Локально постоянный пучок

В алгебраической топологии локально постоянный пучок на топологическом пространстве X — это пучок ${\mathcal {F}}$ на X такой, что для каждого x в X существует открытая окрестность U x такая , что ограничение ${\mathcal {F}}|_{U}$ является постоянным пучком на U . Ее еще называют локальной системой . Когда X — стратифицированное пространство , конструктивный пучок — это примерно пучок, локально постоянный на каждом члене стратификации.

Базовым примером является ориентационный пучок на многообразии, поскольку каждая точка многообразия допускает ориентируемую открытую окрестность (хотя само многообразие может быть неориентируемым).

В качестве другого примера пусть $X=\mathbb {C}$, ${\mathcal {O}}_{X}$ — пучок голоморфных функций на X и $P:{\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}$ данный $P=z{\partial \over \partial z}-{1 \over 2}$. Тогда ядро ​​P является локально постоянным пучком на $X-\{0\}$ но не постоянный (так как не имеет ненулевой глобальной секции).

Если ${\mathcal {F}}$ является локально постоянным пучком множеств в пространстве X , то каждый путь $p:[0,1]\to X$ в X определяет биекцию ${\mathcal {F}}_{p(0)}{\overset {\sim }{\to }}{\mathcal {F}}_{p(1)}.$ Более того, два гомотопических пути определяют одну и ту же биекцию. Следовательно, существует корректно определенный функтор

$\Pi _{1}X\to \mathbf {Set} ,\,x\mapsto {\mathcal {F}}_{x}$

где $\Pi _{1}X$ является фундаментальным группоидом X : категория , объекты которой являются точками X и чьи морфизмы являются гомотопическими классами путей. Более того, если X , линейно связен локально линейно связен и полулокально односвязен (поэтому X имеет универсальное покрытие ), то каждый функтор $\Pi _{1}X\to \mathbf {Set}$ имеет вышеуказанную форму; т. е. категория функтора $\mathbf {Fct} (\Pi _{1}X,\mathbf {Set} )$ эквивалентен на категории локально постоянных пучков X .

Если X , локально связно то между категорией предпучков и расслоений ограничивается эквивалентностью между категорией локально постоянных пучков и категорией пространств X. присоединение накрывающих

Ссылки

• Касивара, Масаки ; Шапира, Пьер (2002). Шкивы на многообразиях . Том. 292. Берлин: Шпрингер. дои : 10.1007/978-3-662-02661-8 . ISBN  978-3-662-02661-8 .
• Лурье, Дж. «§ A.1 высшей алгебры (последнее обновление: сентябрь 2017 г.)» (PDF) .

Внешние ссылки

• Локально постоянный пучок в n Lab
• https://golem.ph.utexas.edu/category/2010/11/locally_constant_sheaves.html (рекомендуется)