Глоссарий функционального анализа

Это глоссарий терминологии в математической области функционального анализа .

На протяжении всей статьи, если не указано иное, базовым полем векторного пространства является поле действительных или комплексных чисел. Алгебры не считаются едиными.

См. также: Список банаховых пространств .

* [ редактировать ]

*: *-гомоморфизм между инволютивными банаховыми алгебрами — это гомоморфизм алгебр, сохраняющий *.

А [ править ]

абелев: Синоним слова «коммутативный»; например, абелева банахова алгебра означает коммутативную банахову алгебру.
Алаоглу: Теорема Алаоглу утверждает, что замкнутый единичный шар в нормированном пространстве компактен в слабой топологии .
помощник: Сопряженный к ограниченному линейному оператору $T:H_{1}\to H_{2}$ между гильбертовыми пространствами — ограниченный линейный оператор $T^{*}:H_{2}\to H_{1}$ такой, что $\langle Tx,y\rangle =\langle x,T^{*}y\rangle$ для каждого $x\in H_{1},y\in H_{2}$ .
приблизительная личность: В не обязательно единичной банаховой алгебре приближенное тождество представляет собой последовательность или сеть. $\{u_{i}\}$ элементов таких, что $u_{i}x\to x,xu_{i}\to x$ как $i\to \infty$ для каждого x в алгебре.
свойство аппроксимации: Говорят, что банахово пространство обладает свойством аппроксимации , если каждый компактный оператор является пределом операторов конечного ранга.

Б [ править ]

Бэр

Теорема Бэра о категории утверждает, что полное метрическое пространство является пространством Бэра; если

U_{i}

является последовательностью открытых плотных подмножеств, то

\cap _{1}^{\infty }U_{i}

плотный.

Банах

1. Банахово пространство — это нормированное векторное пространство, полное как метрическое пространство.

2. Банахова алгебра — это банахово пространство, имеющее структуру возможно неединичной ассоциативной алгебры такую, что

\|xy\|\leq \|x\|\|y\|

для каждого

x,y

в алгебре.

Бессель

Неравенство Бесселя гласит: учитывая ортонормированный набор S и вектор x в гильбертовом пространстве,

\sum _{u\in S}|\langle x,u\rangle |^{2}\leq \|x\|^{2}

, ^[1]

где равенство выполняется тогда и только тогда, когда S — ортонормированный базис; т.е. максимальное ортонормированное множество.

ограниченный

— Ограниченный оператор это линейный оператор между банаховыми пространствами, для которого образ единичного шара ограничен.

Ортогональность Биркгофа

Два вектора x и y в нормированном линейном пространстве называются ортогональными по Биркгофу, если

\|x+\lambda y\|\geq \|x\|

для всех скаляров λ. Если нормированное линейное пространство является гильбертовым, то оно эквивалентно обычной ортогональности.

С [ править ]

Калкин

Алгебра Калкина в гильбертовом пространстве — это фактор алгебры всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве по идеалу, порожденному компактными операторами.

Неравенство Коши – Шварца

Неравенство Коши – Шварца гласит: для каждой пары векторов

x,y

во внутреннем пространстве продукта,

|\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\|y\|

.

закрыто

Теорема о замкнутом графике утверждает, что линейный оператор между банаховыми пространствами непрерывен (ограничен) тогда и только тогда, когда он имеет замкнутый график.

они обмениваются

1. Другое название « центратора »; т. е . коммутант подмножества S алгебры представляет собой алгебру элементов, коммутирующих с каждым элементом алгебры S , и обозначается через

S'

.

2. Теорема фон Неймана о двойном коммутанте утверждает, что невырожденная *-алгебра

{\mathfrak {M}}

операторов в гильбертовом пространстве является алгеброй фон Неймана тогда и только тогда, когда

{\mathfrak {M}}''={\mathfrak {M}}

.

компактный

Компактный оператор — это линейный оператор между банаховыми пространствами, для которого образ единичного шара предкомпактен.

С*

Алгебра C * — это инволютивная банахова алгебра, удовлетворяющая

\|x^{*}x\|=\|x^{*}\|\|x\|

.

выпуклый

— Локально выпуклое пространство это топологическое векторное пространство, топология которого порождается выпуклыми подмножествами.

циклический

Учитывая представление

(\pi ,V)

банаховой алгебры

A

, циклический вектор — это вектор

v\in V

такой, что

\pi (A)v

плотный в

V

.

Д [ править ]

прямой: С философской точки зрения прямой интеграл — это непрерывный аналог прямой суммы.

Ф [ править ]

фактор: Фактор – это алгебра фон Неймана с тривиальным центром.
верный: Линейный функционал $\omega$ на инволютивной алгебре является точным , если $\omega (x^{*}x)\neq 0$ для каждого ненулевого элемента $x$ в алгебре.
Фреше: Пространство Фреше — это топологическое векторное пространство, топология которого задается счетным семейством полунорм (что делает его метрическим пространством) и которое является полным как метрическое пространство.
Фредхольм: Оператор Фредгольма — это ограниченный оператор, который имеет замкнутый образ, а ядра оператора и сопряженного оператора имеют конечномерность.

Г [ править ]

Гельфанд: 1. Теорема Гельфанда–Мазура утверждает, что банахова алгебра, являющаяся телом, является полем комплексных чисел.; 2. Гельфандовское представление коммутативной банаховой алгебры $A$ со спектром $\Omega (A)$ — гомоморфизм алгебры $F:A\to C_{0}(\Omega (A))$ , где $C_{0}(X)$ обозначает алгебру непрерывных функций на $X$ исчезающий в бесконечности, что определяется формулой $F(x)(\omega )=\omega (x)$ . Это *-сохраняющий изометрический изоморфизм, если $A$ является коммутативной C*-алгеброй.
Гротендик: Неравенство Гротендика .

Х [ править ]

Хан-Банах: Теорема Хана – Банаха гласит: если задан линейный функционал $\ell$ на подпространстве комплексного векторного пространства V , если абсолютное значение $\ell$ ограничен сверху полунормой на V , то он продолжается до линейного функционала на V, все еще ограниченного полунормой. Геометрически это обобщение теоремы о разделении гиперплоскостей .
Гильберт: 1. Гильбертово пространство — это пространство внутреннего произведения, полное как метрическое пространство.; 2. В теории Томиты–Такесаки (левой или правой) гильбертовой алгеброй называется некоторая алгебра с инволюцией.
Гильберт-Шмидт: 1. Норма Гильберта–Шмидта ограниченного оператора $T$ в гильбертовом пространстве есть $\sum _{i}\|Te_{i}\|^{2}$ где $\{e_{i}\}$ является ортонормированным базисом гильбертова пространства.; 2. Оператор Гильберта–Шмидта – это ограниченный оператор с конечной нормой Гильберта–Шмидта.

Я [ править ]

индекс: 1. Индекс фредгольмова оператора $T:H_{1}\to H_{2}$ целое число $\operatorname {dim} (\operatorname {ker} (T^{*}))-\operatorname {dim} (\operatorname {ker} (T))$ .; 2. Теорема Атьи–Зингера об индексе .
индексная группа: Индексная группа банаховой алгебры с единицей — это факторгруппа $G(A)/G_{0}(A)$ где $G(A)$ - это единичная группа из A и $G_{0}(A)$ личностный компонент группы.
внутренний продукт: 1. Внутреннее произведение в вещественном или комплексном векторном пространстве. $V$ это функция $\langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\to \mathbb {R}$ такой, что для каждого $v,w\in V$ , (1) $x\mapsto \langle x,v\rangle$ является линейным и (2) $\langle v,w\rangle ={\overline {\langle w,v\rangle }}$ где черта означает комплексно-сопряженное число.; 2. Пространство внутреннего продукта — это векторное пространство, снабженное внутренним продуктом.
инволюция: 1. Инволюция банаховой алгебры A – это изометрический эндоморфизм. $A\to A,\,x\mapsto x^{*}$ сопряженно-линейно и такое, что $(xy)^{*}=(yx)^{*}$ .; 2. Инволютивная банахова алгебра — это банахова алгебра, снабженная инволюцией.
изометрия: между Линейная изометрия нормированными векторными пространствами - это линейное отображение, сохраняющее норму.

Редактировать ]

Крейн-Мильман: Теорема Крейна –Мильмана гласит: непустое компактное выпуклое подмножество локально выпуклого пространства имеет экстремальную точку.

Л [ править ]

Локально выпуклая алгебра: — Локально выпуклая алгебра это алгебра, базовое векторное пространство которой является локально выпуклым пространством и умножение которой непрерывно относительно топологии локально выпуклого пространства.

Н [ править ]

невырожденный: Представительство $(\pi ,V)$ алгебры $A$ называется невырожденным, если для каждого вектора $v\in V$ , есть элемент $a\in A$ такой, что $\pi (a)v\neq 0$ .
некоммутативный: 1. некоммутативное интегрирование; 2. некоммутативный тор
норма: 1. Норма в векторном пространстве X — это вещественная функция. $\|\cdot \|:X\to \mathbb {R}$ такой, что для каждого скаляра $a$ и векторы $x,y$ в $X$ , (1) $\|ax\|=|a|\|x\|$ , (2) (треугольное неравенство) $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$ и (3) $\|x\|\geq 0$ где равенство справедливо только для $x=0$ .; 2. Нормированное векторное пространство — это вещественное или комплексное векторное пространство, снабженное нормой. $\|\cdot \|$ . Это метрическое пространство с функцией расстояния $d(x,y)=\|x-y\|$ .
ядерный: См. ядерный оператор .

Или [ править ]

один: Однопараметрическая группа банаховой алгебры с единицей A — это непрерывный групповой гомоморфизм из $(\mathbb {R} ,+)$ к группе единиц A .
ортонормированный: 1. Подмножество S гильбертова пространства ортонормировано , если для каждого u , v в множестве $\langle u,v\rangle$ = 0, когда $u\neq v$ и $=1$ когда $u=v$ .; 2. Ортонормированный базис — это максимальное ортонормированное множество (примечание: это *не* обязательно базис векторного пространства.)
ортогональный: 1. Для гильбертова пространства H и замкнутого подпространства M ортогональным дополнением к M является замкнутое подпространство. $M^{\bot }=\{x\in H|\langle x,y\rangle =0,y\in M\}$ .; 2. В введенных выше обозначениях ортогональная проекция $P$ на M — (единственный) ограниченный оператор на H такой, что $P^{2}=P,P^{*}=P,\operatorname {im} (P)=M,\operatorname {ker} (P)=M^{\bot }.$

П [ править ]

Парсеваль: Тождественные состояния Парсеваля : учитывая ортонормированный базис S в гильбертовом пространстве, $\|x\|^{2}=\sum _{u\in S}|\langle x,u\rangle |^{2}$ . ^[1]
позитивный: Линейный функционал $\omega$ на инволютивной банаховой алгебре называется положительным, если $\omega (x^{*}x)\geq 0$ для каждого элемента $x$ в алгебре.

Вопрос [ править ]

квазислед: Квазислед .

Р [ править ]

Радон: См. Измерение радона .
Разложение Рисса: Разложение Рисса .
Лемма Рисса: Лемма Рисса .
рефлексивный: Рефлексивное пространство — это такое топологическое векторное пространство, что естественное отображение векторного пространства во второе (топологическое) двойственное пространство является изоморфизмом.
резольвента: Резольвентой элемента x банаховой алгебры с единицей является дополнение в $\mathbb {C}$ спектра x .

С [ править ]

самосопряженный: Самосопряженный оператор — это ограниченный оператор, сопряженным которого является он сам.
отделимый: Сепарабельное гильбертово пространство — это гильбертово пространство, допускающее конечный или счетный ортонормированный базис.
спектр: 1. Спектр элемента x банаховой алгебры с единицей – это множество комплексных чисел $\lambda$ такой, что $x-\lambda$ не является обратимым.; 2. Спектром коммутативной банаховой алгебры называется множество всех характеров (гомоморфизм $\mathbb {C}$ ) по алгебре.
спектральный: 1. Спектральный радиус элемента x единичной банаховой алгебры равен ${\textstyle \sup _{\lambda }|\lambda |}$ где sup находится в спектре x .; 2. Теорема о спектральном отображении гласит: если x — элемент банаховой алгебры с единицей и f — голоморфная функция в окрестности спектра $\sigma (x)$ х тогда , $f(\sigma (x))=\sigma (f(x))$ , где $f(x)$ — элемент банаховой алгебры, определенный с помощью интегральной формулы Коши .
состояние: Состояние — это положительный линейный функционал от нормы один.

Т [ править ]

тензорное произведение: См. топологический тензорный продукт . Обратите внимание, что до сих пор остается открытой проблема определения или разработки правильного тензорного произведения топологических векторных пространств, включая банаховы пространства.
топологический: Топологическое векторное пространство — это векторное пространство, снабженное такой топологией , что (1) топология является Хаусдорфовой и (2) сложение $(x,y)\mapsto x+y$ а также скалярное умножение $(\lambda ,x)\mapsto \lambda x$ являются непрерывными.

У [ править ]

неограниченный оператор: Неограниченный оператор — это частично определенный линейный оператор, обычно определяемый в плотном подпространстве.
принцип равномерной ограниченности: Принцип равномерной ограниченности гласит: для данного набора операторов между банаховыми пространствами, если ${\textstyle \sup _{T}|Tx|<\infty }$ , sup по множеству для каждого x в банаховом пространстве, тогда ${\textstyle \sup _{T}\|T\|<\infty }$ .
унитарный: 1. Унитарный оператор между гильбертовыми пространствами — это обратимый ограниченный линейный оператор, обратный которому является сопряженным оператором.; 2. Два представления $(\pi _{1},H_{1}),(\pi _{2},H_{2})$ инволютивной банаховой алгебры A в гильбертовых пространствах $H_{1},H_{2}$ называются унитарно эквивалентными, если существует унитарный оператор $U:H_{1}\to H_{2}$ такой, что $\pi _{2}(x)U=U\pi _{1}(x)$ для каждого x в A .

В [ править ]

В*: AW*-алгебра — это C*-алгебра, допускающая точное представление в гильбертовом пространстве такое, что образ представления является алгеброй фон Неймана.

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б Здесь часть утверждения $\sum _{u\in S}\cdots$ четко определен; т. е. когда S бесконечно, для счетных полностью упорядоченных подмножеств $S'\subset S$ , $\sum _{u\in S'}\cdots$ не зависит от $S'$ и $\sum _{u\in S}\cdots$ обозначает общую ценность.

Конн, Ален (1994), Некоммутативная геометрия , Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN 978-0-12-185860-5
Бурбаки, Топологические векторные пространства
Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5 . OCLC 21163277 .
М. Такесаки, Теория операторных алгебр I , Springer, 2001, 2-е издание первого издания 1979 г.
Ёсида, Косаку (1980), Функциональный анализ (шестое изд.), Springer

Дальнейшее чтение [ править ]

Конспекты лекций Энтони Вассермана на http://iml.univ-mrs.fr/~wasserm/
Конспекты лекций Джейкоба Лурье по алгебре фон Неймана на https://www.math.ias.edu/~lurie/261y.html.

Эта математическому анализу, статья, посвященная незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[sum_convention-1] Перейти обратно: ^а ^б Здесь часть утверждения $\sum _{u\in S}\cdots$ четко определен; т. е. когда S бесконечно, для счетных полностью упорядоченных подмножеств $S'\subset S$ , $\sum _{u\in S'}\cdots$ не зависит от $S'$ и $\sum _{u\in S}\cdots$ обозначает общую ценность.

[1]

* [ редактировать ]

А [ править ]

Б [ править ]

С [ править ]

Д [ править ]

Ф [ править ]

Г [ править ]

Х [ править ]

Я [ править ]

Редактировать ​ ​ ]

Л [ править ]

Н [ править ]

Или [ править ]

П [ править ]

Вопрос [ править ]

Р [ править ]

С [ править ]

Т [ править ]

У [ править ]

В [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Редактировать ]