Банахова алгебра

В математике , особенно в функциональном анализе , банахова алгебра , названная в честь Стефана Банаха , является ассоциативной алгеброй. $A$ над действительными или комплексными числами (или над неархимедовым полным нормированным полем ), которое одновременно является и банаховым пространством , то есть нормированным пространством , полным в метрике, индуцированной нормой. Норма необходима для удовлетворения $$\|x\,y\|\ \leq \|x\|\,\|y\|\quad {\text{ for all }}x,y\in A.$$

операции умножения Это гарантирует непрерывность .

Банахова алгебра называется унитальной , если она имеет единицу для умножения, норма которой равна $1,$ и коммутативен, если его умножение коммутативно .Любая банахова алгебра $A$ (независимо от того, имеет ли он единичный элемент или нет) может быть изометрически вложено в единичную банахову алгебру. $A_{e}$ чтобы закрытый идеал сформировать $A_{e}$. предполагают Часто априори , что рассматриваемая алгебра едина: поскольку большую часть теории можно развить, рассматривая $A_{e}$ а затем применив результат в исходной алгебре. Однако это не всегда так. Например, невозможно определить все тригонометрические функции в банаховой алгебре без тождества.

Теория вещественных банаховых алгебр может сильно отличаться от теории комплексных банаховых алгебр. Например, спектр элемента нетривиальной комплексной банаховой алгебры никогда не может быть пустым, тогда как в реальной банаховой алгебре он может быть пустым для некоторых элементов.

Банаховые алгебры также можно определить над полями $p$-адические числа . Это часть $p$-адический анализ .

Примеры

Прототипическим примером банаховой алгебры является $C_{0}(X)$, пространство (комплекснозначных) непрерывных функций, определенных на локально компактном хаусдорфовом пространстве $X$, которые исчезают в бесконечности . $C_{0}(X)$ едина тогда и только тогда, когда $X$ компактен ​ . Комплексное сопряжение, являющееся инволюцией , $C_{0}(X)$ на самом деле является C*-алгеброй . В более общем смысле каждая C*-алгебра по определению является банаховой алгеброй.

• Множество действительных (или комплексных) чисел представляет собой банахову алгебру с нормой, заданной абсолютным значением .
• Совокупность всех реальных или сложных $n$-к- $n$ матрицы становится банаховой алгеброй с единицей , если мы снабжаем ее субмультипликативной матричной нормой .
• Возьмем банахово пространство $\mathbb {R} ^{n}$ (или $\mathbb {C} ^{n}$) с нормой $\|x\|=\max _{}|x_{i}|$ и определим умножение покомпонентно: $\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)=\left(x_{1}y_{1},\ldots ,x_{n}y_{n}\right).$
• Кватернионы образуют 4-мерную вещественную банахову алгебру , норма которой задается абсолютным значением кватернионов.
• Алгебра всех ограниченных вещественных или комплекснозначных функций, определенных на некотором множестве (с поточечным умножением и супремумной нормой), является банаховой алгеброй с единицей.
• Алгебра всех ограниченных непрерывных вещественных или комплекснозначных функций на некотором локально компактном пространстве (опять же с поточечными операциями и супремумной нормой) является банаховой алгеброй.
• Алгебра всех непрерывных линейных операторов в банаховом пространстве $E$ (с функциональной композицией как умножением и операторной нормой как нормой) является банаховой алгеброй с единицей. Множество всех компактных операторов на $E$ является банаховой алгеброй и замкнутым идеалом. Это без идентичности, если $\dim E=\infty .$
• Если $G$ является локально компактной Хаусдорфа топологической группой и $\mu$ — его мера Хаара , то банахово пространство $L^{1}(G)$ из всех $\mu$-интегрируемые функции на $G$ становится банаховой алгеброй при свертке $xy(g)=\int x(h)y\left(h^{-1}g\right)d\mu (h)$ для $x,y\in L^{1}(G).$
• Равномерная алгебра : банахова алгебра, которая является подалгеброй комплексной алгебры. $C(X)$ с супремумной нормой, который содержит константы и разделяет точки $X$ (который должен быть хаусдорфовым компактом).
• Алгебра естественных банаховых функций : равномерная алгебра, все символы которой являются оценками в точках $X.$
• C*-алгебра : Банахова алгебра, являющаяся замкнутой *-подалгеброй алгебры ограниченных операторов в некотором гильбертовом пространстве .
• Алгебра меры : Банахова алгебра, состоящая из всех мер Радона на некоторой локально компактной группе , где произведение двух мер задается сверткой мер .
• Алгебра кватернионов $\mathbb {H}$ является реальной банаховой алгеброй, но это не комплексная алгебра (и, следовательно, не комплексная банахова алгебра) по той простой причине, что центром кватернионов являются действительные числа, которые не могут содержать копию комплексных чисел.
• Аффиноидная алгебра — это определенный вид банаховой алгебры над неархимедовым полем. Аффиноидные алгебры являются основными строительными блоками жесткой аналитической геометрии .

Характеристики

Несколько элементарных функций , которые определяются через степенные ряды, могут быть определены в любой банаховой алгебре с единицей; примеры включают экспоненциальную функцию и тригонометрические функции , а также любую целую функцию . (В частности, экспоненциальное отображение можно использовать для определения абстрактных индексных групп .) Формула для геометрической прогрессии остается верной в общих банаховых алгебрах с единицей. Биномиальная теорема справедлива и для двух коммутирующих элементов банаховой алгебры.

Множество обратимых элементов в любой банаховой алгебре с единицей является открытым множеством , и операция обращения на этом множестве непрерывна (и, следовательно, является гомеоморфизмом), так что она образует топологическую группу при умножении.

Если банахова алгебра имеет единицу $\mathbf {1} ,$ затем $\mathbf {1}$ не может быть коммутатором ; то есть, $xy-yx\neq \mathbf {1}$ для любого $x,y\in A.$ Это потому, что $xy$ и $yx$ имеют тот же спектр, за исключением, возможно, $0.$

Различные алгебры функций, приведенные в примерах выше, имеют свойства, сильно отличающиеся от стандартных примеров алгебр, таких как действительные числа. Например:

• Каждая действительная банахова алгебра, являющаяся телом, изоморфна действительным числам, комплексам или кватернионам. Следовательно, единственная комплексная банахова алгебра, являющаяся алгеброй с делением, — это комплексы. (Это известно как теорема Гельфанда–Мазура .)
• Любая вещественная банахова алгебра с единицей, не имеющая делителей нуля и в которой каждый главный идеал замкнут , изоморфна действительным числам, комплексам или кватернионам.
• Любая коммутативная вещественная нётерова банахова алгебра с единицей без делителей нуля изоморфна действительным или комплексным числам.
• Любая коммутативная вещественная нетерова банахова алгебра с единицей (возможно, имеющая делители нуля) конечномерна.
• Постоянно сингулярные элементы в банаховых алгебрах являются топологическими делителями нуля , то есть с учетом расширений $B$ банаховых алгебр $A$ некоторые элементы, сингулярные в данной алгебре $A$ имеют мультипликативный обратный элемент в расширении банаховой алгебры $B.$ Топологические делители нуля в $A$ постоянно сингулярны в любом банаховом расширении $B$ из $A.$

Спектральная теория

Основная статья: Спектральная теория

Банаховы алгебры с единицей над комплексным полем обеспечивают общую основу для разработки спектральной теории. Спектр ​ элемента $x\in A,$ обозначается $\sigma (x)$, состоит из всех этих комплексных скаляров $\lambda$ такой, что $x-\lambda \mathbf {1}$ не является обратимым в $A.$ Спектр любого элемента $x$ является закрытым подмножеством закрытого диска в $\mathbb {C}$ с радиусом $\|x\|$ и центр $0,$ и поэтому компактен . Более того, спектр $\sigma (x)$ элемента $x$ непусто формуле и удовлетворяет спектрального радиуса : $$\sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (x)\}=\lim _{n\to \infty }\|x^{n}\|^{1/n}.$$

Данный $x\in A,$ голоморфное функциональное исчисление позволяет определить $f(x)\in A$ для любой функции $f$ голоморфен в окрестности $\sigma (x).$ Кроме того, справедлива теорема о спектральном отображении: $$\sigma (f(x))=f(\sigma (x)).$$

Когда банахова алгебра $A$ это алгебра $L(X)$ ограниченных линейных операторов в комплексном банаховом пространстве $X$ (например, алгебра квадратных матриц), понятие спектра в $A$ совпадает с обычным в теории операторов . Для $f\in C(X)$ (с компактом Хаусдорфа $X$), видно, что: $$\sigma (f)=\{f(t):t\in X\}.$$

Норма нормального элемента $x$ С*-алгебры совпадает с ее спектральным радиусом. Это обобщает аналогичный факт для нормальных операторов.

Позволять $A$ — комплексная банахова алгебра с единицей, в которой каждый ненулевой элемент $x$ обратима (алгебра с делением). Для каждого $a\in A,$ есть $\lambda \in \mathbb {C}$ такой, что $a-\lambda \mathbf {1}$ не обратима (поскольку спектр $a$ не пусто) следовательно $a=\lambda \mathbf {1} :$ эта алгебра $A$ естественно изоморфен $\mathbb {C}$ (комплексный случай теоремы Гельфанда–Мазура).

Идеалы и характеры

Позволять $A$ — коммутативная банахова алгебра с единицей над $\mathbb {C} .$ С $A$ тогда является коммутативным кольцом с единицей, каждый необратимый элемент которого $A$ принадлежит некоторому максимальному идеалу $A.$ Поскольку максимальный идеал ${\mathfrak {m}}$ в $A$ закрыто, $A/{\mathfrak {m}}$ является банаховой алгеброй, которая является полем, и из теоремы Гельфанда–Мазура следует, что существует биекция между множеством всех максимальных идеалов $A$ и набор $\Delta (A)$ всех ненулевых гомоморфизмов из $A$ к $\mathbb {C} .$ Набор $\Delta (A)$ называется « структурным пространством » или «пространством символов» $A,$ и его участники «персонажи».

Персонаж $\chi$ является линейным функционалом от $A$ что в то же время мультипликативно, $\chi (ab)=\chi (a)\chi (b),$ и удовлетворяет $\chi (\mathbf {1} )=1.$ Каждый символ автоматически продолжается от $A$ к $\mathbb {C} ,$ поскольку ядро ​​характера является максимальным идеалом, который замкнут. При этом норма (т. е. операторная норма) персонажа одна. Оснащен топологией поточечной сходимости на $A$ (то есть топология, индуцированная слабой топологией $A^{*}$), пространство символов, $\Delta (A),$ является хаусдорфовым компактом.

Для любого $x\in A,$$$\sigma (x)=\sigma ({\hat {x}})$$где ${\hat {x}}$ является Гельфанда представлением $x$ определяется следующим образом: ${\hat {x}}$ — непрерывная функция от $\Delta (A)$ к $\mathbb {C}$ данный ${\hat {x}}(\chi )=\chi (x).$ Спектр ${\hat {x}},$ в приведенной выше формуле – спектр как элемент алгебры $C(\Delta (A))$ комплексных непрерывных функций на компакте $\Delta (A).$ Явно, $$\sigma ({\hat {x}})=\{\chi (x):\chi \in \Delta (A)\}.$$

Коммутативная банахова алгебра с единицей как алгебра полупроста (т. е. ее радикал Джекобсона равен нулю) тогда и только тогда, когда ее представление Гельфанда имеет тривиальное ядро. Важным примером такой алгебры является коммутативная С*-алгебра. Фактически, когда $A$ является коммутативной С*-алгеброй с единицей, то представление Гельфанда является тогда изометрическим *-изоморфизмом между $A$ и $C(\Delta (A)).$

Банаховы *-алгебры

И банахова *-алгебра $A$ — банахова алгебра над полем комплексных чисел вместе с отображением ${}^{*}:A\to A$ который имеет следующие свойства:

1. $\left(x^{*}\right)^{*}=x$ для всех $x\in A$ (так что карта является инволюцией ).
2. $(x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}$ для всех $x,y\in A.$
3. $(\lambda x)^{*}={\bar {\lambda }}x^{*}$ для каждого $\lambda \in \mathbb {C}$ и каждый $x\in A;$ здесь, ${\bar {\lambda }}$ обозначает комплексно-сопряженное число $\lambda .$
4. $(xy)^{*}=y^{*}x^{*}$ для всех $x,y\in A.$

Другими словами, банахова *-алгебра — это банахова алгебра над $\mathbb {C}$ это тоже *-алгебра .

В большинстве естественных примеров также имеет место, что инволюция изометрична , т. е. $$\|x^{*}\|=\|x\|\quad {\text{ for all }}x\in A.$$Некоторые авторы включают это изометрическое свойство в определение банаховой *-алгебры.

Банахова *-алгебра, удовлетворяющая $\|x^{*}x\|=\|x^{*}\|\|x\|$ является C*-алгеброй .

См. также

• Приблизительная идентичность – более абстрактно. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Гипотеза Капланского - Многочисленные гипотезы математика Ирвинга Каплански. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Операторная алгебра - Раздел функционального анализа.
• Shilov boundary

Ссылки

• Боллобас, Б (1990). Линейный анализ . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-38729-9 .
• Бонсолл, ФФ ; Дункан, Дж. (1973). Полные нормированные алгебры . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-06386-2 .
• Конвей, Дж. Б. (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике. Том. 96. Спрингер Верлаг . ISBN  0-387-97245-5 .
• Дейлс, ХГ; Эйна, П.; Эшмайер, Дж; Лаурсен, К.; Уиллис, Джорджия (2003). Введение в банаховы алгебры, операторы и гармонический анализ . Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/CBO9780511615429 . ISBN  0-521-53584-0 .
• Мосак, Р.Д. (1975). Банаховые алгебры . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета). ISBN  0-226-54203-3 .
• Такесаки, М. (1979). Теория операторных алгебр I . Энциклопедия математических наук. Том. 124 (1-е изд.). Берлин Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-42248-8 . ISSN   0938-0396 .