C*-алгебра

Эта статья о области математики. Чтобы узнать о концепции ракетной техники, см. Характеристическую скорость .

В математике, особенно в функциональном анализе , C ^∗ -алгебра (произносится как «C-звезда») — банахова алгебра вместе с инволюцией, удовлетворяющей свойствам присоединенного . Частным случаем является комплексная алгебра A непрерывных линейных операторов в комплексном гильбертовом пространстве с двумя дополнительными свойствами:

• A — топологически замкнутое множество в топологии норм операторов.
• A замкнут относительно операции взятия сопряженных операторов.

Другой важный класс негильбертовых C*-алгебр включает алгебру $C_{0}(X)$ комплекснозначных непрерывных функций на X , обращающихся в нуль на бесконечности, где X — локально компактное хаусдорфово пространство.

C*-алгебры были впервые рассмотрены в первую очередь из-за их использования в квантовой механике для моделирования алгебр физических наблюдаемых . Это направление исследований началось с Вернера Гейзенберга , матричной механики а в более математически развитой форме — с Паскуаля Йордана примерно в 1933 году. Впоследствии Джон фон Нейман попытался установить общую основу для этих алгебр, кульминацией чего стала серия статей кольцах о операторы. В этих работах рассматривался специальный класс С*-алгебр, которые теперь известны как алгебры фон Неймана .

Примерно в 1943 году работа Исраэля Гельфанда и Марка Наймарка дала абстрактную характеристику C*-алгебр без ссылки на операторы в гильбертовом пространстве.

С*-алгебры в настоящее время являются важным инструментом в теории унитарных представлений локально компактных групп , а также используются в алгебраических формулировках квантовой механики. Еще одной активной областью исследований является программа получения классификации или определения степени возможной классификации сепарабельных простых ядерных C*-алгебр .

Абстрактная характеристика

Начнем с абстрактной характеристики С*-алгебры, данной в статье Гельфанда и Наймарка 1943 года.

AC*-алгебра A — банахова алгебра над полем комплексных чисел вместе с отображением ${\textstyle x\mapsto x^{*}}$ для ${\textstyle x\in A}$ со следующими свойствами:

• Это инволюция для каждого x в A :

$x^{**}=(x^{*})^{*}=x$

• Для всех x , y в A :

$(x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}$

$(xy)^{*}=y^{*}x^{*}$

• Для каждого комплексного числа $\lambda \in \mathbb {C}$ и каждый x в A :

$(\lambda x)^{*}={\overline {\lambda }}x^{*}.$

• Для всех x в A :

$\|x^{*}x\|=\|x\|\|x^{*}\|.$

Замечание. Первые четыре тождества говорят, что A является *-алгеброй . Последнее тождество называется тождеством C* и эквивалентно:

$\|xx^{*}\|=\|x\|^{2},$

которое иногда называют B*-тождеством. Историю названий C*- и B*-алгебр см. в разделе истории ниже.

C*-идентичность является очень строгим требованием. Например, вместе с формулой спектрального радиуса это означает, что C*-норма однозначно определяется алгебраической структурой:

$\|x\|^{2}=\|x^{*}x\|=\sup\{|\lambda |:x^{*}x-\lambda \,1{\text{ is not invertible}}\}.$

Ограниченное линейное отображение π : A → B между C*-алгебрами A и B называется *-гомоморфизмом , если

• Для x и y в A

$\pi (xy)=\pi (x)\pi (y)\,$

• Для x в A

$\pi (x^{*})=\pi (x)^{*}\,$

В случае C*-алгебр любой *-гомоморфизм π между C*-алгебрами сжимающий , т. е. ограниченный с нормой ⩽ 1. Кроме того, инъективный *-гомоморфизм между C*-алгебрами изометричен . Это следствия C*-идентичности.

Биективный *-гомоморфизм π называется C*-изоморфизмом , и в этом случае A и B называются изоморфными .

Немного истории: B*-алгебры и C*-алгебры

Термин B*-алгебра был введен К.Э. Рикартом в 1946 г. для описания банаховых *-алгебр, удовлетворяющих условию:

• $\lVert xx^{*}\rVert =\lVert x\rVert ^{2}$ для всех x в данной B*-алгебре. (B*-условие)

Из этого условия автоматически следует, что *-инволюция изометрична, т. е. $\lVert x\rVert =\lVert x^{*}\rVert$. Следовательно, $\lVert xx^{*}\rVert =\lVert x\rVert \lVert x^{*}\rVert$, и, следовательно, B*-алгебра является также C*-алгеброй. И наоборот, из C*-условия следует B*-условие. Это нетривиально и может быть доказано без использования условия $\lVert x\rVert =\lVert x^{*}\rVert$. По этим причинам термин B*-алгебра редко используется в современной терминологии и был заменен термином «C*-алгебра».

Термин С*-алгебра был введен И. Е. Сигалом в 1947 г. для описания замкнутых по норме подалгебр в B ( H ), а именно пространства ограниченных операторов на некотором гильбертовом H. пространстве «С» означало «закрыто». В своей статье Сигал определяет С*-алгебру как «равномерно замкнутую самосопряженную алгебру ограниченных операторов в гильбертовом пространстве».

Структура C*-алгебр

C*-алгебры обладают большим количеством технически удобных свойств. Некоторые из этих свойств можно установить, используя непрерывное функциональное исчисление или сводя его к коммутативным C*-алгебрам. В последнем случае мы можем воспользоваться тем, что их структура полностью определяется изоморфизмом Гельфанда .

Самосопряженные элементы

Самосопряженными элементами являются элементы вида $x=x^{*}$. Множество элементов С*-алгебры А вида $x^{*}x$ образует замкнутый выпуклый конус . Этот конус идентичен элементам формы $xx^{*}$. Элементы этого конуса называются неотрицательными (или иногда положительными ), хотя эта терминология противоречит ее использованию для элементов $\mathbb {R}$)

Множество самосопряженных элементов С*-алгебры А естественно имеет структуру частично упорядоченного векторного пространства ; порядок обычно обозначается $\geq$. В этом порядке самосопряженный элемент $x\in A$ удовлетворяет $x\geq 0$ тогда и только тогда, спектр когда $x$ неотрицательно тогда и только тогда, когда $x=s^{*}s$ для некоторых $s\in A$. Два самосопряженных элемента $x$ и $y$ удовлетворения ​ ​ $x\geq y$ если $x-y\geq 0$.

Это частично упорядоченное подпространство позволяет определить положительный линейный функционал на C*-алгебре, который, в свою очередь, используется для определения состояний C*-алгебры, что, в свою очередь, может использоваться для построения спектра C*-алгебры. алгебра с использованием конструкции GNS .

Частные и приблизительные тождества

Любая С*-алгебра А имеет приближенное тождество . В самом деле, существует направленное семейство { e _λ } _λεI самосопряженных элементов A такое, что

$xe_{\lambda }\rightarrow x$

$0\leq e_{\lambda }\leq e_{\mu }\leq 1\quad {\mbox{ whenever }}\lambda \leq \mu .$

В случае, если A сепарабельно, A имеет секвенциальную аппроксимированную идентичность. В более общем смысле, A будет иметь секвенциальную аппроксимированную идентичность тогда и только тогда, когда содержит строго положительный элемент , т.е. положительный элемент h такой, что hAh плотно в A. A

Используя приближенные тождества, можно показать, что алгебраический фактор С*-алгебры по замкнутому собственному двустороннему идеалу с естественной нормой является С*-алгеброй.

Аналогично, замкнутый двусторонний идеал C*-алгебры сам по себе является C*-алгеброй.

Примеры

Конечномерные C*-алгебры

Алгебра M( n , C ) размера n × n матриц над C становится C*-алгеброй, если мы рассматриваем матрицы как операторы в евклидовом пространстве C ^н , и использовать операторную норму ||·|| на матрицах. Инволюция задается сопряженным транспонированием . В более общем смысле можно рассматривать конечные прямые суммы матричных алгебр. Фактически все С*-алгебры, конечномерные как векторные пространства, имеют этот вид с точностью до изоморфизма. Требование самосопряжённости означает, что конечномерные C*-алгебры являются полупростыми , из чего можно вывести следующую теорему типа Артина – Веддерберна :

Теорема. Конечномерная С*-алгебра А изоморфна канонически конечной прямой сумме

$A=\bigoplus _{e\in \min A}Ae$

где min A — множество минимальных ненулевых самосопряженных центральных проекторов A .

Каждая C*-алгебра Ae изоморфна (неканоническим образом) полной матричной алгебре M(dim( e ), C ). Конечное семейство, индексированное на min , {dim( e )} _e, называется вектором размерности A. A заданное Этот вектор однозначно определяет класс изоморфизма конечномерной С*-алгебры. языке К-теории этот вектор является конусом группы К0 _На группы А. положительным

† -алгебра (или, более подробно, †-замкнутая алгебра ) — это название, которое иногда используется в физике. для конечномерной С*-алгебры. Кинжал эрмитова † используется в названии, потому что физики обычно используют этот символ для обозначения сопряженного и часто не беспокоятся о тонкостях, связанных с бесконечным числом измерений. (Математики обычно используют звездочку * для обозначения эрмитова сопряженного.) †-алгебры занимают видное место в квантовой механике и особенно в квантовой информатике .

Непосредственным обобщением конечномерных С*-алгебр являются аппроксимативно конечномерные С*-алгебры .

C*-алгебры операторов

Прототипическим примером С*-алгебры является алгебра В(Н) ограниченных (эквивалентно непрерывных) линейных операторов, определенных на комплексном гильбертовом пространстве Н ; здесь x* обозначает оператор сопряженный x : H → H . Фактически, каждая C*-алгебра A *-изоморфна замкнутой по норме присоединенной замкнутой подалгебре в B ( H ) для подходящего гильбертова пространства H ; в этом состоит содержание теоремы Гельфанда–Наймарка .

С*-алгебры компактных операторов

Пусть H — сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство. Алгебра K ( H ) компактных операторов в H является нормозамкнутой подалгеброй в B ( H ). Он также закрыт при инволюции; следовательно, это C*-алгебра.

Конкретные С*-алгебры компактных операторов допускают характеризацию, аналогичную теореме Веддерберна для конечномерных С*-алгебр:

Теорема. Если A — C*-подалгебра в K ( H ), то существуют гильбертовы пространства { H _i } _{i ∈ I} такие, что

$A\cong \bigoplus _{i\in I}K(H_{i}),$

где (C*-)прямая сумма состоит из элементов ( T _i ) декартова произведения Π K ( H _i ) с || Т _я || → 0.

Хотя K ( H ) не имеет единичного элемента, последовательное приближенное тождество для K ( H ) можно разработать . Точнее, H изоморфно пространству суммируемых с квадратом последовательностей l ² ; мы можем предположить, что H = l ² . Для каждого натурального числа n пусть H _n — подпространство последовательностей l ² которые равны нулю для индексов k ≥ n , и пусть en _— ортогональный проектор на H _n . Последовательность { e _n } _n является приближенным тождеством для K ( H ).

K ( H ) — двусторонний замкнутый идеал пространства B ( H ). Для сепарабельных гильбертовых пространств это единственный идеал. Фактор ( B H ( H ) по K ) является алгеброй Калкина .

Коммутативные C*-алгебры

Пусть X — локально компактное хаусдорфово пространство. Пространство $C_{0}(X)$ комплекснозначных непрерывных функций на X , обращающихся в нуль на бесконечности (определенных в статье о локальной компактности ), образует коммутативную С*-алгебру $C_{0}(X)$ при поточечном умножении и сложении. Инволюция – это точечное сопряжение. $C_{0}(X)$ имеет мультипликативный единичный элемент тогда и только тогда, когда $X$ компактен. Как и любая C*-алгебра, $C_{0}(X)$ имеет приблизительную личность . В случае $C_{0}(X)$ это сразу же: рассмотрим направленное множество компактных подмножеств $X$, и для каждого компакта $K$ позволять $f_{K}$ — функция компактного носителя, тождественно равная 1 на $K$. Такие функции существуют по теореме о расширении Титце , которая применима к локально компактным хаусдорфовым пространствам. Любая такая последовательность функций $\{f_{K}\}$ это приблизительное тождество.

утверждает Представление Гельфанда , что всякая коммутативная С*-алгебра *-изоморфна алгебре $C_{0}(X)$, где $X$ — пространство персонажей , оснащенное слабой* топологией . Кроме того, если $C_{0}(X)$ изоморфен ​ ​ $C_{0}(Y)$ как С*-алгебры, то $X$ и $Y$ гомеоморфны ​ . Эта характеристика является одной из причин создания программ некоммутативной топологии и некоммутативной геометрии .

C*-обертывающая алгебра

Для банаховой *-алгебры A с приближенным тождеством существуют единственные (с точностью до C*-изоморфизма) C*-алгебра E ( A ) и *-морфизм π из A в E ( A ), универсальные , т.е. , любой другой непрерывный *-морфизм π ' : A → B факторизуется однозначно через π. Алгебра E ( A называется C*-обертывающей алгеброй банаховой *-алгебры A. )

Особое значение имеет С*-алгебра локально компактной G. группы Это определяется как обертывающая C*-алгебра алгебры G групповой . C*-алгебра группы G обеспечивает контекст для общего анализа G гармонического в случае, когда G неабелева. В частности, двойственное локально компактной группе определяется как примитивное идеальное пространство групповой С*-алгебры. См. спектр C*-алгебры .

Алгебры фон Неймана

Алгебры фон Неймана , известные до 1960-х годов как W*-алгебры, представляют собой особый вид C*-алгебры. Требуется, чтобы они были замкнуты в слабой операторной топологии , которая слабее нормальной топологии.

Из теоремы Шермана –Такеды следует, что любая C*-алгебра имеет универсальную обертывающую W*-алгебру такую, что любой гомоморфизм W*-алгебры проходит через нее.

Тип для C*-алгебр

AC*-алгебра A имеет тип I тогда и только тогда, когда для всех невырожденных представлений π алгебры A алгебра фон Неймана π( A )″ (т. е. бикоммутант π( A )) является алгеброй фон Неймана I типа. . На самом деле достаточно рассматривать только факторные представления, т.е. представления π, для которых π( A )″ является фактором.

Локально компактная группа называется типом I тогда и только тогда, когда ее групповая С*-алгебра имеет тип I.

Однако если С*-алгебра имеет представления нетипа I, то по результатам Джеймса Глимма у нее есть представления и типа II, и типа III. Таким образом, для С*-алгебр и локально компактных групп имеет смысл говорить только о свойствах типа I и нетипа I.

C*-алгебры и квантовая теория поля

В квантовой механике обычно описывается физическая система с помощью C*-алгебры A с единичным элементом; самосопряженные элементы A (элементы x с x* = x ) рассматриваются как наблюдаемые , измеримые величины системы. Состояние ) , системы определяется как положительный функционал на A ( C -линейное отображение φ : A → C с φ( u*u ) ≥ 0 для всех u ∈ A такое что φ(1) = 1. Ожидаемое значение наблюдаемой x , если система находится в состоянии φ, тогда равно φ( x ).

Этот подход C*-алгебры используется в аксиоматизации Хаага–Кастлера локальной квантовой теории поля , где каждое открытое множество пространства-времени Минковского связано с C*-алгеброй.

См. также

• Банахова алгебра
• Банахова *-алгебра
• *-алгебра
• Гильберт C*-модуль
• Операторная К-теория
• Операторная система — единичное подпространство C*-алгебры, *-замкнутое.
• Конструкция Гельфанда–Наймарка–Сегала
• Жорданова операторная алгебра

Ссылки

• Арвесон, В. (1976), Приглашение к C *-алгебре , Springer-Verlag, ISBN  0-387-90176-0 . Отличное введение в предмет, доступное для тех, кто обладает знаниями в области базового функционального анализа .
• Конн, Ален (1994), Некоммутативная геометрия , ISBN  0-12-185860-Х . Эта книга широко рассматривается как источник нового исследовательского материала, дающего много подкрепляющей интуиции, но это сложно.
• Диксмье, Жак (1969), C*-алгебры и их представления , Готье-Виллар, ISBN  0-7204-0762-1 . Это несколько устаревший справочник, но он до сих пор считается высококачественным техническим изложением. Он доступен на английском языке в издательстве North Holland Press.
• Доран, Роберт С .; Бельфи, Виктор А. (1986), Характеризации C *-алгебр: теоремы Гельфанда-Наймарка , CRC Press, ISBN  978-0-8247-7569-8 .
• Эмч, Г. (1972), Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля , Wiley-Interscience, ISBN  0-471-23900-3 . Математически строгий справочник, содержащий обширные знания физики.
• А.И. Штерн (2001) [1994], «С*-алгебра» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Сакаи, С. (1971), C*-алгебры и W*-алгебры , Springer, ISBN  3-540-63633-1 .
• Сигал, Ирвинг (1947), «Неприводимые представления операторных алгебр», Бюллетень Американского математического общества , 53 (2): 73–88, doi : 10.1090/S0002-9904-1947-08742-5 .