Архимедово свойство

Эта статья об абстрактной алгебре. О физическом законе см. Принцип Архимеда .

Иллюстрация архимедова свойства.

В абстрактной алгебре и анализе архимедово свойство , названное в честь древнегреческого математика Архимеда Сиракузского алгебраические , является свойством, которым обладают некоторые структуры , такие как упорядоченные или нормированные группы и поля . Свойство, как его обычно понимают, гласит, что при наличии двух положительных чисел $x$ и $y$, существует целое число $n$ такой, что $nx>y$. Это также означает, что множество натуральных чисел не ограничено сверху. Грубо говоря, это свойство не иметь ни бесконечно больших , ни бесконечно малых элементов. Именно Отто Штольц дал аксиоме Архимеда свое название, потому что она появляется как аксиома V из работы Архимеда « О сфере и цилиндре» .

Это понятие возникло из теории величин Древней Греции; она по-прежнему играет важную роль в современной математике, например, Дэвида Гильберта и в аксиомах геометрии теориях упорядоченных групп , упорядоченных полей и локальных полей .

Алгебраическая структура, в которой любые два ненулевых элемента сравнимы в том смысле, что ни один из них не является бесконечно малым по отношению к другому, называется архимедовой . Структура, имеющая пару ненулевых элементов, один из которых бесконечно мал по отношению к другому, называется неархимедовой . Например, линейно упорядоченная группа , являющаяся архимедовой, является архимедовой группой .

Это можно уточнить в различных контекстах, используя несколько разные формулировки. Например, в контексте упорядоченных полей есть аксиома Архимеда , которая формулирует это свойство, где поле действительных чисел является архимедовым, а поле рациональных функций с действительными коэффициентами - нет.

История и происхождение названия архимедовой собственности

Концепция была названа Отто Штольцем в 1880-х годах) в честь древнегреческого геометра и физика Архимеда Сиракузского ( .

Свойство Архимеда появляется в книге V » Евклида «Начал как определение 4:

Говорят, что величины имеют отношение друг к другу, которое при умножении может превосходить друг друга.

Поскольку Архимед приписал ее Евдоксу Книдскому, она также известна как «Теорема Евдокса» или аксиома Евдокса .

Архимед использовал бесконечно малые числа в эвристических аргументах, хотя и отрицал, что это были законченные математические доказательства .

Определение линейно упорядоченных групп

Основная статья: Архимедова группа

Пусть x и y — элементы группы линейно упорядоченной G. положительные Затем $x$ бесконечно мал по отношению к $y$ (или, что то же самое, $y$ бесконечно по отношению к $x$), если для любого натурального числа $n$, кратное $nx$ меньше, чем $y$, то есть имеет место следующее неравенство: $$\underbrace {x+\cdots +x} _{n{\text{ terms}}}<y.\,$$

Это определение можно распространить на всю группу, приняв абсолютные значения.

Группа $G$ является архимедовым, если нет пары $(x,y)$ такой, что $x$ бесконечно мал по отношению к $y$.

Кроме того, если $K$ — алгебраическая структура с единицей (1) — например, кольцом — аналогичное определение применимо и к $K$. Если $x$ бесконечно мал по отношению к $1$, затем $x$ является бесконечно малым элементом . Аналогично, если $y$ бесконечно по отношению к $1$, затем $y$ является бесконечным элементом . Алгебраическая структура $K$ является архимедовым, если оно не имеет ни бесконечных, ни бесконечно малых элементов.

Упорядоченные поля

Упорядоченные поля имеют некоторые дополнительные свойства:

• Рациональные числа вложены в любое упорядоченное поле. То есть любое упорядоченное поле имеет нулевую характеристику .
• Если $x$ бесконечно мало, то $1/x$ бесконечно, и наоборот. Следовательно, чтобы убедиться в архимедовости поля, достаточно проверить только отсутствие бесконечно малых элементов или отсутствие бесконечных элементов.
• Если $x$ бесконечно мал и $r$ является рациональным числом, то $rx$ также бесконечно мало. В результате, учитывая общий элемент $c$, три цифры $c/2$, $c$, и $2c$ либо все бесконечно малы, либо все не бесконечно малы.

В этом случае упорядоченное поле K является архимедовым именно тогда, когда выполняется следующее утверждение, называемое аксиомой Архимеда :

"Позволять $x$ быть любым элементом $K$. Тогда существует натуральное число $n$ такой, что $n>x$."

Альтернативно можно использовать следующую характеристику: $$\forall \,\varepsilon \in K{\big (}\varepsilon >0\implies \exists \ n\in N:1/n<\varepsilon {\big )}.$$

Определение нормированных полей

Квалификатор «Архимед» также формулируется в теории однозначных полей и нормированных пространств над однозначными полями следующим образом. Позволять $K$ быть полем, наделенным функцией абсолютного значения, т. е. функцией, которая связывает действительное число $0$ с элементом поля 0 и связывает положительное действительное число $|x|$ с каждым ненулевым $x\in K$ и удовлетворяет $|xy|=|x||y|$ и $|x+y|\leq |x|+|y|$. Затем, $K$ называется архимедовым, если для любого ненулевого $x\in K$ существует натуральное число $n$ такой, что $$|\underbrace {x+\cdots +x} _{n{\text{ terms}}}|>1.$$

Аналогично, нормированное пространство является архимедовым, если сумма $n$ члены, каждый из которых равен ненулевому вектору $x$, имеет норму больше единицы для достаточно больших $n$. Поле с абсолютным значением или нормированное пространство либо является архимедовым, либо удовлетворяет более сильному условию, называемому ультраметрическим неравенством треугольника , $$|x+y|\leq \max(|x|,|y|),$$соответственно. Поле или нормированное пространство, удовлетворяющее ультраметрическому неравенству треугольника, называется неархимедовым .

Понятие неархимедова нормированного линейного пространства было введено А. Ф. Монной.

Примеры и не примеры

Архимедово свойство действительных чисел

Полю рациональных чисел можно присвоить одну из множества функций абсолютного значения, включая тривиальную функцию $|x|=1$, когда $x\neq 0$, тем более обычно ${\textstyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}$и $p$-адические функции абсолютного значения . По теореме Островского каждое нетривиальное абсолютное значение рациональных чисел эквивалентно либо обычному абсолютному значению, либо некоторому $p$-адическое абсолютное значение. Рациональное поле не является полным относительно нетривиальных абсолютных значений; относительно тривиального абсолютного значения рациональное поле представляет собой дискретное топологическое пространство, столь полное. Пополнением по обычному модулю (от порядка) является поле действительных чисел. Согласно этой конструкции поле действительных чисел является архимедовым и как упорядоченное, и как нормированное поле. С другой стороны, пополнения по остальным нетривиальным абсолютным значениям дают поля p-адических чисел , где $p$ – простое целое число (см. ниже); с тех пор как $p$-адические абсолютные значения удовлетворяют ультраметрическому свойству, тогда $p$Поля -адических чисел не являются архимедовыми как нормированные поля (их нельзя превратить в упорядоченные поля).

В аксиоматической теории действительных чисел отсутствие ненулевых бесконечно малых действительных чисел подразумевается из свойства наименьшей верхней границы следующим образом. Обозначим через $Z$ множество, состоящее из всех положительных бесконечно малых. Это множество ограничено сверху $1$. Теперь предположим в качестве противоречия, что $Z$ непусто. Тогда оно имеет наименьшую верхнюю границу $c$, что также положительно, поэтому $c/2<c<2c$. Поскольку c является верхней границей $Z$ и $2c$ строго больше, чем $c$, $2c$ не является положительной бесконечно малой величиной. То есть существует некоторое натуральное число $n$ для чего $1/n<2c$. С другой стороны, $c/2$ является положительной бесконечно малой величиной, поскольку по определению наименьшей верхней границы должна существовать бесконечно малая величина $x$ между $c/2$ и $c$, и если $1/k<c/2\leq x$ затем $x$ не является бесконечно малым. Но $1/(4n)<c/2$, так $c/2$ не является бесконечно малым, и это противоречие. Это означает, что $Z$ в конце концов пусто: не существует положительных, бесконечно малых действительных чисел.

Архимедово свойство действительных чисел сохраняется и в конструктивном анализе , даже несмотря на то, что свойство наименьшей верхней границы может не работать в этом контексте.

Неархимедово упорядоченное поле

Основная статья: Неархимедово упорядоченное поле

В качестве примера упорядоченного поля , не являющегося архимедовым, возьмем поле рациональных функций с действительными коэффициентами. (Рациональной функцией называется любая функция, которую можно выразить в виде деления одного многочлена на другой многочлен; в дальнейшем мы будем предполагать, что это сделано так, что старший коэффициент знаменателя положителен.) Чтобы сделать это поле упорядоченным, необходимо назначить порядок, совместимый с операциями сложения и умножения. Сейчас $f>g$ тогда и только тогда, когда $f-g>0$, поэтому нам нужно только сказать, какие рациональные функции считаются положительными. Назовите функцию положительной, если старший коэффициент числителя положителен. (Необходимо убедиться, что этот порядок четко определен и совместим со сложением и умножением.) По этому определению рациональная функция $1/x$ положительна, но меньше рациональной функции $1$. Фактически, если $n$ любое натуральное число, то $n(1/x)=n/x$ положительно, но все же меньше, чем $1$, независимо от того, насколько большой $n$ является. Поэтому, $1/x$ является бесконечно малой величиной в этом поле.

Этот пример распространяется на другие коэффициенты. Взяв рациональные функции с рациональными вместо вещественных коэффициентов, получим счетное неархимедово упорядоченное поле. Приняв коэффициенты за рациональные функции от другой переменной, скажем, $y$, создает пример с другим типом ордера .

Поля с неархимедовыми значениями

Поле рациональных чисел, наделенное p-адической метрикой, и поля p-адических чисел , являющиеся пополнениями, не обладают архимедовым свойством как поля с абсолютными значениями. Все архимедовозначные поля изометрически изоморфны подполю комплексных чисел со степенью обычного абсолютного значения.

Эквивалентные определения архимедова упорядоченного поля

Каждое линейно упорядоченное поле $K$ содержит (изоморфную копию) рациональных чисел как упорядоченное подполе, а именно подполе, порожденное мультипликативной единицей $1$ из $K$, которая, в свою очередь, содержит целые числа в виде упорядоченной подгруппы, которая содержит натуральные числа в виде упорядоченного моноида . Тогда вложение рациональных чисел дает возможность говорить о рациональных, целых и натуральных числах в $K$. Ниже приведены эквивалентные характеристики архимедовых полей в терминах этих подструктур.

1. Натуральные числа являются конфинальными в $K$. То есть каждый элемент $K$ меньше некоторого натурального числа. (Это не тот случай, когда существуют бесконечные элементы.) Таким образом, архимедово поле — это поле, натуральные числа которого растут без ограничений.
2. Ноль – это нижняя грань $K$ из набора $\{1/2,1/3,1/4,\dots \}$. (Если $K$ содержало положительную бесконечно малую величину, оно было бы нижней границей множества, поэтому ноль не был бы самой большой нижней границей.)
3. Набор элементов $K$ между положительными и отрицательными рациональными числами не является открытым. Это потому, что множество состоит из всех бесконечно малых, а это всего лишь набор $\{0\}$ когда нет ненулевых бесконечно малых и в противном случае открыто, не существует ни наименьшей, ни наибольшей ненулевой бесконечно малой. Заметим, что в обоих случаях множество бесконечно малых замкнуто. В последнем случае (i) каждое бесконечно малое меньше любого положительного рационального, (ii) не существует ни наибольшего бесконечно малого, ни наименьшего положительного рационального, и (iii) между ними нет ничего другого. Следовательно, любое неархимедово упорядоченное поле одновременно неполно и несвязно.
4. Для любого $x$ в $K$ набор целых чисел, больших, чем $x$ имеет наименьший элемент. (Если $x$ если бы величина была отрицательной и бесконечной, каждое целое число было бы больше ее.)
5. Каждый непустой открытый интервал $K$ содержит рациональное. (Если $x$ является положительной бесконечно малой величиной, открытый интервал $(x,2x)$ содержит бесконечно много бесконечно малых, но ни одного рационального.)
6. Рациональные аргументы плотны в $K$ в отношении как суп, так и инф. (то есть каждый элемент $K$ является дополнением некоторого набора рациональных чисел, а inf некоторого другого набора рациональных чисел.) Таким образом, архимедово поле — это любое плотное упорядоченное расширение рациональных чисел в смысле любого упорядоченного поля, которое плотно вкладывает свои рациональные элементы.

См. также

• 0,999... – Альтернативное десятичное расширение 1
• Архимедово упорядоченное векторное пространство - бинарное отношение в векторном пространстве.
• Построение действительных чисел

Ссылки

• Шехтер, Эрик (1997). Справочник по анализу и его основам . Академическая пресса. ISBN  0-12-622760-8 . Архивировано из оригинала 7 марта 2015 года . Проверено 30 января 2009 г.