия основной теоремы Зарисского в виде степенного ряда гласит, что если x является нормальной точкой многообразия, то она аналитически нормальна ; другими словами, пополнение локального кольца в точке x является нормальной областью целостности ( Mumford 1999 , III.9).

См. также

Ссылки

Данилов, В.И. (2001) [1994], «Теорема Зарисского» , Энциклопедия математики , EMS Press
Гротендик, Александр (1961), Элементы алгебраической геометрии (написанные в сотрудничестве с Жаном Дьедонне): III. Когомологическое исследование когерентных пучков, Первая часть , Publications Mathématiques de l'IHÉS, vol. 11, с. 5–167
Гротендик, Александр (1966), Элементы алгебраической геометрии (написанные в сотрудничестве с Жаном Дьедонне): IV. Локальное исследование схем и морфизмов схем, Третья часть , Publications Mathématiques de l'IHÉS, vol. 28, с. 43–48
Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9 , МР 0463157
Мамфорд, Дэвид (1999) [1988], Красная книга разновидностей и схем , Конспект лекций по математике, том. 1358 (расширенный, включает Мичиганские лекции (1974) о кривых и их якобианах под изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/b62130 , ISBN 978-3-540-63293-1 , МР 1748380
Пескин, Кристиан (1966), «Обобщение основной теоремы Зариского », Bull. наук. Математика. (2) , 90 : 119–127
Рейно, Мишель (1970), Гензелевы локальные кольца , Конспекты лекций по математике, том. 169, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0069571 , ISBN. 978-3-540-05283-8 , МР 0277519
Зариский, Оскар (1943), «Основы общей теории бирациональных соответствий», Пер. амер. Математика. Соц. , 53 (3): 490–542, номер документа : 10.2307/1990215 , JSTOR 1990215 , MR 0008468.
Зариский, Оскар (1949), «Простое аналитическое доказательство фундаментального свойства бирациональных преобразований», Proc. Натл. акад. наук. США , 35 (1): 62–66, Bibcode : 1949PNAS...35...62Z , doi : 10.1073/pnas.35.1.62 , JSTOR 88284 , MR 0028056 , PMC 1062959 , PMID 16588856

Внешние ссылки

Есть ли интуитивное объяснение основной теоремы Зарисского?