Самый низкий и самый высокий

Набор $P$ действительных чисел (полые и закрашенные кружки), подмножество $S$ из $P$ (закрашенные кружки) и нижняя грань $S.$ Обратите внимание, что для полностью упорядоченных конечных множеств нижняя грань и минимум равны.

Набор $A$ действительных чисел (синие кружки), набор верхних границ $A$ (красный ромб и кружки), а также наименьшую такую ​​верхнюю границу, то есть верхнюю границу $A$ (красный ромб).

В математике нижняя грань (сокращенно inf ; множественное число infima ) подмножества $S$ множества частично упорядоченного $P$ является величайшим элементом в $P$ что меньше или равно каждому элементу $S,$ если такой элемент существует. Если нижняя грань $S$ существует, оно уникально, и если b — нижняя граница $S$, то b меньше или равно нижней части $S$. термин «наибольшая нижняя граница» (сокращенно GLB ). Следовательно, также часто используется Супремум подмножества (сокращенно супрема ; множественное число супрема ) $S$ частично упорядоченного множества $P$ является наименьшим элементом в $P$ которое больше или равно каждому элементу $S,$ если такой элемент существует. Если верхняя грань $S$ существует, оно уникально, и если b является верхней границей $S$, то верхняя грань $S$ меньше или равно b . Следовательно, супремум также называют наименьшей верхней границей (или LUB ).

Нижняя грань в точном смысле двойственна понятию супремума. Инфима и супрема действительных чисел являются обычными частными случаями, которые важны в анализе , и особенно в интегрировании Лебега . Однако общие определения остаются верными и в более абстрактной теории порядка , где рассматриваются произвольные частично упорядоченные множества.

Понятия нижней и верхней границы близки к минимуму и максимуму , но более полезны при анализе, поскольку лучше характеризуют специальные множества, которые могут не иметь ни минимума, ни максимума . Например, набор положительных действительных чисел $\mathbb {R} ^{+}$ (не включая $0$) не имеет минимума, поскольку любой заданный элемент $\mathbb {R} ^{+}$ можно просто разделить пополам, в результате чего получится меньшее число, которое все еще находится в $\mathbb {R} ^{+}.$ Однако существует ровно одна нижняя грань положительных действительных чисел относительно действительных чисел: $0,$ которое меньше всех положительных действительных чисел и больше любого другого действительного числа, которое можно использовать в качестве нижней границы. Нижняя грань набора всегда и только определяется относительно надмножества рассматриваемого набора. Например, нет нижней нижней границы положительных действительных чисел внутри положительных действительных чисел (как их собственного надмножества), а также нет нижней нижней границы положительных действительных чисел внутри комплексных чисел с положительной действительной частью.

Формальное определение

супремум = наименьшая верхняя граница

Нижняя граница подмножества $S$ множества частично упорядоченного $(P,\leq )$ это элемент $a$ из $P$ такой, что

• $a\leq x$ для всех $x\in S.$

Нижняя граница $a$ из $S$ называется инфимумом (или наибольшей нижней границей , или пересечением ) $S$ если

• для всех нижних границ $y$ из $S$ в $P,$ $y\leq a$ ( $a$ больше любой другой нижней границы).

Аналогично, верхняя граница подмножества $S$ частично упорядоченного множества $(P,\leq )$ это элемент $b$ из $P$ такой, что

• $b\geq x$ для всех $x\in S.$

Верхняя граница $b$ из $S$ называется супремумом (или наименьшей верхней границей или соединением ) $S$ если

• для всех верхних границ $z$ из $S$ в $P,$ $z\geq b$ ( $b$ меньше любой другой верхней границы).

Существование и уникальность

Инфима и супрема не обязательно существуют. Существование инфимума подмножества $S$ из $P$ может потерпеть неудачу, если $S$ не имеет нижней границы вообще или если множество нижних границ не содержит наибольшего элемента. (Примером этого является подмножество $\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\}$ из $\mathbb {Q}$. У него есть верхние границы, например 1,5, но нет супремума. $\mathbb {Q}$.)

Следовательно, особенно интересными становятся частично упорядоченные множества, для которых известно существование определенных инфим. Например, решетка — это частично упорядоченное множество, в котором все непустые конечные подмножества имеют как верхнюю, так и нижнюю грани, а полная решетка — это частично упорядоченное множество, в котором все подмножества имеют как верхнюю, так и нижнюю грани. Дополнительную информацию о различных классах частично упорядоченных множеств, возникающих из таких соображений, можно найти в статье о свойствах полноты .

Если верхняя грань подмножества $S$ существует, он уникален. Если $S$ содержит наибольший элемент, то этот элемент является супремумом; в противном случае верхняя грань не принадлежит $S$ (или не существует). Аналогично, если нижняя грань существует, она уникальна. Если $S$ содержит наименьший элемент, то этот элемент является нижней границей; в противном случае нижняя грань не принадлежит $S$ (или не существует).

Связь с максимальными и минимальными элементами

Нижняя грань подмножества $S$ частично упорядоченного множества $P,$ предполагая, что он существует, не обязательно принадлежит $S.$ Если да, то это минимальный или наименьший элемент $S.$ Аналогично, если верхняя грань $S$ принадлежит $S,$ это максимальный или величайший элемент $S.$

Например, рассмотрим набор отрицательных действительных чисел (исключая ноль). В этом множестве нет наибольшего элемента, поскольку на каждый элемент множества приходится другой, больший элемент. Например, для любого отрицательного действительного числа $x,$ есть еще одно отрицательное действительное число ${\tfrac {x}{2}},$ что больше. С другой стороны, каждое действительное число, большее или равное нулю, заведомо является верхней границей этого множества. Следовательно, $0$ — это наименьшая верхняя граница отрицательных действительных чисел, поэтому верхняя граница равна 0. В этом наборе есть верхняя граница, но нет наибольшего элемента.

Однако определение максимальных и минимальных элементов является более общим. В частности, множество может иметь много максимальных и минимальных элементов, тогда как нижняя и верхняя части уникальны.

В то время как максимумы и минимумы должны быть членами рассматриваемого подмножества, нижняя и верхняя границы подмножества не обязательно сами должны быть членами этого подмножества.

Минимальные верхние границы

Наконец, частично упорядоченный набор может иметь множество минимальных верхних границ, но не иметь ни одной наименьшей верхней границы. Минимальные верхние границы — это такие верхние границы, для которых не существует строго меньшего элемента, который также является верхней границей. Это не означает, что каждая минимальная верхняя граница меньше всех других верхних границ, она просто не больше. Различие между «минимальным» и «наименьшим» возможно только тогда, когда данный порядок не является полным . В полностью упорядоченном наборе, подобном действительным числам, понятия одни и те же.

В качестве примера позвольте $S$ — множество всех конечных подмножеств натуральных чисел и рассмотрим частично упорядоченное множество, полученное взятием всех наборов из $S$ вместе с набором целых чисел $\mathbb {Z}$ и набор положительных действительных чисел $\mathbb {R} ^{+},$ упорядочены по включению подмножества, как указано выше. Тогда очевидно, что оба $\mathbb {Z}$ и $\mathbb {R} ^{+}$ больше, чем все конечные множества натуральных чисел. Тем не менее, ни $\mathbb {R} ^{+}$ меньше, чем $\mathbb {Z}$ неверно и обратное: оба множества являются минимальными верхними границами, но ни одно из них не является супремумом.

Свойство с наименьшей верхней границей

Основная статья: Свойство с наименьшей верхней границей

Свойство наименьшей верхней границы является примером вышеупомянутых свойств полноты , которые типичны для набора действительных чисел. Это свойство иногда называют дедекиндовой полнотой .

Если упорядоченный набор $S$ обладает тем свойством, что каждое непустое подмножество $S$ имеющий верхнюю границу, также имеет и наименьшую верхнюю границу, тогда $S$ Говорят, что оно имеет свойство наименьшей верхней границы. Как отмечалось выше, набор $\mathbb {R}$ всех действительных чисел имеет свойство наименьшей верхней границы. Аналогично, набор $\mathbb {Z}$ целых чисел имеет свойство наименьшей верхней границы; если $S$ является непустым подмножеством $\mathbb {Z}$ и есть какое-то число $n$ такой, что каждый элемент $s$ из $S$ меньше или равно $n,$ тогда существует наименьшая верхняя граница $u$ для $S,$ целое число, которое является верхней границей для $S$ и меньше или равно любой другой верхней границе для $S.$ набор Хорошо упорядоченный также обладает свойством наименьшей верхней границы, а пустое подмножество также имеет наименьшую верхнюю границу: минимум всего набора.

Примером набора, в котором отсутствует свойство наименьшей верхней границы, является $\mathbb {Q} ,$ совокупность рациональных чисел. Позволять $S$ быть множеством всех рациональных чисел $q$ такой, что $q^{2}<2.$ Затем $S$ имеет верхнюю границу ( $1000,$ например, или $6$), но без последней верхней границы $\mathbb {Q}$: Если мы предположим $p\in \mathbb {Q}$ является наименьшей верхней границей, немедленно выводится противоречие, поскольку между любыми двумя действительными числами $x$ и $y$ (включая ${\sqrt {2}}$ и $p$) существует некоторое рациональное $r,$ что само по себе должно было бы быть наименьшей верхней границей (если $p>{\sqrt {2}}$) или член $S$ больше, чем $p$ (если $p<{\sqrt {2}}$). Другой пример — гиперреальность ; не существует наименьшей верхней границы множества положительных бесконечно малых.

Существует соответствующее свойство наибольшей нижней границы ; упорядоченный набор обладает свойством наибольшей нижней границы тогда и только тогда, когда он также обладает свойством наименьшей верхней границы; наименьшая верхняя граница набора нижних границ набора является наибольшей нижней границей, а наибольшая нижняя граница набора верхних границ набора является наименьшей верхней границей набора.

Если в частично упорядоченном множестве $P$ каждое ограниченное подмножество имеет верхнюю грань, это относится и к любому множеству $X,$ в функциональном пространстве, содержащем все функции из $X$ к $P,$ где $f\leq g$ тогда и только тогда, когда $f(x)\leq g(x)$ для всех $x\in X.$ Например, это применимо к реальным функциям, и, поскольку их можно рассматривать как частные случаи функций, для реальных функций $n$-кортежи и последовательности действительных чисел.

Свойство наименьшей верхней границы является индикатором супремумы.

Инфима и супрема действительных чисел

В анализе нижняя и верхняя части подмножеств $S$ действительных чисел особенно важны. Например, отрицательные действительные числа не имеют наибольшего элемента, а их верхняя грань равна $0$ (что не является отрицательным действительным числом). Полнота действительных чисел подразумевает (и эквивалентно), что любое ограниченное непустое подмножество $S$ действительных чисел имеет нижнюю и верхнюю границы. Если $S$ не ограничено снизу, часто формально пишут $\inf _{}S=-\infty .$ Если $S$ пусто один , пишет $\inf _{}S=+\infty .$

Характеристики

Если $A$ тогда это любой набор действительных чисел $A\neq \varnothing$ тогда и только тогда, когда $\sup A\geq \inf A,$ и в противном случае $-\infty =\sup \varnothing <\inf \varnothing =\infty .$

Если $A\subseteq B$ являются наборами действительных чисел, тогда $\inf A\geq \inf B$ (пока не $A=\varnothing \neq B$) и $\sup A\leq \sup B.$

Определение инфимы и супремы

Если нижняя грань $A$ существует (т. $\inf A$ действительное число) и если $p$ тогда любое действительное число $p=\inf A$ тогда и только тогда, когда $p$ является нижней границей и для каждого $\epsilon >0$ есть $a_{\epsilon }\in A$ с $a_{\epsilon }<p+\epsilon .$ Аналогично, если $\sup A$ действительное число, и если $p$ тогда любое действительное число $p=\sup A$ тогда и только тогда, когда $p$ является верхней границей, и если для каждого $\epsilon >0$ есть $a_{\epsilon }\in A$ с $a_{\epsilon }>p-\epsilon .$

Связь с пределами последовательностей

Если $S\neq \varnothing$ если любое непустое множество действительных чисел, то всегда существует неубывающая последовательность $s_{1}\leq s_{2}\leq \cdots$ в $S$ такой, что $\lim _{n\to \infty }s_{n}=\sup S.$ Аналогично будет существовать (возможно, другая) невозрастающая последовательность $s_{1}\geq s_{2}\geq \cdots$ в $S$ такой, что $\lim _{n\to \infty }s_{n}=\inf S.$

Выражение нижней и верхней граней как предела такой последовательности позволяет применять теоремы из различных разделов математики. Рассмотрим, например, хорошо известный факт из топологии : если $f$ является непрерывной функцией и $s_{1},s_{2},\ldots$ — это последовательность точек в своей области определения, сходящаяся к точке $p,$ затем $f\left(s_{1}\right),f\left(s_{2}\right),\ldots$ обязательно сходится к $f(p).$ Это означает, что если $\lim _{n\to \infty }s_{n}=\sup S$ действительное число (где все $s_{1},s_{2},\ldots$ находятся в $S$) и если $f$ — непрерывная функция, область определения которой содержит $S$ и $\sup S,$ затем $$f(\sup S)=f\left(\lim _{n\to \infty }s_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }f\left(s_{n}\right),$$который (например) гарантирует что $f(\sup S)$ является точкой присоединения множества $f(S)\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\{f(s):s\in S\}.$Если в дополнение к принятому непрерывная функция $f$ также является возрастающей или неубывающей функцией , то можно даже заключить, что $\sup f(S)=f(\sup S).$ Это можно применить, например, для вывода о том, что всякий раз, когда $g$ — действительная (или комплексная ) функция с областью определения $\Omega \neq \varnothing$ чей суп норма $\|g\|_{\infty }\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\sup _{x\in \Omega }|g(x)|$ конечно, то для любого неотрицательного действительного числа $q,$$$\|g\|_{\infty }^{q}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\sup _{x\in \Omega }|g(x)|\right)^{q}=\sup _{x\in \Omega }\left(|g(x)|^{q}\right)$$поскольку карта $f:[0,\infty )\to \mathbb {R}$ определяется $f(x)=x^{q}$ — непрерывная неубывающая функция, область определения которой $[0,\infty )$ всегда содержит $S:=\{|g(x)|:x\in \Omega \}$ и $\sup S\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\|g\|_{\infty }.$

Хотя эта дискуссия была сосредоточена на $\sup ,$ аналогичные выводы можно сделать и для $\inf$ с соответствующими изменениями (например, требованием, чтобы $f$ быть не возрастающим, а не убывающим). Другие нормы, определенные с точки зрения $\sup$ или $\inf$ включать слабых $L^{p,w}$ космические нормы (для $1\leq p<\infty$), норма в пространстве Лебега $L^{\infty }(\Omega ,\mu ),$ и нормы оператора . Монотонные последовательности в $S$ которые сходятся к $\sup S$ (или чтобы $\inf S$) также можно использовать для доказательства многих формул, приведенных ниже, поскольку сложение и умножение действительных чисел являются непрерывными операциями.

Арифметические операции над множествами

Следующие формулы зависят от обозначений, которые удобно обобщают арифметические операции над множествами. Через, $A,B\subseteq \mathbb {R}$ представляют собой наборы действительных чисел.

Сумма наборов

двух Сумма Минковского множеств $A$ и $B$ действительных чисел - это набор $$A+B~:=~\{a+b:a\in A,b\in B\}$$ состоящая из всех возможных арифметических сумм пар чисел, по одному из каждого набора. Нижняя и верхняя границы суммы Минковского удовлетворяют $$\inf(A+B)=(\inf A)+(\inf B)$$ и $$\sup(A+B)=(\sup A)+(\sup B).$$

Продукт наборов

Умножение двух множеств $A$ и $B$ действительных чисел определяется аналогично их сумме Минковского: $$A\cdot B~:=~\{a\cdot b:a\in A,b\in B\}.$$

Если $A$ и $B$ являются непустыми множествами положительных действительных чисел, тогда $\inf(A\cdot B)=(\inf A)\cdot (\inf B)$ и аналогично для супремам $\sup(A\cdot B)=(\sup A)\cdot (\sup B).$

Скалярное произведение множества

Произведение действительного числа $r$ и набор $B$ действительных чисел - это набор $$rB~:=~\{r\cdot b:b\in B\}.$$

Если $r\geq 0$ затем $$\inf(r\cdot A)=r(\inf A)\quad {\text{ and }}\quad \sup(r\cdot A)=r(\sup A),$$в то время как если $r\leq 0$ затем $$\inf(r\cdot A)=r(\sup A)\quad {\text{ and }}\quad \sup(r\cdot A)=r(\inf A).$$ С использованием $r=-1$ и обозначения ${\textstyle -A:=(-1)A=\{-a:a\in A\},}$ отсюда следует, что $$\inf(-A)=-\sup A\quad {\text{ and }}\quad \sup(-A)=-\inf A.$$

Мультипликативное обратное множество

Для любого набора $S$ который не содержит $0,$ позволять $${\frac {1}{S}}~:=\;\left\{{\tfrac {1}{s}}:s\in S\right\}.$$

Если $S\subseteq (0,\infty )$ непусто тогда $${\frac {1}{\sup _{}S}}~=~\inf _{}{\frac {1}{S}}$$ где это уравнение также выполняется, когда $\sup _{}S=\infty$ если определение ${\frac {1}{\infty }}:=0$ используется. Альтернативно это равенство можно записать как ${\frac {1}{\displaystyle \sup _{s\in S}s}}=\inf _{s\in S}{\tfrac {1}{s}}.$ Более того, $\inf _{}S=0$ тогда и только тогда, когда $\sup _{}{\tfrac {1}{S}}=\infty ,$ где если $\inf _{}S>0,$ затем ${\tfrac {1}{\inf _{}S}}=\sup _{}{\tfrac {1}{S}}.$

Двойственность

Если обозначить через $P^{\operatorname {op} }$ частично упорядоченное множество $P$ с противоположным отношением порядка ; то есть для всех $x{\text{ and }}y,$ заявляю: $$x\leq y{\text{ in }}P^{\operatorname {op} }\quad {\text{ if and only if }}\quad x\geq y{\text{ in }}P,$$тогда нижняя грань подмножества $S$ в $P$ равно верхней границе $S$ в $P^{\operatorname {op} }$ и наоборот.

Для подмножеств действительных чисел справедлив другой вид двойственности: $\inf S=-\sup(-S),$ где $-S:=\{-s~:~s\in S\}.$

Примеры

Самый низкий

• Нижняя грань набора чисел $\{2,3,4\}$ является $2.$ Число $1$ является нижней границей, но не наивысшей нижней границей и, следовательно, не нижней границей.
• В более общем смысле, если в наборе есть наименьший элемент, то наименьший элемент является нижней границей набора. В этом случае его еще называют минимумом множества.
• $\inf\{1,2,3,\ldots \}=1.$
• $\inf\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=0.$
• $\inf \left\{x\in \mathbb {Q} :x^{3}>2\right\}={\sqrt[{3}]{2}}.$
• $\inf \left\{(-1)^{n}+{\tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,\ldots \right\}=-1.$
• Если $\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ представляет собой убывающую последовательность с пределом $x,$ затем $\inf x_{n}=x.$

Верховный

• Верхняя грань множества чисел $\{1,2,3\}$ является $3.$ Число $4$ является верхней границей, но не наименьшей верхней границей и, следовательно, не является супремумом.
• $\sup\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=\sup\{x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq 1\}=1.$
• $\sup \left\{(-1)^{n}-{\tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,\ldots \right\}=1.$
• $\sup\{a+b:a\in A,b\in B\}=\sup A+\sup B.$
• $\sup \left\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\right\}={\sqrt {2}}.$

В последнем примере верхняя грань множества рациональных чисел иррациональна , что означает , что рациональные числа неполны .

Одним из основных свойств супремума является $$\sup\{f(t)+g(t):t\in A\}~\leq ~\sup\{f(t):t\in A\}+\sup\{g(t):t\in A\}$$для любого функционала $f$ и $g.$

Супремум подмножества $S$ из $(\mathbb {N} ,\mid \,)$ где $\,\mid \,$ обозначает « делит », является наименьшим общим кратным элементов $S.$

Верхняя грань множества $S$ содержащие подмножества некоторого множества $X$ - это объединение подмножеств при рассмотрении частично упорядоченного множества $(P(X),\subseteq )$, где $P$ это мощности набор $X$ и $\,\subseteq \,$ является подмножеством .

См. также

• Essential Supremum и Essential Infimum – Infimum и Supremum почти везде. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Наибольший элемент и наименьший элемент – элемент ≥ (или ≤) друг друга.
• Максимальные и минимальные элементы - элемент, который не является ≤ (или ≥) каким-либо другим элементом.
• Ограничить верхний и нижний предел — границы последовательности. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления (нижний предел).
• Верхние и нижние границы – мажоранта и миноранта в математике

Ссылки

• Рокафеллар, Р. Тиррелл ; Уэтс, Роджер Ж.-Б. (26 июня 2009 г.). Вариационный анализ . Основные принципы математических наук. Том 317. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media . ISBN  9783642024313 . OCLC   883392544 .

Внешние ссылки

• «Верхние и нижние границы» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Брайтенбах, Джером Р. и Вайсштейн, Эрик В. «Инфимум и супремум» . Математический мир .