Теорема Мин-Макса

В линейной алгебре и функциональном анализе теорема о мин-максе , или вариационная теорема , или принцип мин-макса Куранта-Фишера-Вейля — это результат, который дает вариационную характеристику собственных значений компактных эрмитовых операторов в гильбертовых пространствах . Его можно рассматривать как отправную точку многих результатов аналогичного характера.

В этой статье сначала обсуждается конечномерный случай и его приложения, прежде чем рассматривать компактные операторы в бесконечномерных гильбертовых пространствах. Мы увидим, что для компактных операторов доказательство основной теоремы по существу использует ту же идею, что и конечномерное рассуждение.

В случае, если оператор неэрмитов, теорема обеспечивает эквивалентную характеристику связанных сингулярных значений . Теорему о мин-максе можно распространить на самосопряженные операторы , ограниченные снизу.

Матрицы [ править ]

Пусть $A$ — $размера n \times n$ эрмитова матрица . Как и во многих других вариационных результатах о собственных значениях, рассматривается фактор Рэлея–Ритца $R A : C н \ {0} → R$ , определенный формулой

R_{A}(x)={\frac {(Ax,x)}{(x,x)}}

где $(\cdot, \cdot)$ обозначает евклидово скалярное произведение на $C н$ . Очевидно, что фактор Рэлея собственного вектора является связанным с ним собственным значением. Эквивалентно частное Рэлея – Ритца можно заменить на

f(x)=(Ax,x),\;\|x\|=1.

Для эрмитовых матриц A диапазон непрерывной функции R _A ( x ) или f ( x ) представляет собой компактный интервал [ a , b ] действительной прямой. Максимум b и минимум a являются наибольшим и наименьшим собственным значением A соответственно. Теорема о мин-максе является уточнением этого факта.

Теорема о Мин-Максе [ править ]

Позволять ${\textstyle A}$ быть эрмитовым в пространстве внутреннего продукта ${\textstyle V}$ с размером ${\textstyle n}$ , со спектром, упорядоченным по убыванию ${\textstyle \lambda _{1}\geq ...\geq \lambda _{n}}$ .

Позволять ${\textstyle v_{1},...,v_{n}}$ — соответствующие ортогональные собственные векторы единичной длины.

Обратный порядок спектра, так что ${\textstyle \xi _{1}=\lambda _{n},...,\xi _{n}=\lambda _{1}}$ .

(неравенство Пуанкаре) — Пусть ${\textstyle M}$ быть подпространством ${\textstyle V}$ с размером ${\textstyle k}$ , то существуют единичные векторы ${\textstyle x,y\in M}$ , такой, что

${\textstyle \langle x,Ax\rangle \leq \lambda _{k}}$ , и ${\textstyle \langle y,Ay\rangle \geq \xi _{k}}$ .

Доказательство

Часть 2 является следствием, используя ${\textstyle -A}$ .

${\textstyle M}$ это ${\textstyle k}$ размерное подпространство, поэтому, если мы выберем любой список ${\textstyle n-k+1}$ векторы, их размах ${\textstyle N:=span(v_{k},...v_{n})}$ должен пересекаться ${\textstyle M}$ хотя бы в одной строке.

Взять отряд ${\textstyle x\in M\cap N}$ . Это то, что нам нужно.

{\textstyle x=\sum _{i=k}^{n}a_{i}v_{i}}

, с

{\textstyle x\in N}

.

С

{\textstyle \sum _{i=k}^{n}|a_{i}|^{2}=1}

, мы нашли

{\textstyle \langle x,Ax\rangle =\sum _{i=k}^{n}|a_{i}|^{2}\lambda _{i}\leq \lambda _{k}}

.

теорема мин-макс —

{\begin{aligned}\lambda _{k}&=\max _{\begin{array}{c}{\mathcal {M}}\subset V\\\operatorname {dim} ({\mathcal {M}})=k\end{array}}\min _{\begin{array}{c}x\in {\mathcal {M}}\\\|x\|=1\end{array}}\langle x,Ax\rangle \\&=\min _{\begin{array}{c}{\mathcal {M}}\subset V\\\operatorname {dim} ({\mathcal {M}})=n-k+1\end{array}}\max _{\begin{array}{c}x\in {\mathcal {M}}\\\|x\|=1\end{array}}\langle x,Ax\rangle {\text{. }}\end{aligned}}

Доказательство

Часть 2 является следствием части 1, используя ${\textstyle -A}$ .

По неравенству Пуанкаре ${\textstyle \lambda _{k}}$ является верхней границей правой части.

Установив ${\textstyle {\mathcal {M}}=span(v_{1},...v_{k})}$ , достигается верхняя граница.

неэрмитовом случае в Контрпример

Пусть N — нильпотентная матрица

{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.

Определите коэффициент Рэлея $R_{N}(x)$ точно так же, как указано выше в эрмитовом случае. Тогда легко видеть, что единственное собственное значение N равно нулю, а максимальное значение фактора Рэлея равно нулю. $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/2 $ . То есть максимальное значение коэффициента Рэлея больше максимального собственного значения.

Приложения [ править ]

Принцип мин-макса для сингулярных значений [ править ]

Сингулярные значения { σ _k } квадратной матрицы M являются квадратными корнями собственных значений M * M (эквивалентно MM* ). Непосредственное последствие ^{[ нужна цитата ]} первого равенства в теореме о мин-максе:

\sigma _{k}^{\uparrow }=\min _{S:\dim(S)=k}\max _{x\in S,\|x\|=1}(M^{*}Mx,x)^{\frac {1}{2}}=\min _{S:\dim(S)=k}\max _{x\in S,\|x\|=1}\|Mx\|.

Сходным образом,

\sigma _{k}^{\uparrow }=\max _{S:\dim(S)=n-k+1}\min _{x\in S,\|x\|=1}\|Mx\|.

Здесь $\sigma _{k}=\sigma _{k}^{\uparrow }$ обозначает к ^й вход в возрастающую последовательность σ, так что $\sigma _{1}\leq \sigma _{2}\leq \cdots$ .

Коши о переплетении Теорема

Пусть $A$ — симметричная матрица размера n × n . Матрица m × m размера B , где m ≤ n , называется сжатием матрицы $A$ , если существует ортогональная проекция P на подпространство размерности m такая, что * = B. PAP Теорема Коши о переплетении гласит:

Теорема. Если собственные значения

A

равны

α 1 \leq ... \leq α n

, а собственные значения B равны

β 1 \leq ... \leq β j \leq ... \leq β m

, то для всех

j \leq m

,

\alpha _{j}\leq \beta _{j}\leq \alpha _{n-m+j}.

Это можно доказать, используя принцип мин-макса. Пусть β _i имеет соответствующий собственный вектор b _i и S _j — j- мерное подпространство $S j = span{b 1, ..., b j},$ тогда

\beta _{j}=\max _{x\in S_{j},\|x\|=1}(Bx,x)=\max _{x\in S_{j},\|x\|=1}(PAP^{*}x,x)\geq \min _{S_{j}}\max _{x\in S_{j},\|x\|=1}(A(P^{*}x),P^{*}x)=\alpha _{j}.

Согласно первой части min-max, $α j \leq β j .$ С другой стороны, если мы определим $S m - j +1 = span{b j, ..., b m},$ то

\beta _{j}=\min _{x\in S_{m-j+1},\|x\|=1}(Bx,x)=\min _{x\in S_{m-j+1},\|x\|=1}(PAP^{*}x,x)=\min _{x\in S_{m-j+1},\|x\|=1}(A(P^{*}x),P^{*}x)\leq \alpha _{n-m+j},

где последнее неравенство задается второй частью min-max.

Когда $n - m = 1$ , мы имеем $α j \leq β j \leq α j +1$ , отсюда и название теоремы переплетения .

Компактные операторы [ править ]

Пусть $A$ — компактный эрмитов оператор в гильбертовом H. пространстве Напомним, что спектр такого оператора (множество собственных значений) представляет собой набор действительных чисел, единственная возможная точка кластеризации которого равна нулю. Таким образом, удобно перечислить положительные собственные значения $A$ в виде

\cdots \leq \lambda _{k}\leq \cdots \leq \lambda _{1},

где записи повторяются с кратностью , как и в матричном случае. (Чтобы подчеркнуть, что последовательность убывающая, можно написать $\lambda _{k}=\lambda _{k}^{\downarrow }$ .) Когда H бесконечномерен, указанная выше последовательность собственных значений обязательно бесконечна. Теперь применим те же рассуждения, что и в матричном случае. Полагая S _k ⊂ H — k- мерное подпространство, мы можем получить следующую теорему.

Теорема (Мин-Макс). Пусть

A

— компактный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве

H

, положительные собственные значения которого перечислены в порядке убывания

... \leq λ k \leq ... \leq λ 1

. Затем:

{\begin{aligned}\max _{S_{k}}\min _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)&=\lambda _{k}^{\downarrow },\\\min _{S_{k-1}}\max _{x\in S_{k-1}^{\perp },\|x\|=1}(Ax,x)&=\lambda _{k}^{\downarrow }.\end{aligned}}

Аналогичная пара равенств справедлива и для отрицательных собственных значений.

Доказательство

Пусть S' — замыкание линейной оболочки $S'=\operatorname {span} \{u_{k},u_{k+1},\ldots \}$ . Подпространство S' имеет коразмерность k - 1. По тому же аргументу подсчета размерностей, что и в матричном случае, S' ∩ S _k имеет положительную размерность. Итак, существует x ∈ S' ∩ Sk _такой , что $\|x\|=1$ . Поскольку это элемент S' , такой x обязательно удовлетворяет

(Ax,x)\leq \lambda _{k}.

Следовательно, для всех S _k

\inf _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)\leq \lambda _{k}

Но $A$ компактен, поэтому функция f ( x ) = ( Ax , x ) слабо непрерывна. Более того, любое ограниченное множество в H слабо компактно. Это позволяет заменить нижнюю границу минимумом:

\min _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)\leq \lambda _{k}.

Так

\sup _{S_{k}}\min _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)\leq \lambda _{k}.

Потому что равенство достигается тогда, когда $S_{k}=\operatorname {span} \{u_{1},\ldots ,u_{k}\}$ ,

\max _{S_{k}}\min _{x\in S_{k},\|x\|=1}(Ax,x)=\lambda _{k}.

Это первая часть теоремы о мин-максе для компактных самосопряженных операторов.

Аналогично, рассмотрим теперь $(k - 1)$ -мерное подпространство S _{k −1} , ортогональное дополнение которого обозначается через S _{k −1.}^⊥. Если S' = span{ u ₁ ... u _k },

S'\cap S_{k-1}^{\perp }\neq {0}.

Так

\exists x\in S_{k-1}^{\perp }\,\|x\|=1,(Ax,x)\geq \lambda _{k}.

Из этого следует

\max _{x\in S_{k-1}^{\perp },\|x\|=1}(Ax,x)\geq \lambda _{k}

компактность A. где применена Индекс вышеприведенного набора k-1 -мерных подпространств дает

\inf _{S_{k-1}}\max _{x\in S_{k-1}^{\perp },\|x\|=1}(Ax,x)\geq \lambda _{k}.

Выберем S _{k −1} = span{ u ₁ , ..., u _{k −1} } и выведем

\min _{S_{k-1}}\max _{x\in S_{k-1}^{\perp },\|x\|=1}(Ax,x)=\lambda _{k}.

Самосопряженные операторы [ править ]

Теорема о мин-максе также применима к (возможно, неограниченным) самосопряженным операторам. ^[1]^[2]Напомним, что существенным спектром является спектр без изолированных собственных значений конечной кратности. Иногда у нас есть собственные значения ниже существенного спектра, и мы хотели бы аппроксимировать собственные значения и собственные функции.

Теорема (Мин-Макс). Пусть A самосопряжено и пусть

E_{1}\leq E_{2}\leq E_{3}\leq \cdots

— собственные значения оператора A ниже существенного спектра. Затем

$E_{n}=\min _{\psi _{1},\ldots ,\psi _{n}}\max\{\langle \psi ,A\psi \rangle :\psi \in \operatorname {span} (\psi _{1},\ldots ,\psi _{n}),\,\|\psi \|=1\}$ .

Если у нас есть только N собственных значений и, следовательно, у нас закончились собственные значения, то мы позволяем $E_{n}:=\inf \sigma _{ess}(A)$ (нижняя часть существенного спектра) для n>N , и приведенное выше утверждение справедливо после замены min-max на inf-sup.

Теорема (Макс-Мин). Пусть A самосопряжено и пусть

E_{1}\leq E_{2}\leq E_{3}\leq \cdots

— собственные значения оператора A ниже существенного спектра. Затем

$E_{n}=\max _{\psi _{1},\ldots ,\psi _{n-1}}\min\{\langle \psi ,A\psi \rangle :\psi \perp \psi _{1},\ldots ,\psi _{n-1},\,\|\psi \|=1\}$ .

Если у нас есть только N собственных значений и, следовательно, у нас закончились собственные значения, то мы позволяем $E_{n}:=\inf \sigma _{ess}(A)$ (нижняя часть существенного спектра) для n > N , и приведенное выше утверждение справедливо после замены max-min на sup-inf.

Доказательства ^[1]^[2] используйте следующие результаты о самосопряженных операторах:

Теорема. Пусть A самосопряженная. Затем

(A-E)\geq 0

для

E\in \mathbb {R}

если и только если

\sigma (A)\subseteq [E,\infty )

. ^[1]^: 77

Теорема. Если А самосопряжено, то

$\inf \sigma (A)=\inf _{\psi \in {\mathfrak {D}}(A),\|\psi \|=1}\langle \psi ,A\psi \rangle$

и

$\sup \sigma (A)=\sup _{\psi \in {\mathfrak {D}}(A),\|\psi \|=1}\langle \psi ,A\psi \rangle$ . ^[1]^: 77

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Г. Тешль, Математические методы в квантовой механике (GSM 99) https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/schroe.pdf
^ Перейти обратно: ^а ^б Либ; Потеря (2001). Анализ . GSM. Том. 14 (2-е изд.). Провиденс: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-2783-9 .

Внешние ссылки и цитаты на соответствующие работы [ править ]

Фиск, Стив (2005). «Очень краткое доказательство теоремы Коши о переплетении собственных значений эрмитовых матриц». arXiv : math/0502408 .
Хван, Сук-Гын (2004). «Теорема Коши о переплетении собственных значений эрмитовых матриц» . Американский математический ежемесячник . 111 (2): 157–159. дои : 10.2307/4145217 . JSTOR 4145217 .
Клайн, Джеффри (2020). «Эрмитовы матрицы с границами и суммы функции Мёбиуса» . Линейная алгебра и ее приложения . 588 : 224–237. дои : 10.1016/j.laa.2019.12.004 .
Рид, Майкл; Саймон, Барри (1978). Методы современной математической физики IV: Анализ операторов . Академическая пресса. ISBN 978-0-08-057045-7 .

[teschl-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Г. Тешль, Математические методы в квантовой механике (GSM 99) https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/schroe.pdf

[lieb-loss-2] Перейти обратно: ^а ^б Либ; Потеря (2001). Анализ . GSM. Том. 14 (2-е изд.). Провиденс: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-2783-9 .

[1]

[2]

v т Это Анализ в топологических векторных пространствах
Basic concepts	Abstract Wiener space Classical Wiener space Bochner space Convex series Cylinder set measure Infinite-dimensional vector function Matrix calculus Vector calculus
Derivatives	Differentiable vector–valued functions from Euclidean space Differentiation in Fréchet spaces Fréchet derivative Total Functional derivative Gateaux derivative Directional Generalizations of the derivative Hadamard derivative Holomorphic Quasi-derivative
Measurability	Besov measure Cylinder set measure Canonical Gaussian Classical Wiener measure Measure like set functions infinite-dimensional Gaussian measure Projection-valued Vector Bochner / Weakly / Strongly measurable function Radonifying function
Integrals	Bochner Direct integral Dunford Gelfand–Pettis/Weak Regulated Paley–Wiener
Results	Cameron–Martin theorem Inverse function theorem Nash–Moser theorem Feldman–Hájek theorem No infinite-dimensional Lebesgue measure Sazonov's theorem Structure theorem for Gaussian measures
Related	Crinkled arc Covariance operator
Functional calculus	Borel functional calculus Continuous functional calculus Holomorphic functional calculus
Applications	Banach manifold (bundle) Convenient vector space Choquet theory Fréchet manifold Hilbert manifold

v т Это Спектральная теория и ^*-алгебры
Basic concepts	Involution/-algebra Banach algebra B-algebra C-algebra Noncommutative topology Projection-valued measure Spectrum Spectrum of a C-algebra Spectral radius Operator space
Main results	Gelfand–Mazur theorem Gelfand–Naimark theorem Gelfand representation Polar decomposition Singular value decomposition Spectral theorem Spectral theory of normal C*-algebras
Special Elements/Operators	Isospectral Normal operator Hermitian/Self-adjoint operator Unitary operator Unit
Spectrum	Krein–Rutman theorem Normal eigenvalue Spectrum of a C*-algebra Spectral radius Spectral asymmetry Spectral gap
Decomposition	Decomposition of a spectrum Continuous Point Residual Approximate point Compression Direct integral Discrete Spectral abscissa
Spectral Theorem	Borel functional calculus Min-max theorem Positive operator-valued measure Projection-valued measure Riesz projector Rigged Hilbert space Spectral theorem Spectral theory of compact operators Spectral theory of normal C*-algebras
Special algebras	Amenable Banach algebra With an Approximate identity Banach function algebra Disk algebra Nuclear C*-algebra Uniform algebra Von Neumann algebra Tomita–Takesaki theory
Finite-Dimensional	Alon–Boppana bound Bauer–Fike theorem Numerical range Schur–Horn theorem
Generalizations	Dirac spectrum Essential spectrum Pseudospectrum Structure space (Shilov boundary)
Miscellaneous	Abstract index group Banach algebra cohomology Cohen–Hewitt factorization theorem Extensions of symmetric operators Fredholm theory Limiting absorption principle Schröder–Bernstein theorems for operator algebras Sherman–Takeda theorem Unbounded operator
Examples	Wiener algebra
Applications	Almost Mathieu operator Corona theorem Hearing the shape of a drum (Dirichlet eigenvalue) Heat kernel Kuznetsov trace formula Lax pair Proto-value function Ramanujan graph Rayleigh–Faber–Krahn inequality Spectral geometry Spectral method Spectral theory of ordinary differential equations Sturm–Liouville theory Superstrong approximation Transfer operator Transform theory Weyl law Wiener–Khinchin theorem