инвариант Хопфа

В математике , в частности в алгебраической топологии , инвариант Хопфа — это гомотопический инвариант некоторых отображений между n -сферами .

Мотивация [ править ]

В 1931 году Хайнц Хопф использовал параллели Клиффорда для построения карты Хопфа.

\eta \colon S^{3}\to S^{2},

и доказал, что $\eta$ существенно, т. е. не гомотопно постоянному отображению, поскольку число зацеплений окружностей

\eta ^{-1}(x),\eta ^{-1}(y)\subset S^{3}

равно 1 для любого $x\neq y\in S^{2}$ .

Позже было показано, что гомотопическая группа $\pi _{3}(S^{2})$ — бесконечная циклическая группа, порожденная $\eta$ . В 1951 году Жан-Пьер Серр доказал, что рациональные гомотопические группы ^[1]

\pi _{i}(S^{n})\otimes \mathbb {Q}

для нечетномерной сферы ( $n$ нечетные) равны нулю, если только $i$ равен 0 или n . Однако для четномерной сферы ( n четной) существует еще один бит бесконечной циклической гомотопии степени $2n-1$ .

Определение [ править ]

Позволять $\varphi \colon S^{2n-1}\to S^{n}$ быть непрерывным отображением (предположим $n>1$ ). Тогда мы сможем сформировать клеточный комплекс

C_{\varphi }=S^{n}\cup _{\varphi }D^{2n},

где $D^{2n}$ это $2n$ -мерный диск, прикрепленный к $S^{n}$ с помощью $\varphi$ .Группы клеточных цепей $C_{\mathrm {cell} }^{*}(C_{\varphi })$ просто свободно генерируются на $i$ -клетки в степени $i$ , так они есть $\mathbb {Z}$ в степени 0, $n$ и $2n$ и ноль везде. Клеточные (ко)гомологии являются (ко)гомологиями этого цепного комплекса , и поскольку все граничные гомоморфизмы должны быть равны нулю (напомним, что $n>1$ ), когомологии

H_{\mathrm {cell} }^{i}(C_{\varphi })={\begin{cases}\mathbb {Z} &i=0,n,2n,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}

Обозначим генераторы групп когомологий через

H^{n}(C_{\varphi })=\langle \alpha \rangle

и

H^{2n}(C_{\varphi })=\langle \beta \rangle .

По соображениям размерности все изделия из чашек между этими классами должны быть тривиальными, за исключением $\alpha \smile \alpha$ . Таким образом, в качестве кольца когомологии

H^{*}(C_{\varphi })=\mathbb {Z} [\alpha ,\beta ]/\langle \beta \smile \beta =\alpha \smile \beta =0,\alpha \smile \alpha =h(\varphi )\beta \rangle .

Целое число $h(\varphi )$ — инвариант Хопфа отображения $\varphi$ .

Свойства [ править ]

Теорема : Карта $h\colon \pi _{2n-1}(S^{n})\to \mathbb {Z}$ является гомоморфизмом. Если $n$ странно, $h$ тривиально (поскольку $\pi _{2n-1}(S^{n})$ это кручение).Если $n$ четный, образ $h$ содержит $2\mathbb {Z}$ . При этом образ произведения Уайтхеда тождественных отображений равен 2, т.е. $h([i_{n},i_{n}])=2$ , где $i_{n}\colon S^{n}\to S^{n}$ это карта идентичности и $[\,\cdot \,,\,\cdot \,]$ – произведение Уайтхеда .

Инвариант Хопфа $1$ для отображений Хопфа , где $n=1,2,4,8$ , соответствующий вещественным алгебрам с делением $\mathbb {A} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} ,\mathbb {O}$ соответственно и расслоению $S(\mathbb {A} ^{2})\to \mathbb {PA} ^{1}$ отправка направления сферы в подпространство, которое она охватывает. Это теорема, доказанная сначала Фрэнком Адамсом , а затем Адамсом и Майклом Атьей методами топологической K-теории , что это единственные отображения с инвариантом Хопфа 1.

Уайтхеда Интегральная формула

Дж. Х. Уайтхед предложил следующую интегральную формулу для инварианта Хопфа. ^[2]^[3]^{: реквизит. 17.22}Учитывая карту $\varphi \colon S^{2n-1}\to S^{n}$ , рассматривается форма объема $\omega _{n}$ на $S^{n}$ такой, что $\int _{S^{n}}\omega _{n}=1$ .С $d\omega _{n}=0$ , откат $\varphi ^{*}\omega _{n}$ является замкнутой дифференциальной формой : $d(\varphi ^{*}\omega _{n})=\varphi ^{*}(d\omega _{n})=\varphi ^{*}0=0$ .По лемме Пуанкаре это точная дифференциальная форма : существует $(n-1)$ -форма $\eta$ на $S^{2n-1}$ такой, что $d\eta =\varphi ^{*}\omega _{n}$ . Инвариант Хопфа тогда определяется выражением

\int _{S^{2n-1}}\eta \wedge d\eta .

Обобщения для стабильных карт [ править ]

Можно определить очень общее понятие инварианта Хопфа, но оно требует определенной теоретической гомотопической подготовки:

Позволять $V$ обозначают векторное пространство и $V^{\infty }$ его одноточечная компактификация , т.е. $V\cong \mathbb {R} ^{k}$ и

V^{\infty }\cong S^{k}

для некоторых

k

.

Если $(X,x_{0})$ — это любое точечное пространство (как это неявно было в предыдущем разделе), и если мы возьмем точку, находящуюся на бесконечности, в качестве базовой точки $V^{\infty }$ , то мы можем сформировать клиновые произведения

V^{\infty }\wedge X.

Теперь позвольте

F\colon V^{\infty }\wedge X\to V^{\infty }\wedge Y

быть стабильным отображением, т.е. устойчивым относительно приведенного функтора подвески . инвариант (Устойчивый) геометрический Хопфа $F$ является

h(F)\in \{X,Y\wedge Y\}_{\mathbb {Z} _{2}},

элемент конюшни $\mathbb {Z} _{2}$ -эквивариантная гомотопическая группа отображений из $X$ к $Y\wedge Y$ . Здесь «стабильный» означает «стабильный в условиях приостановки», т.е. прямой предел превышения $V$ (или $k$ , если хотите) обычных эквивариантных гомотопических групп; и $\mathbb {Z} _{2}$ -действие — это тривиальное действие над $X$ и переключение двух факторов на $Y\wedge Y$ . Если мы позволим

\Delta _{X}\colon X\to X\wedge X

обозначим каноническое диагональное отображение и $I$ тождество, то инвариант Хопфа определяется следующим образом:

h(F):=(F\wedge F)(I\wedge \Delta _{X})-(I\wedge \Delta _{Y})(I\wedge F).

Эта карта изначально является картой из

V^{\infty }\wedge V^{\infty }\wedge X

к

V^{\infty }\wedge V^{\infty }\wedge Y\wedge Y,

но при прямом пределе он становится рекламируемым элементом стабильной гомотопии $\mathbb {Z} _{2}$ -эквивариантная группа отображений.Существует также нестабильная версия инварианта Хопфа. $h_{V}(F)$ , для чего необходимо следить за векторным пространством $V$ .

Ссылки [ править ]

^ Серр, Жан-Пьер (сентябрь 1953 г.). «Гомотопические группы и классы абелевых групп». Анналы математики . 58 (2): 258–294. дои : 10.2307/1969789 . JSTOR 1969789 .
^ Уайтхед, JHC (1 мая 1947 г.). «Выражение инварианта Хопфа как интеграла» . Труды Национальной академии наук . 33 (5): 117–123. Бибкод : 1947PNAS...33..117W . дои : 10.1073/pnas.33.5.117 . ПМК 1079004 . ПМИД 16578254 .
^ Ботт, Рауль; Ту, Лоринг В. (1982). Дифференциальные формы в алгебраической топологии . Нью-Йорк. ISBN 9780387906133 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

Адамс, Дж. Франк (1960), «О несуществовании элементов инварианта Хопфа», Annals of Mathematics , 72 (1): 20–104, CiteSeerX 10.1.1.299.4490 , doi : 10.2307/1970147 , JSTOR 1970147 , МР 0141119
Адамс, Дж. Франк ; Атья, Майкл Ф. (1966), «K-теория и инвариант Хопфа», Quarterly Journal of Mathematics , 17 (1): 31–38, doi : 10.1093/qmath/17.1.31 , MR 0198460
Крабб, Майкл; Раницки, Эндрю (2006). «Геометрический инвариант Хопфа» (PDF) .
Хопф, Хайнц (1931), «Об изображениях трехмерной сферы на сферической поверхности», Mathematical Annals , 104 : 637–665, doi : 10.1007/BF01457962 , ISSN 0025-5831
Шокуров, А.В. (2001) [1994], «Инвариант Хопфа» , Энциклопедия Математики , EMS Press

[1] Серр, Жан-Пьер (сентябрь 1953 г.). «Гомотопические группы и классы абелевых групп». Анналы математики . 58 (2): 258–294. дои : 10.2307/1969789 . JSTOR 1969789 .

[2] Уайтхед, JHC (1 мая 1947 г.). «Выражение инварианта Хопфа как интеграла» . Труды Национальной академии наук . 33 (5): 117–123. Бибкод : 1947PNAS...33..117W . дои : 10.1073/pnas.33.5.117 . ПМК 1079004 . ПМИД 16578254 .

[3] Ботт, Рауль; Ту, Лоринг В. (1982). Дифференциальные формы в алгебраической топологии . Нью-Йорк. ISBN 9780387906133 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[1]

[2]

[3]