Голоморфная функция

Для теории Зариского голоморфных функций на алгебраическом многообразии см. формальную голоморфную функцию .

«Голоморфизм» перенаправляется сюда. Не путать с гомоморфизмом .

Прямоугольная сетка (вверху) и ее изображение под конформным отображением f (внизу).

В математике голоморфная функция — это комплекснозначная функция одной или нескольких комплексных переменных, которая комплексно дифференцируема в окрестности каждой точки области в комплексном координатном пространстве C. ^н . Существование комплексной производной в окрестности является очень сильным условием: из него следует, что голоморфная функция бесконечно дифференцируема и локально равна своему собственному ряду Тейлора ( аналитична ). Голоморфные функции — центральные объекты изучения комплексного анализа .

Хотя термин «аналитическая функция » часто используется как синоним «голоморфной функции», слово «аналитическая» определяется в более широком смысле для обозначения любой функции (действительной, комплексной или более общего типа), которую можно записать в виде сходящегося степенного ряда . в окрестности каждой точки своей области . То, что все голоморфные функции являются комплексными аналитическими функциями, и наоборот, является основной теоремой комплексного анализа .

Голоморфные функции также иногда называют регулярными функциями . Голоморфная функция, областью определения которой является вся комплексная плоскость, называется целой функцией . Фраза «голоморфный в точке z0 _но не просто дифференцируемый в точке , _z0 и дифференцируемый всюду в пределах некоторой окрестности точки z0 _{» означает} на комплексной плоскости.

Определение

Функция f ( z ) = z̅ не является комплексно дифференцируемой в нуле, поскольку, как показано выше, значение ( f ( z ) − f (0)) / ( z − 0) меняется в зависимости от направления приближения к нулю. . Вдоль действительной оси f равно функции g ( z ) = z и предел равен 1 , а вдоль мнимой оси f равен h ( z ) = − z и предел равен −1 . Другие направления накладывают еще и другие ограничения.

Учитывая комплексную функцию f одной комплексной переменной, производная f 0 в точке z _в ее области определения определяется как предел

$f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}.$

Это то же определение, что и для производной вещественной функции , за исключением того, что все величины являются комплексными. В частности, предел берется при комплексного числа z стремлении , _{к z0} а это означает, что одно и то же значение получается для любой последовательности комплексных значений z стремящейся к z0 _, . Если предел существует, то f называется комплексно дифференцируемым в точке z ₀ . Эта концепция комплексной дифференцируемости имеет несколько общих свойств с реальной дифференцируемостью : она линейна и подчиняется правилу произведения , правилу фактора и правилу цепочки .

Функция голоморфна на открытом множестве U , если она комплексно дифференцируема в каждой точке U . Функция f голоморфна , точке z0 _если она голоморфна в некоторой окрестности точки z0 _. в Функция голоморфна на некотором неоткрытом множестве A если она голоморфна в каждой точке A. ,

Функция может быть комплексно дифференцируемой в некоторой точке, но не голоморфной в этой точке. Например, функция $f(z)=|z|^{2}=z{\overline {z}}$ комплексно дифференцируема в точке 0 , но не комплексно дифференцируема в другом месте (см. уравнения Коши – Римана ниже). Итак, он не голоморфен в точке 0 .

Связь между вещественной дифференцируемостью и комплексной дифференцируемостью следующая: если комплексная функция f ( x + i y ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) голоморфна, то u и v имеют первые частные производные относительно x и y и удовлетворяют уравнениям Коши – Римана :

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\mbox{and}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\,$

или, что то же самое, производная Виртингера от f по ${\bar {z}},$ комплексное сопряжение ​ $z,$ равен нулю:

${\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0,$

то есть, грубо говоря, f функционально не зависит от ${\bar {z}},$ комплексно-сопряженное значение z .

Если непрерывность не задана, обратное не обязательно верно. Простое обратное состоит в том, что если u и v имеют непрерывные первые частные производные и удовлетворяют уравнениям Коши – Римана, то f голоморфна. Более удовлетворительным обратным утверждением, которое гораздо труднее доказать, является теорема Лумана-Меншоффа : если f непрерывна, u и v имеют первые частные производные (но не обязательно непрерывны) и удовлетворяют уравнениям Коши-Римана, f то голоморфный.

Терминология

Термин «голоморфный» был введен в 1875 году Шарлем Брио и Жан-Клодом Буке , двумя учениками Огюстена-Луи Коши , и происходит от греческого ὅλος ( hólos ), означающего «целое», и μορφή ( morphḗ ), означающего «форма» или «форма». «внешний вид» или «тип», в отличие от термина мероморфный, происходящего от μέρος ( méros ), означающего «часть». Голоморфная функция напоминает целую функцию («целое») в области комплексной плоскости, тогда как мероморфная функция (определяемая как голоморфная, за исключением определенных изолированных полюсов ) напоминает рациональную дробь («часть») целых функций в области. сложной плоскости. Вместо этого Коши использовал термин синектика .

Сегодня термин «голоморфная функция» иногда предпочитают термину «аналитическая функция». Важным результатом комплексного анализа является то, что каждая голоморфная функция является комплексно-аналитической, что не следует очевидным образом из определений. Однако термин «аналитический» также широко используется.

Свойства

Поскольку комплексное дифференцирование линейно и подчиняется правилам произведения, фактора и цепочки, суммы, произведения и композиции голоморфных функций голоморфны, а фактор двух голоморфных функций голоморфен везде, где знаменатель не равен нулю. То есть, если функции f и g голоморфны в области U , то голоморфны и f + g , f − g , f   g и f ∘ g . Более того, f / g голоморфна, если g не имеет нулей в U , или мероморфна в противном случае.

Если отождествить C с реальной плоскостью R ² , то голоморфные функции совпадают с теми функциями двух действительных переменных с непрерывными первыми производными, которые решают уравнения Коши–Римана , совокупность двух уравнений в частных производных .

Каждую голоморфную функцию можно разделить на действительную и мнимую части f ( x + i   y ) = u ( x , y ) + i   v ( x , y ) , и каждая из них является гармонической функцией на R ² (каждый из них удовлетворяет уравнению Лапласа ∇ ²  ты = ∇ ²  v = 0 ), где v гармоническое сопряжение u — . И наоборот, каждая гармоническая функция u ( x , y ) в односвязной области Ω ⊂ R ² является вещественной частью голоморфной функции: Если v является гармонически сопряженной функцией u , уникальной с точностью до константы, то f ( x + i   y ) = u ( x , y ) + i   v ( x , y ) голоморфна.

Интегральная теорема Коши подразумевает, что контурный интеграл каждой голоморфной функции вдоль петли равен нулю:

$\oint _{\gamma }f(z)\,dz=0.$

Здесь γ — спрямляемый путь в односвязной комплексной области U ⊂ C , начальная точка которого равна его конечной точке, а f : U → C — голоморфная функция.

Интегральная формула Коши утверждает, что каждая голоморфная внутри диска функция полностью определяется своими значениями на границе диска. Более того: предположим, что U ⊂ C — комплексная область, f : U → C — голоморфная функция и замкнутый диск D = { z : | z - z ₀ | ≤ r } содержится полностью в U . Пусть γ — круг, границу D образующий . для a внутри Тогда D : каждого

$f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz$

где контурный интеграл берется против часовой стрелки .

Производную f ′ ( a ) можно записать как контурный интеграл используя формулу дифференцирования Коши :

$f'(a)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }{f(z) \over (z-a)^{2}}\,dz,$

для любого простого цикла, положительно обвивающегося один раз вокруг a , и

$f'(a)=\lim \limits _{\gamma \to a}{\frac {i}{2{\mathcal {A}}(\gamma )}}\oint _{\gamma }f(z)\,d{\bar {z}},$

для бесконечно малых положительных петель γ вокруг a .

В областях, где первая производная не равна нулю, голоморфные функции конформны : они сохраняют углы и форму (но не размер) маленьких фигур.

Любая голоморфная функция аналитична . То есть голоморфная функция f имеет производные любого порядка в каждой точке a в своей области определения и совпадает со своим собственным рядом Тейлора в точке a в окрестности a . Фактически, f совпадает со своим рядом Тейлора в точке a в любом круге с центром в этой точке и лежащем в пределах области определения функции.

С алгебраической точки зрения множество голоморфных функций на открытом множестве представляет собой коммутативное кольцо и комплексное векторное пространство . Кроме того, множество голоморфных функций в открытом множестве U является областью целостности тогда и только тогда, когда открытое множество U связно. Фактически, это локально выпуклое топологическое векторное пространство , полунормы которого являются супремумами на компактных подмножествах .

С геометрической точки зрения функция f голоморфна в точке z ₀ тогда и только тогда, когда ее внешняя производная df в окрестности U точки z ₀ равна f ′ ( z ) dz для некоторой непрерывной функции f ′ . Это следует из

$\textstyle 0=d^{2}f=d(f^{\prime }dz)=df^{\prime }\wedge dz$

что df ′ также пропорциональна dz , а это означает, что производная f ′ сама голоморфна и, следовательно, f бесконечно дифференцируема. Аналогично, d ( f dz ) = f ′ dz ∧ dz = 0 означает, что любая функция f , голоморфная в односвязной области U также интегрируема на U. ,

(Для пути γ от z0 _, до z целиком лежащего в U , определим ${\textstyle F_{\gamma }(z)=F_{0}+\int _{\gamma }f\,dz;}$ в свете жордановой кривой и обобщенной теоремы Стокса , Fγ _F ( z ) не зависит от конкретного выбора пути γ , и, таким образом, ( z ) является четко определенной функцией на U, имеющей F ( z0 _{теоремы о} ) = F ₀ и dF = f dz .)

Примеры

Все полиномиальные функции от z с комплексными коэффициентами являются целыми функциями (голоморфными во всей комплексной плоскости C ), равно как и показательная функция exp z и тригонометрические функции ${\textstyle \cos {z}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\exp(iz)+\exp(-iz){\bigr )}}$ и ${\textstyle \sin {z}=-{\tfrac {1}{2}}i{\bigl (}\exp(iz)-\exp(-iz){\bigr )}}$ (ср. формулу Эйлера ). Главная ветвь комплексного логарифма z log } голоморфна в области C ∖ { z ∈ R : z ≤ 0 . Функцию квадратного корня можно определить как ${\textstyle {\sqrt {z}}=\exp {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\log z{\bigr )}}$ и поэтому голоморфен везде, где есть логарифм log z . 1 Обратная функция / z голоморфна на C ∖ {0} . (Обратная функция, как и любая другая рациональная функция , мероморфна на C. )

Как следствие уравнений Коши-Римана , любая голоморфная функция с действительным знаком должна быть постоянной . Следовательно, абсолютное значение | г   | , аргумент arg( z ) , действительная часть Re( z ) и мнимая часть Im( z ) не голоморфны. Другой типичный пример непрерывной функции, не являющейся голоморфной, — это комплексно-сопряженная функция. ${\bar {z}}.$ (Комплексное сопряжение антиголоморфно .)

Несколько переменных

Определение голоморфной функции напрямую обобщается на несколько комплексных переменных. Функция $f:(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})\mapsto f(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})$ в n комплексных переменных является аналитическим в точке p, если существует окрестность точки p , в которой f равно сходящемуся степенному ряду от n комплексных переменных; функция f голоморфна в открытом подмножестве U C в ^н если оно аналитично в каждой точке U . Лемма Осгуда показывает (с использованием многомерной интегральной формулы Коши), что для непрерывной функции f это эквивалентно тому, что f голоморфна по каждой переменной отдельно (это означает, что если любые n - 1 координат фиксированы, то ограничение f является голоморфным функция оставшейся координаты). Гораздо более глубокая теорема Хартогса доказывает, что предположение о непрерывности не является необходимым: f голоморфен тогда и только тогда, когда он голоморфен по каждой переменной в отдельности.

В более общем смысле, функция нескольких комплексных переменных, интегрируемая с квадратом по каждому компактному подмножеству своей области определения, является аналитической тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям Коши – Римана в смысле распределений.

Функции нескольких комплексных переменных в некоторых основных отношениях более сложны, чем функции одной комплексной переменной. Например, область сходимости степенного ряда не обязательно представляет собой открытый шар; эти области представляют собой логарифмически-выпуклые области Рейнхардта , простейшим примером которых является полидиск . Однако они также имеют некоторые фундаментальные ограничения. В отличие от функций одной комплексной переменной, возможные области, в которых существуют голоморфные функции, которые не могут быть расширены на более крупные области, сильно ограничены. Такое множество называется областью голоморфности .

Комплексная дифференциальная ( p , 0) -форма α голоморфна тогда и только тогда, когда ее антиголоморфная производная Дольбо равна нулю: ∂ α = 0 .

функционального

Основная статья: бесконечномерная голоморфия

Понятие голоморфной функции можно распространить на бесконечномерные пространства функционального анализа . Например, производная Фреше или Гато может использоваться для определения понятия голоморфной функции в банаховом пространстве над полем комплексных чисел.

См. также

• Первообразная (комплексный анализ)
• Антиголоморфная функция
• Биголоморфия
• Голоморфная разделимость
• Мероморфная функция
• Квадратурные домены
• Гармонические карты
• Гармонические морфизмы
• Производные Виртингера

Дальнейшее чтение

• Блейки, Джозеф (1958). Университетская математика (2-е изд.). Лондон: Блэки и сыновья. ОСЛК   2370110 .

Внешние ссылки

• «Аналитическая функция» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]