Оператор (математика)
В математике оператор отображение обычно представляет собой или функцию , которая воздействует на элементы пространства для создания элементов другого пространства (возможно, а иногда и необходимо, чтобы это было то же самое пространство). не существует Общего определения оператора , но этот термин часто используется вместо функции , когда предметная область представляет собой набор функций или других структурированных объектов. Кроме того, область определения оператора часто трудно охарактеризовать явно (например, в случае интегрального оператора ), и она может быть расширена, чтобы действовать на связанные объекты (оператор, который действует на функции, может действовать также на дифференциальные уравнения , чьи решения — это функции, удовлетворяющие уравнению). ( см. в разделе «Оператор (физика») другие примеры )
Самыми основными операторами являются линейные отображения , которые действуют в векторных пространствах . Линейные операторы относятся к линейным картам, область определения и диапазон которых находятся в одном пространстве, например из к . [1] [2] [а] Такие операторы часто сохраняют такие свойства, как непрерывность . Например, дифференцирование и неопределенное интегрирование являются линейными операторами; операторы, построенные из них, называются дифференциальными операторами , интегральными операторами или интегро-дифференциальными операторами.
Оператор также используется для обозначения символа математической операции . Это связано со значением слова «оператор» в компьютерном программировании (см. Оператор (компьютерное программирование) ).
Линейные операторы
[ редактировать ]Наиболее распространенный вид операторов — это линейные операторы . Пусть U и V — векторные пространства над полем K. некоторым Отображение является линейным, если для всех x и y в U и для α , β в K. всех
Это означает, что линейный оператор сохраняет операции с векторным пространством в том смысле, что не имеет значения, применяете ли вы линейный оператор до или после операций сложения и скалярного умножения. Говоря более техническими словами, линейные операторы — это морфизмы векторных пространств.В конечномерном случае линейные операторы могут быть представлены матрицами следующим образом. Пусть K — поле и и V — конечномерные векторные пространства над K . Подберем основу в У и в В. Тогда пусть быть произвольным вектором в (при условии соблюдения соглашения Эйнштейна ) и быть линейным оператором. Затем Затем , со всеми , – матричная форма оператора на фиксированной основе . Тензор не зависит от выбора , и если . Таким образом, в фиксированных базисах n матрицы размера на m находятся в взаимно однозначном соответствии линейным операторам из к .
Важными понятиями, непосредственно связанными с операторами между конечномерными векторными пространствами, являются понятия ранга , определителя , обратного оператора и собственного пространства .
Линейные операторы играют большую роль и в бесконечномерном случае. Понятия ранга и определителя нельзя распространить на бесконечномерные матрицы. Вот почему при изучении линейных операторов (и операторов вообще) в бесконечномерном случае используются совсем другие методы. Изучение линейных операторов в бесконечномерном случае известно как функциональный анализ (названный так потому, что различные классы функций образуют интересные примеры бесконечномерных векторных пространств).
Пространство последовательностей действительных чисел или, в более общем плане, последовательностей векторов в любом векторном пространстве сами по себе образуют бесконечномерное векторное пространство. Наиболее важными случаями являются последовательности действительных или комплексных чисел, и эти пространства вместе с линейными подпространствами известны как пространства последовательностей . Операторы в этих пространствах известны как преобразования последовательностей .
Ограниченные линейные операторы над банаховым пространством образуют банахову алгебру относительно стандартной операторной нормы. Теория банаховых алгебр развивает очень общую концепцию спектра , элегантно обобщающую теорию собственных пространств.
Ограниченные операторы
[ редактировать ]Пусть U и V — два векторных пространства над одним и тем же упорядоченным полем (например; ), и они оснащены нормами . Тогда линейный оператор из U в V называется ограниченным, если существует c > 0 такое, что каждого x в U. для Ограниченные операторы образуют векторное пространство. В этом векторном пространстве мы можем ввести норму, совместимую с нормами U и V : В случае операторов из U в себя можно показать, что
- . [б]
Любая нормированная алгебра с единицей , обладающая этим свойством, называется банаховой алгеброй . На такие алгебры можно обобщить спектральную теорию . С*-алгебры , являющиеся банаховыми алгебрами с некоторой дополнительной структурой, играют важную роль в квантовой механике .
Примеры
[ редактировать ]Анализ (исчисление)
[ редактировать ]С точки зрения функционального анализа , исчисление — это изучение двух линейных операторов: дифференциального оператора и оператор Вольтерры .
Операторы фундаментального анализа скалярных и векторных полей
[ редактировать ]Три оператора являются ключевыми в векторном исчислении :
- Град ( градиент ), (с символом оператора ) присваивает вектор в каждой точке скалярного поля, который указывает в направлении наибольшей скорости изменения этого поля и норма которого измеряет абсолютное значение этой наибольшей скорости изменения.
- Div ( расхождение ), (с символом оператора ) — векторный оператор, который измеряет расхождение векторного поля от заданной точки или сходимость к ней.
- Curl , (с символом оператора ) — векторный оператор, который измеряет тенденцию закручивания (обкручивания, вращения) векторного поля вокруг заданной точки.
Являясь расширением операторов векторного исчисления в физике, инженерном и тензорном пространствах, операторы grad, div и curl также часто связаны с тензорным исчислением, а также с векторным исчислением. [3]
Геометрия
[ редактировать ]В геометрии дополнительные структуры на векторных пространствах иногда изучаются отображают такие векторные пространства сами в себя . Операторы, которые биективно , очень полезны в этих исследованиях. Они естественным образом образуют группы по композиции.
Например, биективные операторы, сохраняющие структуру векторного пространства, — это в точности обратимые линейные операторы . Они образуют общую линейную группу по композиции. Однако они не образуют векторное пространство при добавлении операторов; поскольку, например, и тождество, и -идентичность обратимы (биективны), а их сумма 0 - нет.
Операторы, сохраняющие евклидову метрику в таком пространстве, образуют группу изометрий , а операторы, фиксирующие начало координат, образуют подгруппу, известную как ортогональная группа . Операторы в ортогональной группе, которые также сохраняют ориентацию векторных кортежей, образуют специальную ортогональную группу или группу вращений.
Теория вероятностей
[ редактировать ]В теории вероятностей также участвуют операторы, такие как ожидание , дисперсия и ковариация , которые используются для обозначения как числовой статистики, так и операторов, которые ее производят. Действительно, каждая ковариация по сути представляет собой скалярное произведение : каждая дисперсия представляет собой скалярное произведение вектора с самим собой и, таким образом, является квадратичной нормой ; каждое стандартное отклонение является нормой (квадратный корень из квадратичной нормы); соответствующий косинус этому скалярному произведению является коэффициентом корреляции Пирсона ; ожидаемое значение — это, по сути, интегральный оператор (используемый для измерения взвешенных фигур в пространстве).
Ряд Фурье и преобразование Фурье
[ редактировать ]Преобразование Фурье полезно в прикладной математике, особенно в физике и обработке сигналов. Это еще один интегральный оператор; он полезен главным образом потому, что преобразует функцию в одной (временной) области в функцию в другой (частотной) области эффективно обратимым образом . Никакая информация не теряется, так как имеется оператор обратного преобразования. В простом случае периодических функций этот результат основан на теореме о том, что любую непрерывную периодическую функцию можно представить в виде суммы ряда синусоидов и косинусоид: Кортеж ( a 0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ... ) на самом деле является элементом бесконечномерного векторного пространства ℓ 2 , и, следовательно, ряд Фурье является линейным оператором.
Когда речь идет об общей функции , преобразование принимает целочисленный вид:
Преобразование Лапласа
[ редактировать ]— Преобразование Лапласа еще один интегральный оператор, который упрощает процесс решения дифференциальных уравнений.
Учитывая f = f ( s ) , оно определяется следующим образом:
Сноски
[ редактировать ]- ^ : (1) Линейное преобразование из V в V называется линейным оператором на V .Множество всех линейных операторов на V обозначается ℒ ( V ) . Линейный оператор в вещественном векторном пространстве называется вещественным оператором , а линейный оператор в комплексном векторном пространстве называется комплексным оператором . ... Следует также упомянуть, что некоторые авторы используют термин «линейный оператор» для любого линейного преобразования V в W. из ...
- (2) эндоморфизм линейного оператора...
- (6) автоморфизм биективного линейного оператора.
- — Роман (2008) [2]
- ^ В этом выражении поднятая точка просто представляет собой умножение в любом скалярном поле, используемом с V .
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Рудин, Уолтер (1976). «Глава 9: Функции нескольких переменных». Принципы математического анализа (3-е изд.). МакГроу-Хилл. п. 207. ИСБН 0-07-054235-Х .
Линейные преобразования X в X часто называют операторами на X. линейными
- ^ Jump up to: а б Роман, Стивен (2008). «Глава 2: Линейные преобразования». Продвинутая линейная алгебра (3-е изд.). Спрингер. п. 59. ИСБН 978-0-387-72828-5 .
- ^ Шей, Х.М. (2005). Div, Grad, Curl и все такое . Нью-Йорк, Нью-Йорк: WW Нортон. ISBN 0-393-92516-1 .