Теорема о ядре Шварца

В математике теорема о ядре Шварца является основополагающим результатом теории обобщенных функций , опубликованной Лораном Шварцем в 1952 году. В общих чертах она утверждает, что обобщенные функции, введенные Шварцем ( распределения Шварца ), имеют теорию с двумя переменными, которая включает все разумные билинейные формы в пространстве ${\mathcal {D}}$ тестовых функций . Пространство ${\mathcal {D}}$ сама состоит из гладких функций компактного носителя .

Формулировка теоремы

Позволять $X$ и $Y$ быть открытым, входит в $\mathbb {R} ^{n}$. Каждая раздача $k\in {\mathcal {D}}'(X\times Y)$ определяет непрерывная линейная карта $K\colon {\mathcal {D}}(Y)\to {\mathcal {D}}'(X)$ такой, что

$\left\langle k,u\otimes v\right\rangle =\left\langle Kv,u\right\rangle$ ( 1 )

для каждого $u\in {\mathcal {D}}(X),v\in {\mathcal {D}}(Y)$. Обратно, для любого такого непрерывного линейного отображения $K$ существует одно и только одно распределение $k\in {\mathcal {D}}'(X\times Y)$ такое, что ( 1 ) выполнено. Распределение $k$ это ядро ​​карты $K$.

Примечание

Учитывая распределение $k\in {\mathcal {D}}'(X\times Y)$ линейную карту K всегда можно неформально записать как

$Kv=\int _{Y}k(\cdot ,y)v(y)dy$

так что

$\langle Kv,u\rangle =\int _{X}\int _{Y}k(x,y)v(y)u(x)dydx$.

Интегральные ядра

Традиционные функции ядра $K(x,y)$ двух переменных теории интегральных операторов были расширены за счет включения их обобщенных аналогов функций, которым разрешено быть более сингулярными в серьезном смысле, большой класс операторов из ${\mathcal {D}}$ в свое двойное пространство ${\mathcal {D}}'$ распределений можно построить. Суть теоремы состоит в том, чтобы утверждать, что расширенный класс операторов можно охарактеризовать абстрактно, как содержащий все операторы, подчиняющиеся условию минимальной непрерывности. Билинейная форма на ${\mathcal {D}}$ возникает путем объединения распределения изображений с тестовой функцией.

Простой пример: естественное вложение пространства тестовых функций ${\mathcal {D}}$ в ${\mathcal {D}}'$ - отправка каждой тестовой функции $f$ в соответствующее распределение $[f]$ - соответствует дельта-распределению

$\delta (x-y)$

сосредоточено на диагонали подчеркнутого евклидова пространства, с точки зрения дельта-функции Дирака $\delta$. Хотя это всего лишь наблюдение, оно показывает, как теория распределения расширяет возможности. Интегральные операторы не такие уж «особые»; другой способ выразить это так: для $K$ непрерывное ядро, только компактные операторы, такие как непрерывные функции на в пространстве создаются $[0,1]$. Оператор $I$ далеко не компактен, и его ядро ​​интуитивно говоря аппроксимируется функциями на $[0,1]\times [0,1]$ с шипом по диагонали $x=y$ и исчезает в другом месте.

Этот результат подразумевает, что формирование распределений обладает основным свойством «замыкания» в традиционной области функционального анализа . Это было интерпретировано (комментарий Жана Дьедонне ) как убедительное подтверждение пригодности теории распределений Шварца для более широко распространенного математического анализа. В его «Элементах анализа» , том 7, стр. В разделе 3 он отмечает, что эта теорема включает дифференциальные операторы наравне с интегральными операторами, и приходит к выводу, что это, возможно, самый важный современный результат функционального анализа. Он сразу же уточняет это утверждение, говоря, что ситуация слишком «обширна» для дифференциальных операторов из-за свойства монотонности относительно носителя функции , которое очевидно для дифференцирования. Даже монотонность относительно сингулярного носителя не характерна для общего случая; его рассмотрение ведет в направлении современной теории псевдодифференциальных операторов .

Гладкие коллекторы

Дьедонне доказывает версию результата Шварца, справедливую для гладких многообразий , а также дополнительные подтверждающие результаты в разделах с 23.9 по 23.12 этой книги .

Обобщение на ядерные пространства

Большая часть теории ядерных пространств была разработана Александром Гротендиком при исследовании теоремы о ядре Шварца и опубликована Гротендиком в 1955 году . Имеем следующее обобщение теоремы.

Теорема о ядре Шварца : Предположим, что X — ядерная форма , Y — локально выпуклая, а v — непрерывная билинейная форма на $X\times Y$. Тогда v возникает из пространства вида $X_{A^{\prime }}^{\prime }{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y_{B^{\prime }}^{\prime }$ где $A^{\prime }$ и $B^{\prime }$ являются подходящими равнонепрерывными подмножествами $X^{\prime }$ и $Y^{\prime }$. Эквивалентно, v имеет форму:

$v(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}\left\langle x,x_{i}^{\prime }\right\rangle \left\langle y,y_{i}^{\prime }\right\rangle$ для всех $(x,y)\in X\times Y$

где $\left(\lambda _{i}\right)\in l^{1}$ и каждый из $\{x_{1}^{\prime },x_{2}^{\prime },\ldots \}$ и $\{y_{1}^{\prime },y_{2}^{\prime },\ldots \}$ являются равнонепрерывными. Более того, эти последовательности можно считать нулевыми последовательностями (т.е. сходящимися к 0) в $X_{A^{\prime }}^{\prime }$ и $Y_{B^{\prime }}^{\prime }$, соответственно.

См. также

• Ядро Фредгольма - тип ядра в банаховом пространстве. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Инъективное тензорное произведение
• Ядерный оператор - линейный оператор, связанный с топологическими векторными пространствами.
• Ядерное пространство - обобщение конечномерных евклидовых пространств, отличное от гильбертовых пространств.
• Проективное тензорное произведение - тензорное произведение, определенное в двух топологических векторных пространствах. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Оснащенное гильбертово пространство - конструкция, связывающая изучение «связанных» и непрерывных собственных значений в функциональном анализе.
• Класс трассировки - компактный оператор, для которого можно определить конечный след.

Библиография

• Гротендик, Александр (1955). «Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires» [Топологические тензорные произведения и ядерные пространства]. Мемуары Американского математического общества (на французском языке). 16 . Провиденс: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-1216-7 . МР   0075539 . OCLC   1315788 .
• Хёрмандер, Л. (1983). Анализ линейных операторов в частных производных I . Базовый Математика. Том 256. Спрингер. дои : 10.1007/978-3-642-96750-4 . ISBN  3-540-12104-8 . МР   0717035 . .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Вонг, Яу-Чуэн (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-09513-6 . OCLC   5126158 .

Внешние ссылки

• Г.Л. Литвинов (2001) [1994], "Ядерная билинейная форма" , Энциклопедия Математики , EMS Press