Функциональное исчисление

В математике функциональное исчисление — это теория, позволяющая применять математические функции к математическим операторам . Сейчас это ветвь (точнее, несколько смежных областей) области функционального анализа , связанная со спектральной теорией . (Исторически этот термин также использовался как синоним вариационного исчисления ; это использование устарело, за исключением функциональной производной . Иногда он используется по отношению к типам функциональных уравнений или в логике для систем исчисления предикатов .)

Если $f$ - это функция, скажем, числовая функция действительного числа , и $M$ является оператором, нет особой причины, по которой выражение $f(M)$ должно иметь смысл. Если да, то мы больше не используем $f$ в исходной функциональной области . В традициях операционного исчисления алгебраические выражения в операторах обрабатываются независимо от их значения. Однако это остается почти незамеченным, если мы говорим о «возведении в квадрат матрицы», что имеет место в случае $f(x)=x^{2}$ и $M$ а $n\times n$ матрица . Идея функционального исчисления состоит в том, чтобы создать принципиальный подход к такого рода перегрузке обозначений.

Самый непосредственный случай — применить полиномиальные функции к квадратной матрице , расширяя то, что только что обсуждалось. В конечномерном случае полиномиальное функциональное исчисление дает довольно много информации об операторе. Например, рассмотрим семейство полиномов, которое аннулирует оператор $T$ . Это семейство является идеалом в кольце полиномов. Более того, это нетривиальный идеал: пусть $n$ — конечная размерность алгебры матриц, тогда $\{I,T,T^{2},\ldots ,T^{n}\}$ линейно зависима. Так $\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}T^{i}=0$ для некоторых скаляров $\alpha _{i}$ , не все равны 0. Это означает, что полином $\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}x^{i}$ лежит в идеале. Поскольку кольцо многочленов является областью главного идеала , этот идеал порождается некоторым многочленом $m$ . Умножив при необходимости на единицу, мы можем выбрать $m$ быть моником. При этом полином $m$ это в точности минимальный полином от $T$ . Этот полином дает глубокую информацию о $T$ . Например, скаляр $\alpha$ является собственным значением $T$ тогда и только тогда, когда $\alpha$ является корнем $m$ . Также иногда $m$ можно использовать для экспоненты вычисления $T$ эффективно.

Полиномиальное исчисление не столь информативно в бесконечномерном случае. Рассмотрим односторонний сдвиг с помощью исчисления полиномов; идеал, определенный выше, теперь тривиален. Таким образом, нас интересуют более общие функциональные исчисления, чем полиномы. Эта тема тесно связана со спектральной теорией , поскольку для диагональной матрицы или оператора умножения довольно ясно, какими должны быть определения.

См. также [ править ]

Борелевское функциональное исчисление - Раздел функционального анализа
Непрерывное функциональное исчисление - ветвь функционального анализа.
Прямой интеграл – обобщение концепции прямой суммы.
Голоморфное функциональное исчисление

Ссылки [ править ]

«Функциональное исчисление» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

Внешние ссылки [ править ]

СМИ, связанные с функциональным исчислением, на Викискладе?

v т и Анализ в топологических векторных пространствах
Basic concepts	Abstract Wiener space Classical Wiener space Bochner space Convex series Cylinder set measure Infinite-dimensional vector function Matrix calculus Vector calculus
Derivatives	Differentiable vector–valued functions from Euclidean space Differentiation in Fréchet spaces Fréchet derivative Total Functional derivative Gateaux derivative Directional Generalizations of the derivative Hadamard derivative Holomorphic Quasi-derivative
Measurability	Besov measure Cylinder set measure Canonical Gaussian Classical Wiener measure Measure like set functions infinite-dimensional Gaussian measure Projection-valued Vector Bochner / Weakly / Strongly measurable function Radonifying function
Integrals	Bochner Direct integral Dunford Gelfand–Pettis/Weak Regulated Paley–Wiener
Results	Cameron–Martin theorem Inverse function theorem Nash–Moser theorem Feldman–Hájek theorem No infinite-dimensional Lebesgue measure Sazonov's theorem Structure theorem for Gaussian measures
Related	Crinkled arc Covariance operator
Functional calculus	Borel functional calculus Continuous functional calculus Holomorphic functional calculus
Applications	Banach manifold (bundle) Convenient vector space Choquet theory Fréchet manifold Hilbert manifold

v т и Спектральная теория и ^*-алгебры
Basic concepts	Involution/-algebra Banach algebra B-algebra C-algebra Noncommutative topology Projection-valued measure Spectrum Spectrum of a C-algebra Spectral radius Operator space
Main results	Gelfand–Mazur theorem Gelfand–Naimark theorem Gelfand representation Polar decomposition Singular value decomposition Spectral theorem Spectral theory of normal C*-algebras
Special Elements/Operators	Isospectral Normal operator Hermitian/Self-adjoint operator Unitary operator Unit
Spectrum	Krein–Rutman theorem Normal eigenvalue Spectrum of a C*-algebra Spectral radius Spectral asymmetry Spectral gap
Decomposition	Decomposition of a spectrum Continuous Point Residual Approximate point Compression Direct integral Discrete Spectral abscissa
Spectral Theorem	Borel functional calculus Min-max theorem Positive operator-valued measure Projection-valued measure Riesz projector Rigged Hilbert space Spectral theorem Spectral theory of compact operators Spectral theory of normal C*-algebras
Special algebras	Amenable Banach algebra With an Approximate identity Banach function algebra Disk algebra Nuclear C*-algebra Uniform algebra Von Neumann algebra Tomita–Takesaki theory
Finite-Dimensional	Alon–Boppana bound Bauer–Fike theorem Numerical range Schur–Horn theorem
Generalizations	Dirac spectrum Essential spectrum Pseudospectrum Structure space (Shilov boundary)
Miscellaneous	Abstract index group Banach algebra cohomology Cohen–Hewitt factorization theorem Extensions of symmetric operators Fredholm theory Limiting absorption principle Schröder–Bernstein theorems for operator algebras Sherman–Takeda theorem Unbounded operator
Examples	Wiener algebra
Applications	Almost Mathieu operator Corona theorem Hearing the shape of a drum (Dirichlet eigenvalue) Heat kernel Kuznetsov trace formula Lax pair Proto-value function Ramanujan graph Rayleigh–Faber–Krahn inequality Spectral geometry Spectral method Spectral theory of ordinary differential equations Sturm–Liouville theory Superstrong approximation Transfer operator Transform theory Weyl law Wiener–Khinchin theorem