p -адическая теория Ходжа

В математике — это теория , p -адическая теория Ходжа которая позволяет классифицировать и изучать p -адические представления Галуа характеристики 0. локальных полей с остаточной характеристикой p (такой как Q _p ). Теория берет свое начало в Жан-Пьером Серром и Джоном Тейтом исследовании модулей Тейта абелевых многообразий и понятия представления Ходжа-Тейта . Представления Ходжа – Тейта связаны с определенными разложениями p -адических теорий когомологий , аналогичными разложению Ходжа , отсюда и название p -адической теории Ходжа. Дальнейшие разработки были вдохновлены свойствами p -адических представлений Галуа, возникающими из когомологий многообразий этальных . Жан-Марк Фонтен представил многие основные концепции этой области.

классификация p представлений

Пусть K — локальное поле с полем вычетов k характеристики p . В этой статье p-адическое представление K → (или G _K , Галуа абсолютной группы K ) будет непрерывным представлением ρ : G _K GL( V ), где V — конечномерное векторное пространство над Q. _п . Совокупность всех p -адических представлений K образует абелеву категорию , обозначаемую $\mathrm {Rep} _{\mathbf {Q} _{p}}(K)$в этой статье. p -адическая теория Ходжа предоставляет поднаборы p -адических представлений в зависимости от того, насколько они хороши, а также предоставляет точные функторы для категорий линейных алгебраических объектов, которые легче изучать. Основная классификация выглядит следующим образом:

$\operatorname {Rep} _{\mathrm {crys} }(K)\subsetneq \operatorname {Rep} _{ss}(K)\subsetneq \operatorname {Rep} _{dR}(K)\subsetneq \operatorname {Rep} _{HT}(K)\subsetneq \operatorname {Rep} _{\mathbf {Q} _{p}}(K)$

где каждая коллекция представляет собой полную подкатегорию, правильно содержащуюся в следующей. По порядку это категории кристаллических представлений , полустабильных представлений , представлений де Рама , представлений Ходжа-Тейта и всех p -адических представлений. Кроме того, можно ввести две другие категории представлений: потенциально кристаллические представления Rep _pcris ( K ) и потенциально полустабильные представления Rep _pst ( K ). Последний строго содержит первый, который, в свою очередь, обычно строго содержит Rep _cris ( K ); кроме того, Rep _pst ( K ) обычно строго содержит Rep _st ( K ) и содержится в Rep _dR ( K ) (с равенством, когда поле вычетов K конечно, утверждение, называемое p -адической теоремой монодромии ).

периодов и изоморфизмы сравнения в

Общая стратегия p -адической теории Ходжа, введенная Фонтейном, состоит в построении некоторых так называемых колец периодов. такие как B _dR , B _st , B _cris и B _HT , которые имеют как действие G . _K , так и некоторую линейную алгебраическую структуру, и рассмотреть так называемые модули Дьедонне

$D_{B}(V)=(B\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}V)^{G_{K}}$

(где B — кольцо периодов, а V — p -адическое представление), которые уже не обладают GK _- действием, но наделены линейными алгебраическими структурами, унаследованными от B. кольца В частности, это векторные пространства над фиксированным полем $E:=B^{G_{K}}$. Эта конструкция укладывается в формализм B -допустимых представлений , введенный Фонтеном. Для кольца периодов типа вышеупомянутых B _∗ (при ∗ = HT, dR, st, cris) упомянутая выше категория p -адических представлений Rep _∗ ( K ) является категорией B _∗ -допустимых , т. е. таких p -адические представления V , для которых

$\dim _{E}D_{B_{\ast }}(V)=\dim _{\mathbf {Q} _{p}}V$

или, что то же самое, морфизм сравнения

$\alpha _{V}:B_{\ast }\otimes _{E}D_{B_{\ast }}(V)\longrightarrow B_{\ast }\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}V$

является изоморфизмом .

Этот формализм (и название кольца периода) вырос из нескольких результатов и гипотез относительно изоморфизмов сравнения в арифметике и комплексной геометрии :

• Если X — собственная гладкая схема над C существует классический изоморфизм сравнения между алгебраическими когомологиями де Рама X . над C и сингулярными когомологиями X , ( C )

$H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/\mathbf {C} )\cong H^{\ast }(X(\mathbf {C} ),\mathbf {Q} )\otimes _{\mathbf {Q} }\mathbf {C} .$

Этот изоморфизм можно получить, рассматривая спаривание , полученное интегрированием дифференциальных форм в алгебраических когомологиях де Рама по циклам в сингулярных когомологиях. Результат такого интегрирования называется периодом и обычно представляет собой комплексное число. Это объясняет, почему сингулярные когомологии должны быть тензорированы к C , и с этой точки зрения можно сказать, что C содержит все периоды, необходимые для сравнения алгебраических когомологий де Рама с сингулярными когомологиями, и, следовательно, в этой ситуации его можно назвать кольцом периодов. .

• В середине шестидесятых годов Тейт предположил, что что аналогичный изоморфизм должен иметь место для собственных гладких схем X над K между алгебраическими когомологиями де Рама и p -адическими этальными когомологиями ( гипотеза Ходжа–Тейта , также называемая C _HT ). В частности, пусть C _K — пополнение алгебраического замыкания K , , пусть C _K ( i ) обозначает C _K где действие G _K осуществляется через g · z = χ( g ) ^я g · z (где χ — p -адический круговой характер , а i — целое число), и пусть $B_{\mathrm {HT} }:=\oplus _{i\in \mathbf {Z} }\mathbf {C} _{K}(i)$. Тогда существует функториальный изоморфизм

$B_{\mathrm {HT} }\otimes _{K}\mathrm {gr} H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/K)\cong B_{\mathrm {HT} }\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}H_{\mathrm {{\acute {e}}t} }^{\ast }(X\times _{K}{\overline {K}},\mathbf {Q} _{p})$

градуированных векторных пространств с G _K -действием (когомологии де Рама снабжены фильтрацией Ходжа и $\mathrm {gr} H_{\mathrm {dR} }^{\ast }$является связанной с ним оценкой). Эту гипотезу доказал Герд Фалтингс в конце восьмидесятых годов. после частичных результатов нескольких других математиков (включая самого Тейта).

• Для абелева многообразия X с хорошей редукцией над p -адическим полем K кристаллические Александр Гротендик переформулировал теорему Тейта, сказав, что когомологии H ¹ ( X / W ( k )) ⊗ Q _p специального слоя (с эндоморфизмом Фробениуса на этой группе и фильтрацией Ходжа на этой группе, тензорной с K ) и p -адическими этальными когомологиями H ¹ ( X , Q _p ) (с действием группы Галуа K ) содержал ту же информацию. Оба эквивалентны p -делимой группе , ассоциированной с X , с точностью до изогении. Гротендик предположил, что должен быть способ перейти непосредственно от p -адических этальных когомологий к кристаллическим когомологиям (и обратно) для всех многообразий с хорошей редукцией в p -адических полях. Это предложенное соотношение стало известно как загадочный функтор .

Чтобы улучшить гипотезу Ходжа – Тейта до гипотезы, включающей когомологии де Рама (а не только связанные с ней градуированные), Фонтейн построил кольцо фильтрованное , B _dR связанная с ним градуировка B _HT и предполагаемая следующее (называемое C _dR ) для любой гладкой собственной схемы X над K

$B_{\mathrm {dR} }\otimes _{K}H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/K)\cong B_{\mathrm {dR} }\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}H_{\mathrm {{\acute {e}}t} }^{\ast }(X\times _{K}{\overline {K}},\mathbf {Q} _{p})$

как фильтрованные векторные пространства с G _K -действием. Таким образом, можно сказать, что B _dR содержит все ( p -адические) периоды, необходимые для сравнения алгебраических когомологий де Рама с p -адическими этальными когомологиями, точно так же, как приведенные выше комплексные числа использовались при сравнении с сингулярными когомологиями. Именно здесь B _dR получает название кольца p-адических периодов .

Аналогичным образом, чтобы сформулировать гипотезу, объясняющую загадочный функтор Гротендика, Фонтейн ввел кольцо B _cris с G _K -действием, «фробениусовым» φ и фильтрацией после расширения скаляров от K ₀ до K . Он предположил следующее (называемое C _cris ) для любой гладкой собственной схемы X над K с хорошей редукцией

$B_{\mathrm {cris} }\otimes _{K_{0}}H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/K)\cong B_{\mathrm {cris} }\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}H_{\mathrm {{\acute {e}}t} }^{\ast }(X\times _{K}{\overline {K}},\mathbf {Q} _{p})$

как векторные пространства с φ-действием, G _K -действием и фильтрацией после продолжения скаляров на K (здесь $H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/K)$задана его структура как K ₀ -векторное пространство с φ-действием, заданным сравнением с кристаллическими когомологиями). Гипотезы C _dR и C _Cris были доказаны Фальтингсом.

Сравнивая эти две гипотезы с приведенным выше понятием B _∗ -допустимых представлений, видно, что если X — собственная гладкая схема над K (с хорошей редукцией), а V — полученное p -адическое представление Галуа, как и его i- е p -адическая этальная группа когомологий, то

$D_{B_{\ast }}(V)=H_{\mathrm {dR} }^{i}(X/K).$

Другими словами, модули Дьедонне следует рассматривать как дающие другие когомологии, связанные с V .

В конце восьмидесятых годов Фонтейн и Уве Яннсен сформулировали еще одну гипотезу об изоморфизме сравнения, Cst _на этот раз допускающую X. полустабильную редукцию , Фонтейн построен кольцо Bst _» с GK _- , «фробениусов» φ, фильтрацию после продолжения скаляров от до _K0 K ( и фиксации расширения p -адического логарифма ) и «оператор монодромии N. действием Когда X имеет полустабильную редукцию, когомологии де Рама могут быть оснащены φ-действием и оператором монодромии путем их сравнения с лог-кристаллическими когомологиями, впервые введенными Осаму Хёдо. Тогда гипотеза утверждает, что

$B_{\mathrm {st} }\otimes _{K_{0}}H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/K)\cong B_{\mathrm {st} }\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}H_{\mathrm {{\acute {e}}t} }^{\ast }(X\times _{K}{\overline {K}},\mathbf {Q} _{p})$

как векторные пространства с φ-действием, G _K -действием, фильтрацией после продолжения скаляров на K и оператором монодромии N . Эту гипотезу доказал в конце девяностых годов Такеши Цудзи.

См. также

• Теория Ходжа
• Arakelov theory
• Hodge-Arakelov theory
• p-адическая теория Тейхмюллера

Ссылки

Первоисточники

• Тейт, Джон (1967), « p -делимые группы» , Труды конференции по локальным полям , Спрингер, стр. 158–183, doi : 10.1007/978-3-642-87942-5_12 , ISBN  978-3-642-87942-5
• Фалтингс, Герд (1988), « p -адическая теория Ходжа», Журнал Американского математического общества , 1 (1): 255–299, doi : 10.2307/1990970 , JSTOR   1990970 , MR   0924705
• Фалтингс, Герд (1989), «Кристаллические когомологии и p -адические представления Галуа», в Игуса, Дзюн-Ичи (редактор), Алгебраический анализ, геометрия и теория чисел , Балтимор, Мэриленд: Издательство Университета Джонса Хопкинса, стр. 25 –80, ISBN  978-0-8018-3841-5 , МР   1463696
• Фонтен, Жан-Марк -адических представлений (1982), «О некоторых типах p группы Галуа локального поля; построение кольца Барсотти – Тейта», Annals of Mathematics , 115 (3): 529–577, doi : 10.2307/2007012 , JSTOR   2007012 , MR   0657238
• Гротендик, Александр (1971), «Группы Барсотти – Тейта и кристаллы», Труды Международного конгресса математиков (Ницца, 1970) , том. 1, стр. 431–436, МР   0578496
• Хёдо, Осаму (1991), «О комплексе де Рама – Витта, присоединенном к полустабильному семейству», Compositio Mathematica , 78 (3): 241–260, MR   1106296
• Серр, Жан-Пьер (1967), «Краткое содержание курсов, 1965–66», Annuaire du Collège de France , Париж, стр. 49–58 {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Цудзи, Такеши (1999), « p -адические этальные когомологии и кристаллические когомологии в случае полустабильной редукции», Inventiones Mathematicae , 137 (2): 233–411, Bibcode : 1999InMat.137..233T , doi : 10.1007/ s002220050330 , MR   1705837 , S2CID   121547567

Вторичные источники

• Бергер, Лоран (2004), «Введение в теорию p -адических представлений», Геометрические аспекты теории Дворка , том. I, Берлин: Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, arXiv : math/0210184 , Bibcode : 2002math.....10184B , ISBN  978-3-11-017478-6 , МР   2023292
• Бринон, Оливье; Конрад, Брайан (2009), заметки Летней школы CMI по p-адической теории Ходжа (PDF) , получено 5 февраля 2010 г.
• Фонтен, Жан-Марк , изд. (1994), Périodes p-adiques , Asterisque, vol. 223, Париж: Математическое общество Франции, MR   1293969.
• Иллюзи, Люк (1990), «Когомологии Де Рама и p -адические этильные когомологии (по Г. Фалтингсу, Ж.-М. Фонтену и др.) Exp. 726», Семинар Бурбаки. Полет. 1989/90. Лекции 715–729 , Asterisk, vol. 189–190, Париж: Математическое общество Франции, стр. 325–374, МР   1099881