расслоение Хопфа

Попарно связанные брелоки имитируют часть расслоения Хопфа.

В математической области дифференциальной топологии расслоение Хопфа (также известное как расслоение Хопфа или отображение Хопфа ) описывает 3-сферу ( гиперсферу в четырехмерном пространстве ) в терминах кругов и обычной сферы . Обнаруженный Хайнцем Хопфом в 1931 году, он является влиятельным ранним примером пучка волокон . Технически Хопф нашел непрерывную функцию (или «карту») из $3-$ сферы в $2$ -сферу, такую, что каждая отдельная точка - сферы $2$ отображается из отдельного большого круга . $3$ -сферы ( Хопф 1931 ). ^[1] Таким образом, $3$ -сфера состоит из волокон, где каждое волокно представляет собой круг — по одному на каждую точку $2$ -сферы.

Эта структура расслоения обозначается

S^{1}\hookrightarrow S^{3}{\xrightarrow {\ p\,}}S^{2},

это означает, что расслоение $S 1$ (круг) вложен в тотальное пространство $S 3$ ( $3$ -сфера) и $p : S 3 \to С 2$ (карта Хопфа) проекты $S 3$ на базовое пространство $S 2$ (обычная $2$ -сфера). Расслоение Хопфа, как и любое расслоение, обладает тем важным свойством, что оно локально является пространством произведения . Однако это не тривиальное расслоение, т. е. $S 3$ не является глобально продуктом $S 2$ и $С 1$ хотя локально он от него неотличим.

Это имеет множество последствий: например, существование этого расслоения показывает, что высшие гомотопические группы сфер вообще не являются тривиальными. Он также предоставляет базовый пример главного расслоения , идентифицируя слой с группой кругов .

Стереографическая проекция расслоения Хопфа индуцирует замечательную структуру на $R 3$ , в котором все трехмерное пространство, за исключением оси Z, заполнено вложенными торами, состоящими из соединяющих кругов Вилларсо . Здесь каждое волокно представляет собой окружность в пространстве (одна из которых представляет собой линию, которую можно представить как «круг, проходящий через бесконечность»). Каждый тор представляет собой стереографическую проекцию обратного изображения круга широты $2-$ сферы. (Топологически тор представляет собой произведение двух окружностей.) Эти торы показаны на изображениях справа. Когда $Р 3$ сжимается до границы шара, некоторая геометрическая структура теряется, хотя топологическая структура сохраняется (см. Топология и геометрия ). Петли гомеоморфны окружностям, хотя и не являются геометрическими окружностями .

Существует множество обобщений расслоения Хопфа. Единичная сфера в комплексном координатном пространстве $C п +1$ слоями естественным образом над комплексным проективным пространством $CP н$ с кругами в качестве волокон, а также существуют вещественные , кватернионные , ^[2] и октонионные версии этих расслоений. В частности, расслоение Хопфа принадлежит семейству из четырех расслоений, в которых все пространство, базовое пространство и расслоенное пространство являются сферами:

S^{0}\hookrightarrow S^{1}\to S^{1},

S^{1}\hookrightarrow S^{3}\to S^{2},

S^{3}\hookrightarrow S^{7}\to S^{4},

S^{7}\hookrightarrow S^{15}\to S^{8}.

По теореме Адамса такие расслоения могут возникать только в этих измерениях.

Определение и конструкция

Для любого натурального числа n -мерная сфера n или n-сфера может быть определена как набор точек в $(n+1)$ -мерное пространство , находящееся на фиксированном расстоянии от центральной точки . можно принять центральную точку Для конкретности за начало координат , а расстояние точек на сфере от этого начала принять за единицу длины. Согласно этому соглашению, n -сфера, $S^{n}$ , состоит из точек $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+1})$ в $\mathbb {R} ^{n+1}$ с х ₁² + _х2² + ⋯+ х _{п + 1}² = 1. Например, $3$ -сфера состоит из точек ( x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ) в R ⁴ с х ₁² + _х2² + х ₃² + х ₄² = 1.

Расслоение Хопфа $p : S 3 \to С 2$ - сферы $3$ над $2$ -сферой можно определить несколькими способами.

Прямое строительство

Определить $R 4$ с $С 2$ и $Р 3$ с $C \times R$ (где $C$ обозначает комплексные числа ), написав:

(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\leftrightarrow (z_{0},z_{1})=(x_{1}+ix_{2},x_{3}+ix_{4})

и

(x_{1},x_{2},x_{3})\leftrightarrow (z,x)=(x_{1}+ix_{2},x_{3})

.

Таким образом, $С 3$ отождествляется с подмножеством всех $(z 0, z 1)$ в $C 2$ такой, что $| я 0 | 2 + | я 1 | 2 = 1$ и $S 2$ отождествляется с подмножеством всех $(z, x)$ в $C \times R$ таких, что $| г | 2 + х 2 = 1$ . (Здесь для комплексного числа $z = x + i y, | z | 2 = z z * = х 2 + и 2$ , где звездочка обозначает комплексно-сопряженное .) Тогда расслоение Хопфа $p$ определяется формулой

p(z_{0},z_{1})=(2z_{0}z_{1}^{\ast },\left|z_{0}\right|^{2}-\left|z_{1}\right|^{2}).

Первый компонент представляет собой комплексное число, тогда как второй компонент является действительным. Любая точка $3$ -сферы должна обладать свойством $| я 0 | 2 + | я 1 | 2 = 1$ . это так, то $p (z0, как можно показать ,, z1 Если)$ лежит на единичной $2-$ сфере в $C \times R$ сложив квадраты абсолютных значений комплексной и вещественной компонент $p$

2z_{0}z_{1}^{\ast }\cdot 2z_{0}^{\ast }z_{1}+\left(\left|z_{0}\right|^{2}-\left|z_{1}\right|^{2}\right)^{2}=4\left|z_{0}\right|^{2}\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{0}\right|^{4}-2\left|z_{0}\right|^{2}\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{1}\right|^{4}=\left(\left|z_{0}\right|^{2}+\left|z_{1}\right|^{2}\right)^{2}=1

Более того, если две точки на 3-сфере сопоставляются с одной и той же точкой на 2-сфере, т. е. если $p (z 0, z 1) = p (w 0, w 1)$ , то $(w 0, w 1)$ должно быть равно $(λ z 0, λ z 1)$ для некоторого комплексного числа $λ$ с $| λ | 2 = 1$ . Обратное также верно; любые две точки на $3$ -сфере, отличающиеся общим комплексным коэффициентом $λ,$ сопоставляются с одной и той же точкой на $2$ -сфере. Эти выводы следуют из того, что комплексный множитель $λ$ сокращается со своим комплексно-сопряженным $λ *$ в обеих частях $p$ : в комплексе $2 z 0 z 1 *$ компонент и в реальном компоненте $| я 0 | 2 - | я 1 | 2$ .

Поскольку множество комплексных чисел $λ$ с $| λ | 2 = 1$ образуют единичную окружность на комплексной плоскости, то для каждой точки $m$ в $S 2$ , прообраз $p -1 (m)$ представляет собой круг, т. е $. p -1 м ≅ С 1$ . Таким образом, $3$ -сфера реализуется как непересекающееся объединение этих круговых волокон.

Прямая параметризация $3-$ сферы с использованием отображения Хопфа заключается в следующем. ^[3]

z_{0}=e^{i\,{\frac {\xi _{1}+\xi _{2}}{2}}}\sin \eta

z_{1}=e^{i\,{\frac {\xi _{2}-\xi _{1}}{2}}}\cos \eta .

или в евклидовом $R 4$

x_{1}=\cos \left({\frac {\xi _{1}+\xi _{2}}{2}}\right)\sin \eta

x_{2}=\sin \left({\frac {\xi _{1}+\xi _{2}}{2}}\right)\sin \eta

x_{3}=\cos \left({\frac {\xi _{2}-\xi _{1}}{2}}\right)\cos \eta

x_{4}=\sin \left({\frac {\xi _{2}-\xi _{1}}{2}}\right)\cos \eta

Где $η$ находится в диапазоне от $0$ до $π /2$ , $ξ 1$ — в диапазоне от $0$ до $2 π$ , а $ξ 2$ может принимать любое значение от $0$ до $4 π$ . Каждое значение $η$ , за исключением $0$ и $π /2$ , которые определяют круги, определяет отдельный плоский тор в $3$ -сфере, и одно путешествие туда и обратно ( $от 0$ до $4 π$ ) либо $ξ 1$ , либо $ξ 2$ заставляет вас совершить один полный круг. обоих конечностей тора.

Отображение указанной выше параметризации на $2$ -сферу происходит следующим образом: точки на окружностях параметризуются $ξ 2$ .

z=\cos(2\eta )

x=\sin(2\eta )\cos \xi _{1}

y=\sin(2\eta )\sin \xi _{1}

Геометрическая интерпретация с использованием сложной проективной линии

Геометрическую интерпретацию расслоения можно получить с помощью комплексной проективной CP $прямой 1$ одномерных подпространств C $, который определяется как набор всех комплексных 2$ . Эквивалентно, $КП 1$ является фактором C $ 2 \{0}$ отношением эквивалентности , которое отождествляет $(z 0, z 1)$ с $(λ z 0, λ z 1)$ для любого ненулевого комплексного числа λ . На любой комплексной строке в C ² существует окружность с единичной нормой, и поэтому ограничение фактор-отображения на точки с единичной нормой является расслоением $S 3$ над $CP 1$ .

$КП 1$ диффеоморфна $2-$ ее можно отождествить со сферой Римана $C \infty = C \cup {\infty}$ , которая является одноточечной компактификацией C $сфере: действительно ,$ (полученной добавлением точки на бесконечности ). Приведенная выше формула для $p$ определяет явный диффеоморфизм между комплексной проективной прямой и обычной $2-$ сферой в $3$ -мерном пространстве. Альтернативно, точка $(z 0, z 1)$ может быть отображена в отношение $z 1 / z 0$ в сфере Римана $C \infty$ .

Структура пучка волокон

Расслоение Хопфа определяет расслоение с проекцией расслоения $p$ . Это означает, что он имеет «локальную структуру произведения» в том смысле, что каждая точка $-$ сферы имеет некоторую окрестность $U$ , прообраз которой в $3$ -сфере можно отождествить с произведением U $2$ и круга: $p -1 (U) ≅ U \times S 1$ . Такое расслоение называется локально тривиальным .

Для расслоения Хопфа достаточно удалить одну точку $m$ из $S 2$ и соответствующий круг $p -1 (м)$ от $С. 3$ ; таким образом, можно взять $U = S 2 \{ m }$ и любая точка в $S 2$ имеет окрестность такого вида.

Геометрическая интерпретация с использованием вращений

Другую геометрическую интерпретацию расслоения Хопфа можно получить, рассматривая вращения $2$ -сферы в обычном $3$ -мерном пространстве. Группа вращений SO(3) имеет двойное накрытие — спиновую группу $Spin(3)$ , диффеоморфную - сфере $3$ . Спиновая группа действует транзитивно на $S 2$ путем вращений. Стабилизатор ; точки изоморфен окружностей группе его элементы представляют собой углы поворота, оставляющие данную точку неподвижной, и все они имеют общую ось, соединяющую эту точку с центром сферы. Отсюда легко следует, что $3$ -сфера является расслоением главных кругов над $2$ -сферой и это расслоение Хопфа.

Чтобы сделать это более явным, есть два подхода: группу $Spin(3)$ можно отождествить либо с группой Sp(1) единичных кватернионов , либо со специальной унитарной группой SU(2) .

В первом подходе вектор $(x 1, x 2, x 3, x 4)$ в $R 4$ интерпретируется как кватернион $q \in H,$ записывая

q=x_{1}+\mathbf {i} x_{2}+\mathbf {j} x_{3}+\mathbf {k} x_{4}.\,\!

- сфера $Затем 3$ отождествляется с версорами , кватернионами единичной нормы, теми $q \in H$ , для которых $| д | 2 = 1$ , где $| д | 2 = qq *$ , что равно $x 12 + х 22 + х 32 + х 42$ для $q,$ как указано выше.

С другой стороны, вектор $(y 1, y 2, y 3)$ в $R 3$ можно интерпретировать как чистый кватернион

p=\mathbf {i} y_{1}+\mathbf {j} y_{2}+\mathbf {k} y_{3}.\,\!

Тогда, как известно со времен Кэли (1845 г.) , отображение

p\mapsto qpq^{*}\,\!

это вращение в $R 3$ : действительно, это явно изометрия , поскольку $| qpq * | 2 = qpq * qp * д * = qpp * д * = | р | 2$ , и нетрудно проверить, что он сохраняет ориентацию.

Фактически это отождествляет группу версоров с группой вращений $R 3$ , по модулю того факта, что версоры $q$ и $- q$ определяют одно и то же вращение. Как отмечалось выше, вращения действуют транзитивно на $S 2$ , а множество версоров $q$ , фиксирующих данный правый версор $p,$ имеют вид $q = u + v p$ , где $u$ и $v$ — действительные числа с $u 2 + v 2 = 1$ . Это подгруппа круга. Для конкретности можно взять $p = k$ , и тогда расслоение Хопфа можно определить как отображение, переводящее версор $ω в ω k ω. *$ . Все кватернионы $ωq$ , где $q$ — один из кругов версоров, фиксирующих $k$ , отображаются в одно и то же (что оказывается одним из двух $поворотов на 180°$ , поворачивающих $k$ в то же место, что $и ω$ ).

Другой способ взглянуть на это расслоение состоит в том, что каждый версор ω перемещает плоскость, натянутую на ${1, k}$ , в новую плоскость, натянутую на ${ω, ωk}$ . Любой кватернион $ωq$ , где $q$ — один из круга версоров, фиксирующих $k$ , будет иметь тот же эффект. Мы помещаем все это в одно волокно, и волокна можно взаимно однозначно сопоставить с $2$ -сферой с $поворотом на 180 °$ , что соответствует диапазону $ωkω. *$ .

Этот подход связан с прямым построением путем идентификации кватерниона $q = x 1 + i x 2 + j x 3 + k x 4$ с $матрицей 2\times2$ :

{\begin{bmatrix}x_{1}+\mathbf {i} x_{2}&x_{3}+\mathbf {i} x_{4}\\-x_{3}+\mathbf {i} x_{4}&x_{1}-\mathbf {i} x_{2}\end{bmatrix}}.\,\!

Это идентифицирует группу версоров с $SU(2)$ и мнимые кватернионы с косоэрмитовыми $матрицами 2\times2$ (изоморфными $C \times R$ ).

Явная формула

Вращение, индуцированное единичным кватернионом $q = w + i x + j y + k z,$ явно задается ортогональной матрицей

{\begin{bmatrix}1-2(y^{2}+z^{2})&2(xy-wz)&2(xz+wy)\\2(xy+wz)&1-2(x^{2}+z^{2})&2(yz-wx)\\2(xz-wy)&2(yz+wx)&1-2(x^{2}+y^{2})\end{bmatrix}}.

Здесь мы находим явную действительную формулу для проекции расслоения, отмечая, что фиксированный единичный вектор вдоль $z$ оси $(0,0,1)$ вращается в другой единичный вектор,

{\Big (}2(xz+wy),2(yz-wx),1-2(x^{2}+y^{2}){\Big )},\,\!

которая является непрерывной функцией от $(w, x, y, z)$ . То есть образ $q$ — это точка на $2$ -сфере, куда он направляет единичный вектор вдоль $оси z$ . Слой для данной точки на $S 2$ состоит из всех тех единичных кватернионов, которые отправляют туда единичный вектор.

Мы также можем написать явную формулу для слоя над точкой $(a, b, c)$ в $S 2$ . Умножение единичных кватернионов дает композицию вращений, и

q_{\theta }=\cos \theta +\mathbf {k} \sin \theta

представляет собой поворот на $2 θ$ вокруг $оси z$ . Поскольку $θ$ , это выметает большой круг S $изменяется 3$ , наш прототип волокна. Пока базовая точка $(a, b, c)$ не является антиподом $(0, 0, -1)$ , кватернион

q_{(a,b,c)}={\frac {1}{\sqrt {2(1+c)}}}(1+c-\mathbf {i} b+\mathbf {j} a)

отправит $(0, 0, 1)$ в $(a, b, c)$ . Таким образом, слой $(a, b, c)$ задается кватернионами формы $q (a, b, c) q θ$ , которые являются $S 3$ очки

{\frac {1}{\sqrt {2(1+c)}}}{\Big (}(1+c)\cos(\theta ),a\sin(\theta )-b\cos(\theta ),a\cos(\theta )+b\sin(\theta ),(1+c)\sin(\theta ){\Big )}.\,\!

Поскольку умножение на $q (a, b, c)$ действует как вращение пространства кватернионов, слой представляет собой не просто топологический круг, это геометрический круг.

Последний слой для $(0, 0, -1)$ можно задать, определив $q (0,0,-1)$ равным $i$ , что даст

{\Big (}0,\cos(\theta ),-\sin(\theta ),0{\Big )},

который завершает комплект. Но обратите внимание, что это взаимно однозначное отображение между $S 3$ и $С 2 \times S 1$ не является непрерывным на этой окружности, что отражает тот факт, что $S 3$ топологически не эквивалентен $S 2 \times S 1$ .

Таким образом, простой способ визуализации расслоения Хопфа заключается в следующем. Любая точка на $3$ -сфере эквивалентна кватерниону , который, в свою очередь, эквивалентен определенному вращению декартовой системы координат в трех измерениях. Набор всех возможных кватернионов создает набор всех возможных вращений, который перемещает кончик одного единичного вектора такой системы координат (скажем, $вектора z$ ) во все возможные точки на единичной $2-$ сфере. Однако фиксация кончика вектора $z$ не полностью определяет вращение; возможно дальнейшее вращение вокруг $z оси$ . Таким образом, $3$ -сфера отображается на $2$ -сферу плюс одно вращение.

Вращение можно представить с помощью углов Эйлера θ , φ и ψ . Отображение Хопфа отображает вращение в точку на 2-сфере, заданную θ и φ, а соответствующая окружность параметризуется ψ. Обратите внимание, что когда θ = π, углы Эйлера φ и ψ не определены по отдельности, поэтому у нас нет однозначного отображения (или отображения один-к-двум) между 3-тором ( θ , φ , ψ ) и S ³.

Гидравлическая механика

Если расслоение Хопфа рассматривать как векторное поле в трехмерном пространстве, то существует решение (сжимаемых, невязких) уравнений динамики жидкости Навье – Стокса , в которых жидкость течет по окружностям проекции расслоения Хопфа. в трехмерном пространстве. Величина скоростей, плотность и давление могут быть выбраны в каждой точке так, чтобы удовлетворять уравнениям. Все эти величины падают до нуля по мере удаления от центра. Если a — расстояние до внутреннего кольца, поля скорости, давления и плотности определяются по формуле:

\mathbf {v} (x,y,z)=A\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-2}\left(2(-ay+xz),2(ax+yz),a^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2}\right)

p(x,y,z)=-A^{2}B\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-3},

\rho (x,y,z)=3B\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-1}

для произвольных констант $A$ и $B$ . Подобные закономерности полей встречаются как солитонные решения магнитогидродинамики : ^[4]

Обобщения

Конструкция Хопфа, рассматриваемая как расслоение p : S ³ → КП ¹, допускает несколько обобщений, которые также часто называют расслоениями Хопфа. Во-первых, можно заменить проективную прямую n -мерным проективным пространством . Во-вторых, можно заменить комплексные числа любой (вещественной) алгеброй с делением , включая (при n = 1) октонионы .

Настоящие расслоения Хопфа

Действительная версия расслоения Хопфа получается, если рассмотреть окружность S ¹ как подмножество R ² обычным способом ивыявление противоположных точек. Это дает расслоение S ¹ → РП ¹ над реальной проективной прямой со слоем S ⁰ = {1, −1}. Так же, как КП ¹ диффеоморфна сфере, RP ¹ диффеоморфна окружности.

В более общем смысле, n -сфера S ^н волокна над реальным проективным пространством RP ^н с волокном S ⁰.

Комплексные расслоения Хопфа

Конструкция Хопфа дает расслоения окружностей p : S ^{2н 1 +} → КП ^н над сложным проективным пространством . На самом деле это ограничение тавтологического линейного расслоения над CP. ^н к единичной сфере в C ^{п +1}.

Кватернионные расслоения Хопфа

Аналогично можно рассматривать S ^{4 n+3} как лежащий в H ^п+1 ( кватернионное n -пространство) и факторизовать по единичному кватерниону (= S ³) умножение для получения кватернионного проективного пространства HP ^н. В частности, поскольку С ⁴ = HP ¹, существует расслоение S ⁷ → С ⁴ с волокном S ³.

Октонионные расслоения Хопфа

Аналогичная конструкция с октонионами дает расслоение S ¹⁵ → С ⁸ с волокном S ⁷. Но сфера S ³¹ не расслояется над S ¹⁶ с волокном S ¹⁵. Можно считать С. ⁸ как октионионная проективная линия OP ¹. Хотя можно также определить октонионную проективную плоскость OP ², сфера S ²³ не использует оптоволокно через OP ²с волокном S ⁷. ^[5]^[6]

Расслоения между сферами

Иногда термин «расслоение Хопфа» ограничивают расслоениями между полученными выше сферами, которые

С ¹ → С ¹ с волокном S ⁰
С ³ → С ² с волокном S ¹
С ⁷ → С ⁴ с волокном S ³
С ¹⁵ → С ⁸ с волокном S ⁷

Как следствие теоремы Адамса , расслоения со сферами в качестве общего пространства, базового пространства и слоя могут возникать только в этих измерениях. Пучки волокон с похожими свойствами, но отличными от расслоений Хопфа, использовались Джоном Милнором для построения экзотических сфер .

Геометрия и приложения

Расслоение Хопфа имеет множество последствий, некоторые из них чисто привлекательные, другие — более глубокие. Например, стереографическая проекция S ³ → Р ³ индуцирует замечательную структуру в R ³, что, в свою очередь, проливает свет на топологию расслоения ( Lyons 2003 ). Стереографическая проекция сохраняет круги и отображает слои Хопфа в геометрически совершенные круги в R. ³ которые заполняют пространство. Здесь есть одно исключение: окружность Хопфа, содержащая точки проекции, отображается в прямую линию в R. ³ — «круг через бесконечность».

Волокна по кругу широты на S ² образовать тор в S ³ (топологически тор является произведением двух окружностей), и они проецируются на вложенные торы в R ³ которые также заполняют пространство. Отдельные волокна отображают соединение кругов Вильярсо на этих торах, за исключением круга, проходящего через точку проекции, и круга, проходящего через противоположную точку : первый отображается в прямую линию, второй - в единичную окружность, перпендикулярную и с центром в , эта линия, которую можно рассматривать как вырожденный тор, меньший радиус которого уменьшился до нуля. Изображение каждого другого волокна также окружает линию, и поэтому по симметрии каждый круг связан через каждый круг, как в R ³ и в С ³. Два таких связывающих круга образуют зацепление Хопфа в R. ³

Хопф доказал, что отображение Хопфа имеет инвариант Хопфа 1 и, следовательно, не является нуль-гомотопным . Фактически он порождает гомотопическую группу π ₃ ( S ²) и имеет бесконечный порядок.

В квантовой механике сфера Римана известна как сфера Блоха , а расслоение Хопфа описывает топологическую структуру квантовомеханической двухуровневой системы или кубита . Аналогично топология пары запутанных двухуровневых систем задается расслоением Хопфа

S^{3}\hookrightarrow S^{7}\to S^{4}.

( Моссери и Дандолофф, 2001 ). Более того, расслоение Хопфа эквивалентно расслоенной структуре монополя Дирака . ^[7]

Расслоение Хопфа также нашло применение в робототехнике , где оно использовалось для генерации однородных выборок на SO(3) для вероятностного алгоритма дорожной карты при планировании движения. ^[8] применение в автоматическом управлении квадрокоптерами Он также нашел . ^[9]^[10]

Примечания

^ Это разделение $3$ -сферы на непересекающиеся большие круги возможно, потому что, в отличие от $2$ -сферы, отдельные большие круги $3$ -сферы не обязательно должны пересекаться.
^ кватернионное расслоение Хопфа, ncatlab.org. https://ncatlab.org/nlab/show/quaternionic+Hopf+fibration
^ Смит, Бенджамин. «Заметки Бенджамина Х. Смита о расслоениях Хопфа» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 14 сентября 2016 г.
^ Камчатнов, А.М. (1982), Топологические солитоны в магнитной гидродинамике (PDF)
^ Бесс, Артур (1978). Многообразия, все геодезические которых замкнуты . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-3-540-08158-6 . (§0.26 на стр. 6)
^ тема sci.math.research 1993 г. «Сферы, состоящие из сфер»
^ Фридман, Джон Л. (июнь 2015 г.). «Историческая справка о пучках волокон» . Физика сегодня . 68 (6): 11. Бибкод : 2015ФТ....68ф..11Ф . дои : 10.1063/PT.3.2799 .
^ Ершова, Анна; Джайн, Свати; ЛаВалле, Стивен М.; Митчелл, Джули К. (2010). «Построение равномерных инкрементальных сеток на SO (3) с использованием расслоения Хопфа» . Международный журнал исследований робототехники . 29 (7): 801–812. дои : 10.1177/0278364909352700 . ISSN 0278-3649 . ПМК 2896220 . ПМИД 20607113 .
^ Уоттерсон, Майкл; Кумар, Виджай (2020). Амато, Нэнси М.; Хагер, Грег; Томас, Шона; Торрес-Торрити, Мигель (ред.). «Управление квадрокоптерами с использованием расслоения Хопфа на SO (3)» . Исследования в области робототехники . Спрингерские труды по передовой робототехнике. 10 . Чам: Springer International Publishing: 199–215. дои : 10.1007/978-3-030-28619-4_20 . ISBN 978-3-030-28619-4 . S2CID 195852176 .
^ Цзя, Джиндо; Го, Кэсинь; Ю, Сян; Чжао, Вэйхуа; Го, Лэй (2022). «Точное отслеживание высокоманевренной траектории квадрокоптеров: метод использования сопротивления» . Письма IEEE по робототехнике и автоматизации . 7 (3): 6966–6973. дои : 10.1109/LRA.2022.3176449 . ISSN 2377-3766 . S2CID 249550496 .

Ссылки

Кэли, Артур (1845), «О некоторых результатах, касающихся кватернионов» (PDF) , Philosophical Magazine , 26 (171): 141–145, doi : 10.1080/14786444508562684 ; перепечатано как статья 20 в Кэли, Артур (1889), Сборник математических статей Артура Кэли , том. (1841–1853), Издательство Кембриджского университета , стр. 123–126.
Хопф, Хайнц (1931), «Об отображениях трехмерной сферы на сферическую поверхность» , Mathematical Annals , 104 (1), Берлин: Springer : 637–665, doi : 10.1007/BF01457962 , ISSN 0025-5831 , S2CID 123533891
Хопф, Хайнц (1935), «Об отображениях сфер на сферы более низких измерений», Fundamenta Mathematicae , 25 , Варшава: Польская акад. Sci.: 427–440, doi : 10.4064/fm-25-1-427-440 , ISSN 0016-2736.
Лайонс, Дэвид В. (апрель 2003 г.), «Элементарное введение в расслоение Хопфа» (PDF) , Mathematics Magazine , 76 (2): 87–98, arXiv : 2212.01642 , doi : 10.2307/3219300 , ISSN 0025-570X , JSTOR 3219300
Моссери, Р.; Дандолофф, Р. (2001), «Геометрия запутанных состояний, сферы Блоха и расслоения Хопфа», Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical , 34 (47): 10243–10252, arXiv : quant-ph/0108137 , Bibcode : 2001JPhA ...3410243M , doi : 10.1088/0305-4470/34/47/324 , S2CID 119462869 .
Стинрод, Норман (1951), Топология пучков волокон , PMS 14, Princeton University Press (опубликовано в 1999 г.), ISBN 978-0-691-00548-5
Урбантке, Гонконг (2003), «Семикратное расслоение Хопфа в физике», Journal of Geometry and Physics , 46 (2): 125–150, Bibcode : 2003JGP....46..125U , doi : 10.1016/S0393 -0440(02)00121-3
Замбой, Михал (8 января 2021 г.). «Синтетическая конструкция расслоения Хопфа в двойной ортогональной проекции 4-пространства». Журнал вычислительного дизайна и инженерии . 8 (3): 836–854. arXiv : 2003.09236v2 . doi : 10.1093/jcde/qwab018 .
Банчофф, Томас (1988). «Геометрия отображения Хопфа и торы Пинкала заданного конформного типа». В Тангоре, Мартин (ред.). Компьютеры в алгебре . Нью-Йорк и Базель: Марсель Деккер. стр. 57–62.

Внешние ссылки

«Расслоение Хопфа» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Роуленд, Тодд. «Расслоение Хопфа» . Математический мир .
В главах 7 и 8 математики измерений расслоение Хопфа иллюстрируется с помощью анимированной компьютерной графики.
Элементарное введение в расслоение Хопфа Дэвида В. Лайонса ( PDF )
Анимация YouTube, показывающая динамическое сопоставление точек 2-сферы с кругами в 3-сфере профессора Найлза Джонсона.
Анимация на YouTube, посвященная построению 120-ячеечной структуры Джан Марко Тодеско, показывает расслоение Хопфа 120-ячеечной структуры.
Видео одного 30-ячеечного кольца из 600-ячеечного с http://page.math.tu-berlin.de/~gunn/ .
Интерактивная визуализация сопоставления точек 2-сферы с кругами в 3-сфере.

[1] Это разделение $3$ -сферы на непересекающиеся большие круги возможно, потому что, в отличие от $2$ -сферы, отдельные большие круги $3$ -сферы не обязательно должны пересекаться.

[quaternionic_Hopf_Fibration_on_nLab-2] кватернионное расслоение Хопфа, ncatlab.org. https://ncatlab.org/nlab/show/quaternionic+Hopf+fibration

[3] Смит, Бенджамин. «Заметки Бенджамина Х. Смита о расслоениях Хопфа» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 14 сентября 2016 г.

[4] Камчатнов, А.М. (1982), Топологические солитоны в магнитной гидродинамике (PDF)

[5] Бесс, Артур (1978). Многообразия, все геодезические которых замкнуты . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-3-540-08158-6 . (§0.26 на стр. 6)

[6] тема sci.math.research 1993 г. «Сферы, состоящие из сфер»

[7] Фридман, Джон Л. (июнь 2015 г.). «Историческая справка о пучках волокон» . Физика сегодня . 68 (6): 11. Бибкод : 2015ФТ....68ф..11Ф . дои : 10.1063/PT.3.2799 .

[8] Ершова, Анна; Джайн, Свати; ЛаВалле, Стивен М.; Митчелл, Джули К. (2010). «Построение равномерных инкрементальных сеток на SO (3) с использованием расслоения Хопфа» . Международный журнал исследований робототехники . 29 (7): 801–812. дои : 10.1177/0278364909352700 . ISSN 0278-3649 . ПМК 2896220 . ПМИД 20607113 .

[9] Уоттерсон, Майкл; Кумар, Виджай (2020). Амато, Нэнси М.; Хагер, Грег; Томас, Шона; Торрес-Торрити, Мигель (ред.). «Управление квадрокоптерами с использованием расслоения Хопфа на SO (3)» . Исследования в области робототехники . Спрингерские труды по передовой робототехнике. 10 . Чам: Springer International Publishing: 199–215. дои : 10.1007/978-3-030-28619-4_20 . ISBN 978-3-030-28619-4 . S2CID 195852176 .

[10] Цзя, Джиндо; Го, Кэсинь; Ю, Сян; Чжао, Вэйхуа; Го, Лэй (2022). «Точное отслеживание высокоманевренной траектории квадрокоптеров: метод использования сопротивления» . Письма IEEE по робототехнике и автоматизации . 7 (3): 6966–6973. дои : 10.1109/LRA.2022.3176449 . ISSN 2377-3766 . S2CID 249550496 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]