Двойственность ценностей

Двойственность Вердье утверждает, что (при соблюдении подходящих условий конечности, обсуждаемых ниже)некоторые функторы производных изображений для пучков на самом деле являются сопряженными функторами . Есть две версии.

Глобальная двойственность Вердье утверждает, что для непрерывного отображения $f\colon X\to Y$ локально компактных хаусдорфовых пространств производный функтор прямого образа с компактными (или собственными) носителями $Rf_{!}$ имеет правый сопряженный $f^{!}$ в производной категории пучки , другими словами, для пучков (комплексов) (абелевых групп) ${\mathcal {F}}$ на $X$ и ${\mathcal {G}}$ на $Y$ у нас есть

RHom(Rf_{!}{\mathcal {F}},{\mathcal {G}})\cong RHom({\mathcal {F}},f^{!}{\mathcal {G}}).

Локальная двойственность Вердье утверждает, что

R\,{\mathcal {H}}om(Rf_{!}{\mathcal {F}},{\mathcal {G}})\cong Rf_{\ast }R\,{\mathcal {H}}om({\mathcal {F}},f^{!}{\mathcal {G}})

в производной категории пучков на Y . Важно отметить, что различие между глобальной и локальной версиями заключается в том, что первая связывает морфизмы между комплексы пучков в производных категориях, тогда как последний относится к внутренним Hom-комплексам и поэтому может быть оценен локально. Взятие глобальных сечений обеих сторон в локальном утверждении дает глобальную двойственность Вердье.

Эти результаты справедливы с учетом компактного функтора прямого образа. $f_{!}$ имеющая конечную когомологическую размерность.Это тот случай, когда существует граница $d\in \mathbf {N}$ такие, что компактные когомологии $H_{c}^{r}(X_{y},\mathbf {Z} )$ исчезает для всех волокон $X_{y}=f^{-1}(y)$ (где $y\in Y$ )и $r>d$ . Это справедливо, если все волокна $X_{y}$ самое большее $d$ -мерные многообразия или, в более общем смысле, не более $d$ -мерные CW-комплексы .

Выше речь идет о производных категориях пучков абелевых групп. Вместо этого можно рассмотреть кольцо $A$ и (производные категории) пучки $A$ -модули; приведенный выше случай соответствует $A=\mathbf {Z}$ .

Дуализирующий комплекс $D_{X}$ на $X$ определяется как

\omega _{X}=p^{!}(k),

где p — карта из $X$ в точку. Часть того, что делает двойственность Вердье интересной в сингулярной ситуации, заключается в том, что когда $X$ не является многообразием (например, графом или сингулярным алгебраическим многообразием), то дуализирующий комплекс не квазиизоморфен пучку, сосредоточенному в одной степени. С этой точки зрения производная категория необходима при изучении сингулярных пространств.

Если $X$ — конечномерное локально компактное пространство, и $D^{b}(X)$ ограниченная производная категория пучков абелевых групп над $X$ , то двойственный по Вердье является контравариантным функтор

D\colon D^{b}(X)\to D^{b}(X)

определяется

D({\mathcal {F}})=R\,{\mathcal {H}}om({\mathcal {F}},\omega _{X}).

Он имеет следующие свойства:

$D^{2}({\mathcal {F}})\cong {\mathcal {F}}$ для пучков с конструктивными когомологиями.
(переплетение функторов $f_{*}$ и $f_{!}$ ). Если $f$ представляет собой непрерывное отображение из $X$ к $Y$ , то существует изоморфизм
$D(Rf_{!}({\mathcal {F}}))\cong Rf_{\ast }D({\mathcal {F}})$ .

Связь с классической двойственностью Пуанкаре

Двойственность Пуанкаре может быть выведена как частный случай двойственности Вердье. Здесь когомологии пространства явно вычисляются с использованием аппарата пучковых когомологий .

Предположим, что X — компактное ориентируемое n -мерное многообразие, k — поле и $k_{X}$ — постоянный пучок на X с коэффициентами из k . Позволять $f=p$ быть постоянным отображением точки. Затем утверждается глобальная дуальность Вердье.

[Rp_{!}k_{X},k]\cong [k_{X},p^{!}k].

Чтобы понять, как из этого утверждения получается двойственность Пуанкаре, возможно, проще всего разобраться в обеих сторонах по частям. Позволять

k_{X}\to (I_{X}^{\bullet }=I_{X}^{0}\to I_{X}^{1}\to \cdots )

— инъективная резольвента постоянного пучка. Тогда по стандартным фактам о правых производных функторах

Rp_{!}k_{X}=p_{!}I_{X}^{\bullet }=\Gamma _{c}(X;I_{X}^{\bullet })

— комплекс, когомологии которого являются когомологиями X с компактным носителем . Поскольку морфизмы между комплексами пучков (или векторными пространствами) сами по себе образуют комплекс, мы находим, что

\mathrm {Hom} ^{\bullet }(\Gamma _{c}(X;I_{X}^{\bullet }),k)=\cdots \to \Gamma _{c}(X;I_{X}^{2})^{\vee }\to \Gamma _{c}(X;I_{X}^{1})^{\vee }\to \Gamma _{c}(X;I_{X}^{0})^{\vee }\to 0

где последний ненулевой член имеет степень 0, а те, что слева, имеют отрицательную степень. Морфизмы в производной категории получаются из гомотопической категории цепных комплексов пучков путем взятия нулевых когомологий комплекса, т.е.

[Rp_{!}k_{X},k]\cong H^{0}(\mathrm {Hom} ^{\bullet }(\Gamma _{c}(X;I_{X}^{\bullet }),k))=H_{c}^{0}(X;k_{X})^{\vee }.

Что касается другой стороны приведенного выше утверждения о двойственности Вердье, мы должны принять как должное тот факт, что, когда X является компактным ориентируемым n -мерным многообразием

p^{!}k=k_{X}[n],

который является дуализирующим комплексом многообразия. Теперь мы можем повторно выразить правую часть как

[k_{X},k_{X}[n]]\cong H^{n}(\mathrm {Hom} ^{\bullet }(k_{X},k_{X}))=H^{n}(X;k_{X}).

Наконец мы получили утверждение, что

H_{c}^{0}(X;k_{X})^{\vee }\cong H^{n}(X;k_{X}).

Повторяя это рассуждение с заменой пучка k _X на тот же пучок, помещенный в степень i, мы получаем классическую двойственность Пуанкаре

H_{c}^{i}(X;k_{X})^{\vee }\cong H^{n-i}(X;k_{X}).

См. также

Ссылки

Борель, Арманд (1984), Когомологии пересечения , Прогресс в математике , Базель, Бостон, Берлин: Биркхойзер, ISBN 978-0-8176-3274-8
Gelfand, Sergei I.; Manin, Yuri Ivanovich (1999), Homological algebra , Berlin: Springer, ISBN 978-3-540-65378-3
Гротендик, Александр (1977), Семинар Буа Мари по алгебраической геометрии - 1965-66 - L-адические когомологии и L-функции - (SGA 5) , Конспекты лекций по математике, том. 589, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. xii+484, ISBN 978-3-540-08248-4 , Разоблачения I и II содержат соответствующую теорию в этальной ситуации.
Иверсен, Биргер (1986), Когомологии пучков , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-82783-9 , ISBN 978-3-540-16389-3 , МР 0842190
Касивара, Масаки ; Шапира, Пьер (2002), Пучки на многообразиях , Берлин: Springer , ISBN 3540518614
Вердье, Жан-Луи (1965), «Двойственность в когомологиях локально компактных пространств», Семинар Бурбаки , том. 9, Париж: Математическое общество Франции , стр. Эксп. № 300, 337–349, ISBN. 978-2-85629-042-2 , МР 1610971