Квазинорма

Не путать с полунормой и псевдонормой .

В линейной алгебре , функциональном анализе и смежных областях математики квазинорма неравенство аналогична норме в том смысле, что она удовлетворяет аксиомам нормы, за исключением того, что треугольника заменяется на

$$\|x+y\|\leq K(\|x\|+\|y\|)$$

для некоторых $K>1.$

Определение

А квазиполунорма в векторном пространстве $X$ это карта с действительным значением $p$ на $X$ который удовлетворяет следующим условиям:

1. Неотрицательность : $p\geq 0;$
2. Абсолютная однородность : $p(sx)=|s|p(x)$ для всех $x\in X$ и все скаляры $s;$
3. существует настоящий $k\geq 1$ такой, что $p(x+y)\leq k[p(x)+p(y)]$ для всех $x,y\in X.$
   • Если $k=1$ то это неравенство сводится к неравенству треугольника . Именно в этом смысле это условие обобщает обычное неравенство треугольника.

А квазинорма является квазиполунормой, которая также удовлетворяет:

4. Положительно определенный / Разделение точек : если $x\in X$ удовлетворяет $p(x)=0,$ затем $x=0.$

Пара $(X,p)$ состоящий из векторного пространства $X$ и связанная с ним квазиполунорма $p$ называется квазиполунормированное векторное пространство . Если квазиполунорма является квазинормой, то ее еще называют квазинормированное векторное пространство .

Множитель

всех Нижняя грань значений $k$ удовлетворяющие условию (3), называется множитель ​ $p.$ Сам множитель также будет удовлетворять условию (3), поэтому это уникальное наименьшее действительное число, удовлетворяющее этому условию. Термин $k$-квази-полунорма иногда используется для описания квази-полунормы, множитель которой равен $k.$

Норма ) – это просто квазинорма ( соответственно (соответственно полунорма квазиполунорма), множитель которой равен $1.$ Таким образом, каждая полунорма является квазиполунормой, а каждая норма является квазинормой (и квазиполунормой).

Топология

Если $p$ является квазинормой относительно $X$ затем $p$ индуцирует векторную топологию на $X$ базис окрестности которого в начале координат задается множествами:

$$\{x\in X:p(x)<1/n\}$$

как $n$ колеблется в пределах положительных целых чисел. Топологическое векторное пространство с такой топологией называется квазинормированное топологическое векторное пространство или просто квазинормированное пространство .

Каждое квазинормированное топологическое векторное пространство псевдометризуемо .

Полное квазинормированное пространство называется квазибанахово пространство . Каждое банахово пространство является квазибанаховым пространством, хотя и не наоборот.

Связанные определения

Смотрите также: Банахова алгебра

Квазинормированное пространство $(A,\|\,\cdot \,\|)$ называется квазинормированная алгебра, если векторное пространство $A$ является алгеброй и существует константа $K>0$ такой, что

$$\|xy\|\leq K\|x\|\cdot \|y\|$$

для всех $x,y\in A.$

Полная квазинормированная алгебра называется квазибанахова алгебра .

Характеристики

Топологическое векторное пространство (ТВП) является квазинормированным пространством тогда и только тогда, когда оно имеет ограниченную окрестность начала координат.

Примеры

Поскольку каждая норма является квазинормой, каждое нормированное пространство также является квазинормированным пространством.

$L^{p}$ пространства с $0<p<1$

The $L^{p}$ места для $0<p<1$ являются квазинормированными пространствами (на самом деле, они даже являются F-пространствами ), но они, вообще говоря, не нормируемы (это означает, что не может существовать никакой нормы, определяющей их топологию). Для $0<p<1,$ пространство Лебега $L^{p}([0,1])$ является полным метризуемым TVS ( F-пространством ), которое не является локально выпуклым (фактически, его единственные выпуклые открытые подмножества сами по себе являются $L^{p}([0,1])$ и пустое множество) и единственный непрерывный линейный функционал на $L^{p}([0,1])$ константа $0$ функция ( Рудин 1991 , §1.47). В частности, теорема Хана-Банаха не справедлива для $L^{p}([0,1])$ когда $0<p<1.$

См. также

• Метризуемое топологическое векторное пространство - топологическое векторное пространство, топология которого может быть определена метрикой.
• Норма (математика) – Длина в векторном пространстве.
• Полунорма - функция с неотрицательным действительным знаком в действительном или комплексном векторном пространстве, которая удовлетворяет неравенству треугольника и является абсолютно однородной. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Топологическое векторное пространство - векторное пространство с понятием близости.

Ссылки

• Олл, Чарльз Э.; Роберт Лоуэн (2001). Справочник по истории общей топологии . Спрингер . ISBN  0-7923-6970-Х .
• Конвей, Джон Б. (1990). Курс функционального анализа . Спрингер . ISBN  0-387-97245-5 .
• Калтон, Н. (1986). «Плюрисубгармонические функции в квазибанаховых пространствах» (PDF) . Студия Математика . 84 (3). Институт математики Польской академии наук: 297–324. дои : 10.4064/см-84-3-297-324 . ISSN   0039-3223 .
• Никольский, Николай Капитонович (1992). Функциональный анализ I: Линейный функциональный анализ . Энциклопедия математических наук. Том. 19. Спрингер . ISBN  3-540-50584-9 .
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . ЦРК Пресс . ISBN  0-8247-8643-2 .
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc.  978-0-486-49353-4 . OCLC   849801114 .