Конечный морфизм

В алгебраической геометрии — конечный морфизм между двумя аффинными многообразиями . $X,Y$ — плотное регулярное отображение , индуцирующее изоморфное включение $k\left[Y\right]\hookrightarrow k\left[X\right]$ между их координатными кольцами , такие, что $k\left[X\right]$ является целым по $k\left[Y\right]$ . ^[1] Это определение можно распространить на квазипроективные многообразия такие, что регулярное отображение $f\colon X\to Y$ между квазипроективными многообразиями конечно , если любая точка $y\in Y$ имеет аффинную окрестность V такую, что $U=f^{-1}(V)$ является аффинным и $f\colon U\to V$ является конечным отображением (ввиду предыдущего определения, поскольку оно находится между аффинными многообразиями). ^[2]

Определение по схемам [ править ]

Морфизм f : X → Y схем Y называется конечным морфизмом, если имеет открытое покрытие аффинными схемами.

V_{i}={\mbox{Spec}}\;B_{i}

такой, что для каждого i ,

f^{-1}(V_{i})=U_{i}

является открытой аффинной подсхемой Spec A _i и ограничением f на U _i , которое индуцирует кольцевой гомоморфизм

B_{i}\rightarrow A_{i},

делает A _i модулем конечно порожденным над B _i . ^[3] Также говорят, X конечно что над Y .

Фактически, f конечен тогда и только тогда, когда для каждой открытой аффинной подсхемы V = Spec B в Y прообраз V в X является аффинным в форме Spec A , где A является конечно порожденным B -модулем. ^[4]

Например, для поля k любого ${\text{Spec}}(k[t,x]/(x^{n}-t))\to {\text{Spec}}(k[t])$ является конечным морфизмом, поскольку $k[t,x]/(x^{n}-t)\cong k[t]\oplus k[t]\cdot x\oplus \cdots \oplus k[t]\cdot x^{n-1}$ как $k[t]$ -модули. Геометрически это, очевидно, конечно, поскольку это разветвленное n-листное накрытие аффинной прямой, вырождающееся в начале координат. Напротив, включение A ¹ − 0 в A ¹не является конечным. (Действительно, полиномов Лорана кольцо k [ y , y ⁻¹] не является конечно порожденным как модуль над k [ y ].) Это ограничивает нашу геометрическую интуицию сюръективными семействами с конечными слоями.

Свойства конечных морфизмов [ править ]

Композиция двух конечных морфизмов конечна.
Любая замена базы конечного морфизма f : X → Y конечна. То есть, если g : Z → Y — любой морфизм схем, то результирующий морфизм X × _Y Z → Z конечен. Это соответствует следующему алгебраическому утверждению: если A и C являются (коммутативными) B -алгебрами и A конечно порождена как B -модуль, то тензорное произведение A ⊗ _B C конечно порождено как C -модуль. Действительно, в качестве генераторов можно взять элементы a _i ⊗ 1, где a _i — заданные генераторы A как B -модуля.
Замкнутые погружения конечны, поскольку они локально задаются формулой A → A / I , где I — идеал, соответствующий замкнутой подсхеме.
Конечные морфизмы замкнуты, следовательно (в силу их устойчивости при замене базы) собственно . ^[5] Это следует из повышении в коммутативной алгебре. теоремы Коэна-Зейденберга о
Конечные морфизмы имеют конечные слои (т. е. они квазиконечные ). ^[6]Это следует из того, что для поля k каждая конечная k -алгебра является артиновым кольцом . что для конечного сюръективного морфизма f : X → Y Связанное с этим утверждение состоит в том , X и Y имеют одинаковую размерность .
По Делиню морфизм схем конечен тогда и только тогда, когда он собственный и квазиконечный. ^[7] Это было показано Гротендиком , если морфизм f : X → Y имеет локальное конечное представление , что следует из других предположений, Y нётерово если . ^[8]
Конечные морфизмы одновременно проективны и аффинны . ^[9]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Шафаревич 2013 , с. 60, защита. 1.1.
^ Шафаревич 2013 , с. 62, Защита. 1.2.
^ Хартсхорн 1977 , Раздел II.3.
^ Проект Stacks, тег 01WG .
^ Проект Stacks, тег 01WG .
^ Проект Stacks, тег 01WG .
^ Гротендик, EGA IV, Часть 4, Следствие 18.12.4.
^ Гротендик, EGA IV, Часть 3, Теорема 8.11.1.
^ Проект Stacks, тег 01WG .

Ссылки [ править ]

Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1966). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальное изучение схем и морфизмов схем, Часть третья» . Публикации IHÉS по математике . 28 :5–255. дои : 10.1007/bf02684343 . МР 0217086 .
Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1967). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальное изучение схем и морфизмов схем, Часть четвертая» . Публикации IHÉS по математике . 32 :5–361. дои : 10.1007/bf02732123 . МР 0238860 .
Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-90244-9 , МР 0463157
Шафаревич, Игорь Робертович (2013). Основная алгебраическая геометрия 1 . Спрингер Наука . дои : 10.1007/978-3-642-37956-7 . ISBN 978-0-387-97716-4 .

Внешние ссылки [ править ]

Авторы проекта Stacks, The Stacks Project

[FOOTNOTEShafarevich201360Def._1.1-1] Шафаревич 2013 , с. 60, защита. 1.1.

[FOOTNOTEShafarevich201362Def._1.2-2] Шафаревич 2013 , с. 62, Защита. 1.2.

[FOOTNOTEHartshorne1977Section_II.3-3] Хартсхорн 1977 , Раздел II.3.

[4] Проект Stacks, тег 01WG .

[5] Проект Stacks, тег 01WG .

[6] Проект Stacks, тег 01WG .

[7] Гротендик, EGA IV, Часть 4, Следствие 18.12.4.

[8] Гротендик, EGA IV, Часть 3, Теорема 8.11.1.

[9] Проект Stacks, тег 01WG .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]