Локальное поле

В математике поле , K называется неархимедовым локальным полем если оно полно относительно метрики, индуцированной дискретным нормированием v , и если его поле вычетов k конечно. ^[1] В общем, локальное поле — это локально компактное топологическое поле относительно недискретной топологии . ^[2] Действительные числа R и комплексные числа C (с их стандартной топологией) являются архимедовыми локальными полями. Учитывая локальное поле, определенная на нем оценка может быть любого из двух типов, каждый из которых соответствует одному из двух основных типов локальных полей: тем, в которых оценка является архимедовой , и тем, в которых она не является архимедовой. В первом случае локальное поле называют архимедовым локальным полем , во втором случае — неархимедовым локальным полем . ^[3] Локальные поля естественным образом возникают в теории чисел как пополнения глобальных полей . ^[4]

Хотя архимедовы локальные поля были довольно хорошо известны в математике уже по крайней мере 250 лет, первые примеры неархимедовых локальных полей — поля p -адических чисел для положительного простого целого числа p — были представлены Куртом Хензелем в конце 19 век.

Каждое локальное поле изоморфно (как топологическое поле) одному из следующих: ^[3]

Архимедовы локальные поля ( нулевая характеристика : действительные числа R и комплексные числа C. )
Неархимедовы локальные поля нулевой характеристики: конечные расширения Q p -адических чисел p ₍ где p — любое простое число ).
Неархимедовы локальные поля характеристики p (для p любого заданного простого числа): поле Лорана F _q (( T )) над конечным полем F _q , где q - степень p формального ряда .

В частности, что важно в теории чисел, классы локальных полей проявляются как пополнения полей алгебраических чисел относительно их дискретного нормирования, соответствующего одному из их максимальных идеалов . В исследовательских работах по современной теории чисел часто рассматривается более общее понятие, требующее только того, чтобы поле вычетов было совершенным и имело положительные характеристики, а не обязательно конечное. ^[5] В этой статье используется первое определение.

Индуцированное абсолютное значение

Учитывая такое абсолютное значение в поле K можно определить следующую топологию , на K : для положительного действительного числа m определите подмножество B _m поля K следующим образом:

B_{m}:=\{a\in K:|a|\leq m\}.

Тогда b+B _m составляют базис окрестности b в K .

И наоборот, топологическое поле с недискретной локально компактной топологией имеет абсолютное значение, определяющее его топологию. Его можно построить, используя меру Хаара аддитивной группы поля.

Основные особенности неархимедовых локальных полей

Для неархимедова локального поля F (с абсолютным значением, обозначаемым |·|) важны следующие объекты:

его кольцо целых чисел ${\mathcal {O}}=\{a\in F:|a|\leq 1\}$ которое является кольцом дискретного нормирования , является замкнутым единичным шаром F и компактно ;
единицы чисел в кольце целых ${\mathcal {O}}^{\times }=\{a\in F:|a|=1\}$ которая образует группу и является сферой F единичной ;
уникальный ненулевой простой идеал ${\mathfrak {m}}$ в своем кольце целых чисел, которое является его открытым единичным шаром $\{a\in F:|a|<1\}$ ;
генератор $\varpi$ из ${\mathfrak {m}}$ называется униформизатором $F$ ;
его поле вычетов $k={\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}$ которая конечна (поскольку она компактна и дискретна ).

Каждый ненулевой элемент a из F можно записать как a = ϖ ^нu , где u — единица измерения, а n — уникальное целое число.Нормализованная оценка F F — это сюръективная функция v : ∪ {∞}, определяемая путем → Z перевода ненулевого a в уникальное целое число n, такое что a = ϖ ^нu с u единицей и отправив 0 на ∞. Если q — мощность поля вычетов, абсолютное значение поля F, индуцированное его структурой как локального поля, определяется формулой: ^[6]

|a|=q^{-v(a)}.

Эквивалентное и очень важное определение неархимедова локального поля состоит в том, что это поле, полное относительно дискретного нормирования и поле вычетов которого конечно.

Примеры

p - числа : кольцо целых чисел Qp _{адические} кольцом целых p -адических чисел Zp _{является} . Его первичный идеал — p Z _p а поле вычетов — Z / p Z. , Каждый ненулевой элемент Q _p можно записать как u p ^н где u — единица в Z _p , а n — целое число, то v ( u p ^н) = n для нормированной оценки.
Формальный ряд Лорана над конечным полем : кольцо целых чисел F _q (( T )) является кольцом формальных степенных рядов F _q [[ T ]]. Его максимальный идеал — ( T ) (т.е. степенной ряд которого , постоянный член равен нулю), а его поле вычетов — F _q . Его нормализованная оценка связана с (нижней) степенью формального ряда Лорана следующим образом:
$v\left(\sum _{i=-m}^{\infty }a_{i}T^{i}\right)=-m$ (где a _{− m} не равно нулю).
Формальный ряд Лорана по комплексным числам не является локальным полем. Например, его поле вычетов равно C [[ T ]]/( T ) = C , которое не является конечным.

Высшие группы единиц

Затем  ^й группа высшей единицы неархимедова локального поля F равна

U^{(n)}=1+{\mathfrak {m}}^{n}=\left\{u\in {\mathcal {O}}^{\times }:u\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,{\mathfrak {m}}^{n})\right\}

при n ≥ 1. Группа U ⁽¹⁾ называется группой главных единиц , а любой ее элемент — главной единицей . Полная группа юнитов ${\mathcal {O}}^{\times }$ обозначается U ⁽⁰⁾.

Высшие группы единиц образуют убывающую фильтрацию группы единиц.

{\mathcal {O}}^{\times }\supseteq U^{(1)}\supseteq U^{(2)}\supseteq \cdots

чьи отношения определяются выражением

{\mathcal {O}}^{\times }/U^{(n)}\cong \left({\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}^{n}\right)^{\times }{\text{ and }}\,U^{(n)}/U^{(n+1)}\approx {\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}

для n ≥ 1. ^[7] (Здесь " $\approx$ " означает неканонический изоморфизм.)

Структура группы подразделений

Мультипликативная группа ненулевых элементов неархимедова локального поля F изоморфна

F^{\times }\cong (\varpi )\times \mu _{q-1}\times U^{(1)}

где q — порядок поля вычетов, а µ _{q −1} — группа корней ( q −1)-й степени из единицы (в F ). Ее структура как абелевой группы зависит от ее характеристики :

Если F имеет положительную характеристику p , то

F^{\times }\cong \mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /{(q-1)}\oplus \mathbf {Z} _{p}^{\mathbf {N} }

где N обозначает натуральные числа ;

Если F т.е. является конечным расширением Qp _{имеет нулевую характеристику (} степени d ), то

F^{\times }\cong \mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /(q-1)\oplus \mathbf {Z} /p^{a}\oplus \mathbf {Z} _{p}^{d}

где a ≥ 0 определено так, что группа корней из единицы p -степени в F равна

\mu _{p^{a}}

. ^[8]

Теория локальных полей

Эта теория включает в себя изучение типов локальных полей, расширений локальных полей с использованием леммы Гензеля , расширений Галуа локальных полей, групп ветвления групп Галуа локальных полей, поведения отображения нормы на локальных полях, локального гомоморфизма взаимности и теорема существования в локальной теории полей классов , локальное соответствие Ленглендса , теория Ходжа-Тейта (также называемая p -адической теорией Ходжа ), явные формулы для символа Гильберта в локальной теории полей классов, см., например, ^[9]

Локальные поля более высокой размерности

Локальное поле иногда называют одномерным локальным полем .

Неархимедово локальное поле можно рассматривать как поле частных пополнения локального кольца одномерной арифметической схемы ранга 1 в ее неособой точке.

Для неотрицательного целого числа n -мерное n локальное поле представляет собой полное поле дискретных норм, поле вычетов которого является ( n - 1)-мерным локальным полем. ^[5] В зависимости от определения локального поля нульмерное локальное поле является либо конечным полем (в соответствии с определением, используемым в этой статье), либо совершенным полем положительной характеристики.

С геометрической точки зрения n -мерные локальные поля с последним конечным полем вычетов естественно сопоставляются с полным флагом подсхем n -мерной арифметической схемы.

См. также

Цитаты

^ Кассельс и Фрелих 1967 , с. 129, гл. VI, Введение..
^ Потому что 1995 , с. 20.
^ Jump up to: ^а ^б Милн 2020 , с. 127, замечание 7.49.
^ Нойкирх 1999 , с. 134, разд. 5.
^ Jump up to: ^а ^б Fesenko & Vostokov 2002 , Def. 1.4.6.
^ Вейль 1995 , гл. I, Теорема 6.
^ Нойкирх 1999 , с. 122.
^ Нойкирх 1999 , Теорема II.5.7.
^ Fesenko & Vostokov 2002 , Chapters 1-4, 7.

Ссылки

Касселс, JWS ; Фрелих, Альбрехт , ред. (1967), Алгебраическая теория чисел , Academic Press , Zbl 0153.07403
Фесенко Иван Борисович ; Востоков, Сергей В. (2002), Локальные поля и их расширения , Переводы математических монографий, том. 121 (второе изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-3259-2 , г-н 1915966
Милн, Джеймс С. (2020), Алгебраическая теория чисел (изд. 3.08)
Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Том 322. Перевод Шаппахера, Норберта. Берлин: Springer Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8 . МР 1697859 . Збл 0956.11021 .
Вейль, Андре (1995), Основная теория чисел , Классика математики, Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag , ISBN 3-540-58655-5
Серр, Жан-Пьер (1979), Местные поля , Тексты для выпускников по математике, том. 67 (первое издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 0-387-90424-7

Внешние ссылки

«Локальное поле» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[FOOTNOTECasselsFröhlich1967129Ch._VI,_Intro.-1] Кассельс и Фрелих 1967 , с. 129, гл. VI, Введение..

[FOOTNOTEWeil199520-2] Потому что 1995 , с. 20.

[FOOTNOTEMilne2020127Remark_7.49-3] Jump up to: ^а ^б Милн 2020 , с. 127, замечание 7.49.

[FOOTNOTENeukirch1999134Sec._5-4] Нойкирх 1999 , с. 134, разд. 5.

[FOOTNOTEFesenkoVostokov2002Def._1.4.6-5] Jump up to: ^а ^б Fesenko & Vostokov 2002 , Def. 1.4.6.

[FOOTNOTEWeil1995Ch._I,_Theorem_6-6] Вейль 1995 , гл. I, Теорема 6.

[FOOTNOTENeukirch1999122-7] Нойкирх 1999 , с. 122.

[FOOTNOTENeukirch1999Theorem_II.5.7-8] Нойкирх 1999 , Теорема II.5.7.

[FOOTNOTEFesenkoVostokov2002Chapters_1-4,_7-9] Fesenko & Vostokov 2002 , Chapters 1-4, 7.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]