Гипонепрерывная билинейная карта

В математике гипонепрерывность — это условие на билинейных отображениях топологических векторных пространств , которое слабее, чем непрерывность, но сильнее, чем отдельная непрерывность . Многие важные билинейные отображения, которые не являются непрерывными, на самом деле являются гипонепрерывными.

Определение

Если $X$, $Y$ и $Z$ являются топологическими векторными пространствами, то билинейное отображение $\beta :X\times Y\to Z$ называется гипонепрерывным, если выполняются следующие два условия:

• для каждого ограниченного множества $A\subseteq X$ набор линейных карт $\{\beta (x,\cdot )\mid x\in A\}$ является равнонепрерывным подмножеством $Hom(Y,Z)$, и
• для каждого ограниченного множества $B\subseteq Y$ набор линейных карт $\{\beta (\cdot ,y)\mid y\in B\}$ является равнонепрерывным подмножеством $Hom(X,Z)$.

Достаточные условия

Теорема : Пусть X и Y — бочечные пространства , а Z — локально выпуклое пространство. Тогда каждое отдельно непрерывное билинейное отображение $X\times Y$ в Z гипонепрерывна.

Примеры

• Если X — хаусдорфово локально выпуклое бочкообразное пространство над полем $\mathbb {F}$, то билинейное отображение $X\times X^{\prime }\to \mathbb {F}$ определяется $\left(x,x^{\prime }\right)\mapsto \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }\left(x\right)$ является гипонепрерывным.

См. также

• Билинейная карта - функция двух векторов, линейных по каждому аргументу.
• Двойная система

Библиография

• Бурбаки, Николя (1987), Топологические векторные пространства , Элементы математики, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-13627-9
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .