Билинейная карта

В математике билинейная карта — это функция , объединяющая элементы двух векторных пространств для получения элемента третьего векторного пространства и линейная по каждому из своих аргументов. умножение матриц Примером может служить .

Определение [ править ]

Векторные пространства [ править ]

Позволять $V,W$ и $X$ быть тремя векторными пространствами над одним и тем же базовым полем $F$ . Билинейное отображение — это функция

B:V\times W\to X

такой, что для всех

w\in W

, карта

B_{w}

v\mapsto B(v,w)

представляет собой линейную карту из

V

к

X,

и для всех

v\in V

, карта

B_{v}

w\mapsto B(v,w)

представляет собой линейную карту из

W

к

X.

Другими словами, когда мы фиксируем первую запись билинейного отображения, позволяя изменять вторую запись, результатом является линейный оператор, и аналогично, когда мы фиксируем вторую запись.

Такая карта $B$ удовлетворяет следующим свойствам.

Для любого $\lambda \in F$ , $B(\lambda v,w)=B(v,\lambda w)=\lambda B(v,w).$
Карта $B$ является аддитивным по обеим компонентам: если $v_{1},v_{2}\in V$ и $w_{1},w_{2}\in W,$ затем $B(v_{1}+v_{2},w)=B(v_{1},w)+B(v_{2},w)$ и $B(v,w_{1}+w_{2})=B(v,w_{1})+B(v,w_{2}).$

Если $V=W$ и у нас есть B ( v , w ) = B ( w , v ) для всех $v,w\in V,$ тогда мы говорим, B симметричен что . Если X — базовое поле F , то отображение называется билинейной формой , которые хорошо изучены (например: скалярное произведение , скалярное произведение и квадратичная форма ).

Модули [ править ]

Определение работает без каких-либо изменений, если вместо векторных пространств над полем использовать модули над коммутативным кольцом R. F Он обобщается на n -арные функции, где собственный член является полилинейным .

Для некоммутативных колец R и S , левого R -модуля M и правого S -модуля N билинейным отображением называется отображение B : M × N → T , что T является ( R , S ) -бимодулем такое и для которого любой n из N , m ↦ B ( m , n ) является гомоморфизмом R модуля, и для любого m из M n - ↦ B ( m , n ) является гомоморфизмом S -модуля. Это удовлетворяет

B ( р ⋅ м , п ) знак равно р ⋅ B ( м , п )

B ( м , п ⋅ s ) знак равно B ( м , п ) ⋅ s

для всех m в M , n в N , r в R и s в S , а также B является аддитивным в каждом аргументе.

Свойства [ править ]

Непосредственным следствием определения является то, что B ( v , w ) = 0 _X всякий раз, когда v = 0 _V или w = 0 _W . В этом можно убедиться, записав нулевой вектор 0 _V как 0 ⋅ 0 _V (и аналогично для 0 _W ) и переместив скаляр 0 «снаружи», перед B , по линейности.

Множество L ( V , W ; X ) всех билинейных отображений является линейным подпространством пространства ( векторного пространства , модуля ) всех отображений из V × W в X. т.е.

Если V , W , X конечномерны , то и тоже L ( V , W ; X ) . Для $X=F,$ то есть билинейные формы, размерность этого пространства равна dim V × dim W (в то время как пространство L ( V × W ; F ) линейных форм имеет размерность dim V + dim W ). Чтобы убедиться в этом, выберите основу для V и W ; тогда каждая билинейная карта может быть однозначно представлена матрицей B ( e _i , f _j ) и наоборот. Теперь, если X — пространство более высокой размерности, мы, очевидно, имеем dim L ( V , W ; X ) = dim × dim W × dim X. V

Примеры [ править ]

Умножение матриц — это билинейное отображение M( m , n ) × M( n , p ) → M( m , p ) .
Если векторное пространство V над действительными числами $\mathbb {R}$ содержит внутренний продукт , то внутренний продукт представляет собой билинейное отображение $V\times V\to \mathbb {R} .$
В общем, для векторного пространства V над полем F билинейная форма на V аналогична билинейному отображению V × V → F .
Если V — векторное пространство с двойственным пространством V ^∗, то каноническое отображение оценки , b ( f , v ) = f ( v ) является билинейным отображением из V ^∗ × V к базовому полю.
Пусть V и W — векторные пространства над одним и тем же базовым полем F . Если f является членом V ^∗ и член W ^∗, то b ( v , w ) = f ( v ) g ( w ) определяет билинейное отображение V × W → F .
Перекрестное произведение в $\mathbb {R} ^{3}$ это билинейная карта $\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}.$
Позволять $B:V\times W\to X$ быть билинейным отображением, и $L:U\to W$ — линейное отображение , то ( v , u ↦ B ( v , Lu ) — билинейное отображение на V × U. )

Непрерывность и отдельная непрерывность [ править ]

Предполагать $X,Y,$ и $Z$ являются топологическими векторными пространствами и пусть $b:X\times Y\to Z$ быть билинейным отображением. Тогда b говорят, что раздельно непрерывен , если выполняются следующие два условия:

для всех $x\in X,$ карта $Y\to Z$ данный $y\mapsto b(x,y)$ является непрерывным;
для всех $y\in Y,$ карта $X\to Z$ данный $x\mapsto b(x,y)$ является непрерывным.

Многие отдельно непрерывные билинейные, которые не являются непрерывными, удовлетворяют дополнительному свойству: гипонепрерывности . ^[1] Все непрерывные билинейные отображения гипонепрерывны.

Достаточные условия для непрерывности [ править ]

Многие билинейные карты, встречающиеся на практике, по отдельности непрерывны, но не все из них непрерывны. Здесь мы перечислим достаточные условия непрерывности отдельно непрерывного билинейного отображения.

Если X — пространство Бэра и Y метризуемо , то каждое отдельно непрерывное билинейное отображение $b:X\times Y\to Z$ является непрерывным. ^[1]
Если $X,Y,{\text{ and }}Z$ являются сильными двойственными , пространствами Фреше то каждое отдельно непрерывное билинейное отображение $b:X\times Y\to Z$ является непрерывным. ^[1]
Если билинейное отображение непрерывно в точке (0, 0), то оно непрерывно всюду. ^[2]

Карта состава [ править ]

Позволять $X,Y,{\text{ and }}Z$ — локально выпуклые хаусдорфовы пространства и пусть $C:L(X;Y)\times L(Y;Z)\to L(X;Z)$ быть композиционной картой, определяемой $C(u,v):=v\circ u.$ В общем, билинейное отображение $C$ не является непрерывным (какими бы топологиями ни были заданы пространства линейных отображений). Однако мы имеем следующие результаты:

Присвойте всем трем пространствам линейных отображений одну из следующих топологий:

дать всем трем топологию ограниченной сходимости;
дать всем трем топологию компактной сходимости ;
дать всем трем топологию поточечной сходимости .

Если $E$ является равнонепрерывным подмножеством $L(Y;Z)$ тогда ограничение $C{\big \vert }_{L(X;Y)\times E}:L(X;Y)\times E\to L(X;Z)$ является непрерывным для всех трех топологий. ^[1]
Если $Y$ это бочкообразное пространство , тогда для каждой последовательности $\left(u_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ сходящиеся к $u$ в $L(X;Y)$ и каждая последовательность $\left(v_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ сходящиеся к $v$ в $L(Y;Z),$ последовательность $\left(v_{i}\circ u_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ сходится к $v\circ u$ в $L(Y;Z).$ ^[1]

См. также [ править ]

Тензорное произведение — математические операции над векторными пространствами.
Полуторалинейная форма - обобщение билинейной формы.
Билинейная фильтрация — метод интерполяции функций на двумерной сетке.
Мультилинейная карта - векторная функция нескольких векторов, линейная по каждому аргументу.

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это Тревес 2006 , стр. 424–426.
^ Шефер и Вольф 1999 , с. 118.

Библиография [ править ]

Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .

Внешние ссылки [ править ]

«Билинейное отображение» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[FOOTNOTETrèves2006424–426-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это Тревес 2006 , стр. 424–426.

[FOOTNOTESchaeferWolff1999118-2] Шефер и Вольф 1999 , с. 118.

[1]

[2]