Jump to content

Оператор (математика)

(Перенаправлено с Математический оператор )

В математике оператор отображение обычно представляет собой или функцию , которая воздействует на элементы пространства для создания элементов другого пространства (возможно, а иногда и необходимо, чтобы это было то же самое пространство). не существует Общего определения оператора , но этот термин часто используется вместо функции , когда предметная область представляет собой набор функций или других структурированных объектов. Кроме того, область определения оператора часто трудно охарактеризовать явно (например, в случае интегрального оператора ), и она может быть расширена, чтобы действовать на связанные объекты (оператор, который действует на функции, может действовать также на дифференциальные уравнения , чьи решения — это функции, удовлетворяющие уравнению). ( см. в разделе «Оператор (физика») другие примеры )

Самыми основными операторами являются линейные отображения , которые действуют в векторных пространствах . Линейные операторы относятся к линейным картам, область определения и диапазон которых находятся в одном пространстве, например из к . [1] [2] [а] Такие операторы часто сохраняют такие свойства, как непрерывность . Например, дифференцирование и неопределенное интегрирование являются линейными операторами; операторы, построенные из них, называются дифференциальными операторами , интегральными операторами или интегро-дифференциальными операторами.

Оператор также используется для обозначения символа математической операции . Это связано со значением слова «оператор» в компьютерном программировании (см. Оператор (компьютерное программирование) ).

Линейные операторы

[ редактировать ]

Наиболее распространенный вид операторов — это линейные операторы . Пусть U и V векторные пространства над полем K. некоторым Отображение является линейным, если для всех x и y в U и для α , β в K. всех

Это означает, что линейный оператор сохраняет операции с векторным пространством в том смысле, что не имеет значения, применяете ли вы линейный оператор до или после операций сложения и скалярного умножения. Говоря более техническими словами, линейные операторы — это морфизмы векторных пространств.В конечномерном случае линейные операторы могут быть представлены матрицами следующим образом. Пусть K — поле и и V — конечномерные векторные пространства над K . Подберем основу в У и в В. ​Тогда пусть быть произвольным вектором в (при условии соблюдения соглашения Эйнштейна ) и быть линейным оператором. Затем Затем , со всеми , – матричная форма оператора на фиксированной основе . Тензор не зависит от выбора , и если . Таким образом, в фиксированных базисах n матрицы размера на m находятся в взаимно однозначном соответствии линейным операторам из к .

Важными понятиями, непосредственно связанными с операторами между конечномерными векторными пространствами, являются понятия ранга , определителя , обратного оператора и собственного пространства .

Линейные операторы играют большую роль и в бесконечномерном случае. Понятия ранга и определителя нельзя распространить на бесконечномерные матрицы. Вот почему при изучении линейных операторов (и операторов вообще) в бесконечномерном случае используются совсем другие методы. Изучение линейных операторов в бесконечномерном случае известно как функциональный анализ (названный так потому, что различные классы функций образуют интересные примеры бесконечномерных векторных пространств).

Пространство последовательностей действительных чисел или, в более общем плане, последовательностей векторов в любом векторном пространстве сами по себе образуют бесконечномерное векторное пространство. Наиболее важными случаями являются последовательности действительных или комплексных чисел, и эти пространства вместе с линейными подпространствами известны как пространства последовательностей . Операторы в этих пространствах известны как преобразования последовательностей .

Ограниченные линейные операторы над банаховым пространством образуют банахову алгебру относительно стандартной операторной нормы. Теория банаховых алгебр развивает очень общую концепцию спектра , элегантно обобщающую теорию собственных пространств.

Ограниченные операторы

[ редактировать ]

Пусть U и V — два векторных пространства над одним и тем же упорядоченным полем (например; ), и они оснащены нормами . Тогда линейный оператор из U в V называется ограниченным, если существует c > 0 такое, что каждого x в U. для Ограниченные операторы образуют векторное пространство. В этом векторном пространстве мы можем ввести норму, совместимую с нормами U и V : В случае операторов из U в себя можно показать, что

. [б]

Любая нормированная алгебра с единицей , обладающая этим свойством, называется банаховой алгеброй . На такие алгебры можно обобщить спектральную теорию . С*-алгебры , являющиеся банаховыми алгебрами с некоторой дополнительной структурой, играют важную роль в квантовой механике .

Анализ (исчисление)

[ редактировать ]

С точки зрения функционального анализа , исчисление — это изучение двух линейных операторов: дифференциального оператора и оператор Вольтерры .

Операторы фундаментального анализа скалярных и векторных полей

[ редактировать ]

Три оператора являются ключевыми в векторном исчислении :

  • Град ( градиент ), (с символом оператора ) присваивает вектор в каждой точке скалярного поля, который указывает в направлении наибольшей скорости изменения этого поля и норма которого измеряет абсолютное значение этой наибольшей скорости изменения.
  • Div ( расхождение ), (с символом оператора ) — векторный оператор, который измеряет расхождение векторного поля от заданной точки или сходимость к ней.
  • Curl , (с символом оператора ) — векторный оператор, который измеряет тенденцию закручивания (обкручивания, вращения) векторного поля вокруг заданной точки.

Являясь расширением операторов векторного исчисления в физике, инженерном и тензорном пространствах, операторы grad, div и curl также часто связаны с тензорным исчислением, а также с векторным исчислением. [3]

Геометрия

[ редактировать ]

В геометрии дополнительные структуры на векторных пространствах иногда изучаются отображают такие векторные пространства сами в себя . Операторы, которые биективно , очень полезны в этих исследованиях. Они естественным образом образуют группы по композиции.

Например, биективные операторы, сохраняющие структуру векторного пространства, — это в точности обратимые линейные операторы . Они образуют общую линейную группу по композиции. Однако они не образуют векторное пространство при добавлении операторов; поскольку, например, и тождество, и -идентичность обратимы (биективны), а их сумма 0 - нет.

Операторы, сохраняющие евклидову метрику в таком пространстве, образуют группу изометрий , а операторы, фиксирующие начало координат, образуют подгруппу, известную как ортогональная группа . Операторы в ортогональной группе, которые также сохраняют ориентацию векторных кортежей, образуют специальную ортогональную группу или группу вращений.

Теория вероятностей

[ редактировать ]

В теории вероятностей также участвуют операторы, такие как ожидание , дисперсия и ковариация , которые используются для обозначения как числовой статистики, так и операторов, которые ее производят. Действительно, каждая ковариация по сути представляет собой скалярное произведение : каждая дисперсия представляет собой скалярное произведение вектора с самим собой и, таким образом, является квадратичной нормой ; каждое стандартное отклонение является нормой (квадратный корень из квадратичной нормы); соответствующий косинус этому скалярному произведению является коэффициентом корреляции Пирсона ; ожидаемое значение — это, по сути, интегральный оператор (используемый для измерения взвешенных фигур в пространстве).

Ряд Фурье и преобразование Фурье

[ редактировать ]

Преобразование Фурье полезно в прикладной математике, особенно в физике и обработке сигналов. Это еще один интегральный оператор; он полезен главным образом потому, что преобразует функцию в одной (временной) области в функцию в другой (частотной) области эффективно обратимым образом . Никакая информация не теряется, так как имеется оператор обратного преобразования. В простом случае периодических функций этот результат основан на теореме о том, что любую непрерывную периодическую функцию можно представить в виде суммы ряда синусоидов и косинусоид: Кортеж ( a 0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ... ) на самом деле является элементом бесконечномерного векторного пространства 2 , и, следовательно, ряд Фурье является линейным оператором.

Когда речь идет об общей функции , преобразование принимает целочисленный вид:

Преобразование Лапласа

[ редактировать ]

Преобразование Лапласа еще один интегральный оператор, который упрощает процесс решения дифференциальных уравнений.

Учитывая f = f ( s ) , оно определяется следующим образом:

  1. ^ : (1) Линейное преобразование из V в V называется линейным оператором на V .Множество всех линейных операторов на V обозначается ( V ) . Линейный оператор в вещественном векторном пространстве называется вещественным оператором , а линейный оператор в комплексном векторном пространстве называется комплексным оператором . ... Следует также упомянуть, что некоторые авторы используют термин «линейный оператор» для любого линейного преобразования V в W. из ...
    Определение: Также используются следующие термины:
    (2) эндоморфизм линейного оператора...
    (6) автоморфизм биективного линейного оператора.
    — Роман (2008) [2]
  2. ^ В этом выражении поднятая точка просто представляет собой умножение в любом скалярном поле, используемом с V .

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Рудин, Уолтер (1976). «Глава 9: Функции нескольких переменных». Принципы математического анализа (3-е изд.). МакГроу-Хилл. п. 207. ИСБН  0-07-054235-Х . Линейные преобразования X в X часто называют операторами на X. линейными
  2. ^ Jump up to: а б Роман, Стивен (2008). «Глава 2: Линейные преобразования». Продвинутая линейная алгебра (3-е изд.). Спрингер. п. 59. ИСБН  978-0-387-72828-5 .
  3. ^ Шей, Х.М. (2005). Div, Grad, Curl и все такое . Нью-Йорк, Нью-Йорк: WW Нортон. ISBN  0-393-92516-1 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: eff68982ab22f4ddc4e1869fee221598__1715194320
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/ef/98/eff68982ab22f4ddc4e1869fee221598.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Operator (mathematics) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)