Нётерова схема

В алгебраической геометрии — нётерова схема это схема , допускающая конечное покрытие открытыми . аффинными подмножествами $\operatorname {Spec} A_{i}$ , где каждый $A_{i}$ является нётеровым кольцом . В более общем смысле схема является локально нетеровой , если она покрыта спектрами нётеровых колец. Таким образом, схема нётерова тогда и только тогда, когда она локально нётерова и компактна . Как и в случае с нетеровскими кольцами, эта концепция названа в честь Эмми Нётер .

Можно показать, что в локально нетеровой схеме, если $\operatorname {Spec} A$ — открытое аффинное подмножество, то A — нётерово кольцо. В частности, $\operatorname {Spec} A$ является нётеровой схемой тогда и только тогда, когда A — нётерово кольцо. Пусть X — локально нётерова схема. Потом местные звонят ${\mathcal {O}}_{X,x}$ являются нётеровыми кольцами.

Нётерова схема — это нётерово топологическое пространство . Но обратное вообще неверно; рассмотрим, например, спектр кольца ненетерова нормирования .

Определения распространяются на формальные схемы .

Свойства гипотезы нётеровы и

Наличие (локально) нётеровской гипотезы для утверждения о схемах обычно делает многие проблемы более доступными, поскольку они достаточно жестко закрепляют многие из его свойств.

Отвинчивание [ править ]

Одной из наиболее важных структурных теорем о нётеровых кольцах и нётеровых схемах является теорема Девиссажа . Эта теорема позволяет разложить рассуждения о когерентных пучках на индуктивные рассуждения. Это потому, что дана короткая точная последовательность когерентных пучков

$0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0$

Доказать, что один из пучков обладает каким-то свойством, эквивалентно доказательству того, что два других обладают этим свойством. В частности, для фиксированного когерентного пучка ${\mathcal {F}}$ и субкогерентный пучок ${\mathcal {F}}'$ , показывая ${\mathcal {F}}$ имеет какое-то свойство, можно свести к рассмотрению ${\mathcal {F}}'$ и ${\mathcal {F}}/{\mathcal {F}}'$ . Поскольку этот процесс можно применять нетривиальным образом только конечное число раз, это делает возможным множество индукционных рассуждений.

Количество неприводимых компонентов [ править ]

Любая нётерова схема может иметь лишь конечное число компонентов. ^[1]

квазикомпактны схем Морфизмы нётеровых

Каждый морфизм нётеровой схемы $X\to S$ является квазикомпактным . ^[2]

Гомологические свойства [ править ]

обладают множеством интересных гомологических свойств. Нётеровы схемы ^[3]

Чешские когомологии пучковые и

Чеховские когомологии и пучковые когомологии согласуются в аффинном открытом покрытии. Это позволяет вычислить пучковые когомологии $\mathbb {P} _{S}^{n}$ используя когомологии Чеха для стандартного открытого покрытия.

Совместимость копределов с когомологиями [ править ]

Учитывая прямую систему $\{{\mathcal {F}}_{\alpha },\phi _{\alpha \beta }\}_{\alpha \in \Lambda }$ пучков абелевых групп нётеровой схемы существует канонический изоморфизм

$\varinjlim H^{i}(X,{\mathcal {F}}_{\alpha })\to H^{i}(X,\varinjlim {\mathcal {F}}_{\alpha })$

имеется в виду функторы

$H^{i}(X,-):{\text{Ab}}(X)\to {\text{Ab}}$

сохранить прямые пределы и копродукции.

Производное прямое изображение [ править ]

Учитывая локально конечный морфизм типа $f:X\to S$ по нетеровской схеме $S$ и комплекс связок ${\mathcal {E}}^{\bullet }\in D_{Coh}^{b}(X)$ с ограниченными когерентными когомологиями такими, что пучки $H^{i}({\mathcal {E}}^{\bullet })$ иметь надлежащую поддержку $S$ , то производное продвижение вперед $\mathbf {R} f_{*}({\mathcal {E}}^{\bullet })$ имеет ограниченные когерентные когомологии над $S$ , что означает, что это объект в $D_{Coh}^{b}(S)$ . ^[4]

Примеры [ править ]

Многие из схем, встречающихся в природе, являются нётеровыми схемами.

Локально конечного типа над нётеровой базой [ править ]

Другой класс примеров нётеровых схем. ^[5] являются семействами схем $X\to S$ где база $S$ является нетеровским и $X$ имеет конечный тип над $S$ . Сюда входит множество примеров, таких как связные компоненты схемы Гильберта , т. е. с фиксированным полиномом Гильберта. Это важно, поскольку подразумевает, что многие пространства модулей, встречающиеся в дикой природе, являются нетеровыми, например, модули алгебраических кривых и модули стабильных векторных расслоений . Кроме того, это свойство можно использовать, чтобы показать, что многие схемы, рассматриваемые в алгебраической геометрии, на самом деле нётеровы.

Квазипроективные многообразия [ править ]

В частности, квазипроективные многообразия являются нётеровыми схемами. В этот класс входят алгебраические кривые , эллиптические кривые , абелевы многообразия , схемы Калаби-Яу , многообразия Шимуры , поверхности К3 и кубические поверхности . Практически все объекты классической алгебраической геометрии попадают в этот класс примеров.

деформации нётеровых схем Бесконечно - малые

В частности, бесконечно малые деформации нётеровых схем снова нётеровы. Например, дана кривая $C/{\text{Spec}}(\mathbb {F} _{q})$ , любая деформация ${\mathcal {C}}/{\text{Spec}}(\mathbb {F} _{q}[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{n}))$ также является нетеровой схемой. Башню таких деформаций можно использовать для построения формальных нётеровых схем.

Непримеры [ править ]

Схемы над базисами Адели [ править ]

Одним из естественных колец, не являющихся нетеровыми, является Кольцо аделей. $\mathbb {A} _{K}$ для поля алгебраических чисел $K$ . Для того чтобы иметь дело с такими кольцами, рассматривается топология, дающая топологические кольца . Над такими кольцами существует понятие алгебраической геометрии, развитое Вейлем и Александром Гротендиком . ^[6]

Кольца целых чисел с бесконечными расширениями [ править ]

Учитывая бесконечное расширение поля Галуа $K/L$ , такой как $\mathbb {Q} (\zeta _{\infty })/\mathbb {Q}$ (путем присоединения всех корней из единицы), кольцо целых чисел ${\mathcal {O}}_{K}$ является нетеровым кольцом размерности $1$ . Это нарушает интуитивное представление о том, что конечномерные схемы обязательно нётеровы. Кроме того, этот пример объясняет, зачем изучать схемы на ненётеровой базе; то есть схемы ${\text{Sch}}/{\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{E})$ , может быть интересной и плодотворной темой.

Один особый случай ^[7]^{стр. 93} такого расширения берет максимальное неразветвленное расширение $K^{ur}/K$ и рассматривая кольцо целых чисел ${\mathcal {O}}_{K^{ur}}$ . Индуцированный морфизм

${\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K^{ur}})\to {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})$

образует покрытие универсальное ${\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})$ .

Полиномиальное кольцо с бесконечным числом образующих [ править ]

Другой пример ненётеровой конечномерной схемы (фактически нульмерной) даёт следующий фактор кольца многочленов с бесконечным числом образующих.

${\frac {\mathbb {Q} [x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ]}{(x_{1},x_{2}^{2},x_{3}^{3},\ldots )}}$

См. также [ править ]

Отличное кольцо — немного более жесткое, чем нётерово кольцо, но имеет лучшие свойства.
Теорема Шевалле о конструктивных множествах
Основная теорема Зарисского
Дуализирующий комплекс
Теорема о компактификации Нагаты

Ссылки [ править ]

^ «Лемма 28.5.7 (0BA8) — Проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 24 июля 2020 г.
^ «Лемма 28.5.8 (01P0) — Проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 24 июля 2020 г.
^ «Когомологии пучков» (PDF) .
^ «Лемма 36.10.3 (08E2) — Проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 24 июля 2020 г.
^ «Лемма 29.15.6 (01T6) — Проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 24 июля 2020 г.
^ Конрад, Брайан. «Подходы Вейля и Гротендика к адельным точкам» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 21 июля 2018 года.
^ Нойкирх, Юрген (1999). «1.13». Алгебраическая теория чисел . Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-662-03983-0 . OCLC 851391469 .

Хартшорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия . Тексты для аспирантов по математике. Том. 52. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90244-9 . МР 0463157 . Збл 0367.14001 .
Сложнее, Гюнтер . «Когомологии арифметических групп» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 24 июля 2020 г.
Данилов, В.И. (2001) [1994], «Нётерова схема» , Энциклопедия Математики , EMS Press

[1] «Лемма 28.5.7 (0BA8) — Проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 24 июля 2020 г.

[2] «Лемма 28.5.8 (01P0) — Проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 24 июля 2020 г.

[3] «Когомологии пучков» (PDF) .

[4] «Лемма 36.10.3 (08E2) — Проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 24 июля 2020 г.

[5] «Лемма 29.15.6 (01T6) — Проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 24 июля 2020 г.

[6] Конрад, Брайан. «Подходы Вейля и Гротендика к адельным точкам» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 21 июля 2018 года.

[7] Нойкирх, Юрген (1999). «1.13». Алгебраическая теория чисел . Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-662-03983-0 . OCLC 851391469 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]