Конструктивная связка

В математике конструктивный пучок — это пучок абелевых групп над некоторым топологическим пространством X такой, что X — объединение конечного числа локально замкнутых подмножеств, на каждом из которых пучок является локально постоянным пучком . Оно берет свое начало в алгебраической геометрии , где в этальных когомологиях конструктивные пучки определяются аналогичным образом ( Артин, Гротендик и Вердье 1972 , Exposé IX § 2). О производной категории конструктивных пучков см. раздел ℓ-адического пучка .

Теорема конечности в этальных когомологиях утверждает, что высшие прямые образы конструктивного пучка конструктивны.

конструктивных схеме

Здесь мы используем определение конструктивных этальных пучков из книги Фрайтага и Киля, упомянутой ниже. Далее в этом подразделе все пучки ${\mathcal {F}}$ по схемам $X$ являются этальными пучками, если не указано иное.

Сноп ${\mathcal {F}}$ называется конструктивным, если $X$ можно записать как конечное объединение локально замкнутых подсхем $i_{Y}:Y\to X$ такая, что для каждой подсхемы $Y$ покрытия, снопа ${\mathcal {F}}|_{Y}=i_{Y}^{\ast }{\mathcal {F}}$ является конечным локально постоянным пучком. В частности, это означает для каждой подсхемы $Y$ в конечном накрытии существует этальное накрытие $\lbrace U_{i}\to Y\mid i\in I\rbrace$ такая, что для всех этальных подсхем покрытия $Y$, сноп $(i_{Y})^{\ast }{\mathcal {F}}|_{U_{i}}$ постоянна и представлена ​​конечным множеством.

Это определение позволяет нам сделать вывод на основе нётеровской индукции и того факта, что этальный пучок постоянен тогда и только тогда, когда его ограничение из $X$ к $X_{\text{red}}$ также является постоянным, где $X_{\text{red}}$ это сокращение схемы $X$. Отсюда следует, что представимый этальный пучок ${\mathcal {F}}$ сам по себе конструктивен.

Особый интерес для теории конструктивных этальных пучков представляет случай работы с конструктивными этальными пучками абелевых групп. Замечательный результат состоит в том, что конструктивные этальные пучки абелевых групп являются в точности нётеровыми объектами в категории всех крученых этальных пучков (ср. предложение I.4.8 Фрайтага-Киля).

Примеры из алгебраической топологии

Большинство примеров конструктивных пучков происходят из пучков когомологий пересечения или из производного продвижения локальной системы в семействе топологических пространств, параметризованных базовым пространством.

Производное продвижение вперед на P ¹

Один хороший набор примеров конструктивных пучков взят из производной версии (с компактной поддержкой или без нее) локальной системы на $U=\mathbb {P} ^{1}-\{0,1,\infty \}$. Поскольку любой цикл вокруг $\infty$ гомотопен циклу вокруг $0,1$ нам остается только описать монодромию вокруг $0$ и $1$. Например, мы можем установить операторы монодромии так:

${\begin{aligned}T_{0}={\begin{bmatrix}1&k\\0&1\end{bmatrix}},\quad &T_{1}={\begin{bmatrix}1&l\\0&1\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

где стебли нашей локальной системы ${\mathcal {L}}$ изоморфны $\mathbb {Q} ^{\oplus 2}$. Тогда, если мы возьмем производное продвижение вперед $\mathbf {R} j_{*}$ или $\mathbf {R} j_{!}$ из ${\mathcal {L}}$ для $j:U\to \mathbb {P} ^{1}$ получаем конструктивный пучок, стебли которого в точках $0,1,\infty$ вычислить когомологии локальных систем, ограниченных их окрестностью в $U$.

Семейство

Например, рассмотрим семейство вырождающихся эллиптических кривых

$y^{2}-x(x-1)(x-t)$

над $\mathbb {C}$. В $t=0,1$ это семейство кривых вырождается в узловую кривую. Если обозначить это семейство через $\pi :X\to \mathbb {C}$ затем

$\mathbf {R} ^{0}\pi _{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})\cong \mathbf {R} ^{2}\pi _{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})\cong {\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {C} }$

и

$\mathbf {R} ^{1}\pi _{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})\cong {\mathcal {L}}_{\mathbb {C} -\{0,1\}}\oplus {\underline {\mathbb {Q} }}_{\{0,1\}}$

где стебли локальной системы ${\mathcal {L}}_{\mathbb {C} -\{0,1\}}$ изоморфны $\mathbb {Q} ^{2}$. Эта локальная монодромия вокруг этой локальной системы вокруг $0,1$ можно вычислить по формуле Пикара-Лефшеца .

Ссылки

Заметки семинара

• Ганнингем, Сэм; Хьюз, Ричард, Темы в D-модулях (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 21 сентября 2017 г.

Ссылки

• Артин, Майкл ; Гротендик, Александр ; Вердье, Жан-Луи , ред. (1972). Семинар Буа Мари по алгебраической геометрии - 1963-64 - Теория топосов и плоских когомологий схем - (SGA 4) - вып. 3 (PDF) . Конспекты лекций по математике (на французском языке). Полет. 305.Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . стр. ви+640. дои : 10.1007/BFb0070714 . ISBN  978-3-540-06118-2 . МР   0354654 .
• Димка, Александру (2004), Пучки в топологии , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-20665-1 , МР   2050072
• Пятница, Эберхард; Киль, Рейнхардт (1988), Этальные когомологии и гипотеза Вейля , Результаты математики и ее границ (3), том. 13, Берлин: Springer-Verlag, номер номера : 10.1007/978-3-662-02541-3 , ISBN.  3-540-12175-7 , МР   0926276