Сопряжение

Эта статья о концепции математики. Чтобы узнать о других значениях, см. Пара (значения) .

В математике спаривание — это R - билинейное отображение декартова произведения двух R - модулей , где лежащее в кольцо R коммутативно основе .

Определение

Пусть R — коммутативное кольцо с единицей и M , N и L — R -модули .

Спариванием . является любое R -билинейное отображение $e:M\times N\to L$. То есть удовлетворяет

$e(r\cdot m,n)=e(m,r\cdot n)=r\cdot e(m,n)$,

$e(m_{1}+m_{2},n)=e(m_{1},n)+e(m_{2},n)$ и $e(m,n_{1}+n_{2})=e(m,n_{1})+e(m,n_{2})$

для любого $r\in R$ и любой $m,m_{1},m_{2}\in M$ и любой $n,n_{1},n_{2}\in N$. Эквивалентно, спаривание представляет собой R -линейное отображение.

$M\otimes _{R}N\to L$

где $M\otimes _{R}N$ обозначает произведение M . и N тензорное

Спаривание также можно рассматривать как R -линейное отображение. $\Phi :M\to \operatorname {Hom} _{R}(N,L)$, что соответствует первому определению, установив $\Phi (m)(n):=e(m,n)$.

Спаривание называется идеальным, если приведенная выше карта $\Phi$ является изоморфизмом R -модулей.

Спаривание называется невырожденным справа, если для приведенного выше отображения выполнено равенство $e(m,n)=0$ для всех $m$ подразумевает $n=0$; сходным образом, $e$ называется невырожденным слева, если $e(m,n)=0$ для всех $n$ подразумевает $m=0$.

Спаривание называется альтернирующим, если $N=M$ и $e(m,m)=0$ для всех м . В частности, это подразумевает $e(m+n,m+n)=0$, а билинейность показывает $e(m+n,m+n)=e(m,m)+e(m,n)+e(n,m)+e(n,n)=e(m,n)+e(n,m)$. Таким образом, для попеременного спаривания $e(m,n)=-e(n,m)$.

Примеры

Любое скалярное произведение в вещественном векторном пространстве V является спариванием ( установите M = N = V , R = R в приведенных выше определениях ).

Детерминантное отображение (матрицы 2 × 2 над k ) → k можно рассматривать как пару $k^{2}\times k^{2}\to k$.

Карта Хопфа $S^{3}\to S^{2}$ написано как $h:S^{2}\times S^{2}\to S^{2}$ это пример спаривания. Например, Харди и др. представить явное построение карты с использованием моделей ЧУМ.

Пары в криптографии

Основная статья: Криптография на основе пар

В криптографии часто используется следующее специализированное определение:

Позволять $\textstyle G_{1},G_{2}$ быть аддитивными группами и $\textstyle G_{T}$ мультипликативная группа , все простого порядка $\textstyle p$. Позволять $\textstyle P\in G_{1},Q\in G_{2}$ быть генераторами ​ $\textstyle G_{1}$ и $\textstyle G_{2}$ соответственно.

Пейринг – это карта: $e:G_{1}\times G_{2}\rightarrow G_{T}$

для которого справедливо следующее:

1. Билинейность : $\textstyle \forall a,b\in \mathbb {Z} :\ e\left(aP,bQ\right)=e\left(P,Q\right)^{ab}$
2. Невырожденность : $\textstyle e\left(P,Q\right)\neq 1$
3. В практических целях, $\textstyle e$ должно быть вычислено эффективно

Обратите внимание, что в криптографической литературе все группы также часто записываются в мультипликативной записи.

В случаях, когда $\textstyle G_{1}=G_{2}=G$, спаривание называется симметричным. Как $\textstyle G$ циклично , отображение $e$ будет коммутативным ; то есть для любого $P,Q\in G$, у нас есть $e(P,Q)=e(Q,P)$. Это потому, что для генератора $g\in G$, существуют целые числа $p$, $q$ такой, что $P=g^{p}$ и $Q=g^{q}$. Поэтому $e(P,Q)=e(g^{p},g^{q})=e(g,g)^{pq}=e(g^{q},g^{p})=e(Q,P)$.

— Спаривание Вейля важная концепция в криптографии на эллиптических кривых ; например, его можно использовать для атаки на определенные эллиптические кривые (см. «Атака MOV» ). Он и другие пары использовались для разработки схем шифрования на основе личности .

Немного другое использование понятия спаривания

Скалярные произведения в комплексных векторных пространствах иногда называют спариваниями, хотя они не являются билинейными.Например, в теории представлений имеется скалярное произведение характеров комплексных представлений конечной группы, которое часто называют спариванием символов .

См. также

• Двойная система
• Продукт Йонеда

Внешние ссылки

• Криптобиблиотека на основе пар